1、全书综合测评(满分:100分;时间:90分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.直线x+3y-1=0的倾斜角为()A.3 B.6 C.23 D.562.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,C上的点到左焦点F1的距离的最大值为6,过F1的直线交C于A,B两点,且ABF2的周长为16,则椭圆C的方程为()A.x216+y212=1 B.x216+y24=1C.x212+y24=1 D.x24+y22=13.若两个向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为()A.(-1,2,-1
2、) B.(1,2,1)C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)4.已知O1:x2+y2-ax=0(a0)截直线x-y=0所得线段的长度是22,则O1与O2:(x-4)2+(y-2)2=1的位置关系是()A.内切 B.相离 C.外切 D.相交5.已知点P为抛物线y=12x2上的动点,点P在x轴上的射影为M,点A的坐标是6,172,则|PA|+|PM|的最小值是()A.8 B.192 C.10 D.2126.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知ABC的顶点B(-1,0),C(0,2
3、),AB=AC,则ABC的欧拉线方程为()A.2x-4y-3=0 B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0 D.2x+4y-3=07.已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x-2)2+y2=4(点F为其圆心),直线l:y=k(x-2)(k0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是()A.|M1M3|M2M4| B.|FM1|FM4|C.|M1M2|M3M4| D.|FM1|M1M2|8.如图,已知F1,F2是椭圆T:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,P是椭圆T上一点,且不与x轴重合,过F2作F1PF2的外角的平分线的垂线,垂足为Q,则点Q在
4、上运动.()A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是()A.A1C1平面CEFB.B1D平面CEFC.CE=12DA+DD1-DCD.点D与点B1到平面CEF的距离相等10.已知F1、F2是双曲线C:y24-x22=1的上、下焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,则下列说法正确的是()A.双曲线C的渐近线方程
5、为y=2xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2C.点M的横坐标为2D.MF1F2的面积为2311.如图,直线l1,l2相交于点O,点P是平面内的任意一点,若x,y分别表示点P到l1,l2的距离,则称(x,y)为点P的“距离坐标”.下列说法正确的是()A.距离坐标为(0,0)的点有1个B.距离坐标为(0,1)的点有2个C.距离坐标为(1,2)的点有4个D.距离坐标为(x,x)的点在一条直线上12.在平面直角坐标系中,有两个圆C1:(x+2)2+y2=r12和C2:(x-2)2+y2=r22,其中常数r1,r2为正数,满足r1+r20,b0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的
6、中点分别为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.16.九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑P-ABC中,PA平面ABC,ACB=90,AC=4,PA=2,D为AB的中点,E为PAC内的动点(含边界),且PCDE.当E在AC上时,AE=,点E的轨迹的长度为.(本题第一空2分,第二空3分)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知直线l的斜率为-34,且直线l经过直线kx-y+2k+5=0所过的定点P.(1)求直线l的方程;(2)若直线m平行于直线l,且点P到直线m的距离为3,求直线
7、m的方程.18.(本小题满分12分)已知C:x2+y2=16.(1)设点Q(x,y)为C上的一个动点,求4x+3y的范围;(2)直线l过点P(3,4),且与C交于A、B两点,若|AB|=27,求直线l的方程.19.(本小题满分12分)如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF平面ACE.(1)求证:AE平面BCE;(2)求二面角B-AC-E的正弦值;(3)求点D到平面ACE的距离.20.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=2py(0pb0)的右顶点为A,上顶点为B,离心率e=32,O为坐标原点,圆O:x2+y2=45与直线AB相切.(
8、1)求椭圆E的标准方程;(2)已知四边形ABCD内接于椭圆E,ABDC.记直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,试问k1k2是不是定值?证明你的结论.答案全解全析一、单项选择题1.D由直线x+3y-1=0得其斜率为k=-33,设直线的倾斜角为(0,),则tan =-33,所以=56,所以直线的倾斜角为56,故选D.2.A设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).依题意得,a+c=6,且4a=16,a=4,c=2,b2=a2-c2=16-4=12,故选A.3.A设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则nAB=0,nAC=0,即x+2y+3z=0,3x+2y+z=0,令x=-1,则y
9、=2,z=-1,n=(-1,2,-1);令x=1,则y=-2,z=1,则n=(1,-2,1).故选A.4.DO1的标准方程为x-a22+y2=a24(a0),圆心到直线x-y=0的距离d=a22=a24-(2)2,得a=4,O1(2,0),又O2(4,2),O1与O2的圆心距为22,且2-1222+1,即两个圆相交.故选D.5.B依题意可知,抛物线y=12x2即抛物线x2=2y,焦点为F0,12,准线方程为y=-12,依题意只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可,由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离,此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可,显然当P、A、F三点
10、共线时|PF|+|PA|距离之和最小为|FA|,由两点间距离公式得|FA|=62+172-122=10,那么|PA|+|PM|的最小值为|FA|-12=192,故选B.6.D因为B(-1,0),C(0,2),所以线段BC的中点的坐标为-12,1,线段BC所在直线的斜率kBC=2,则线段BC的垂直平分线的方程为y-1=-12x+12,即2x+4y-3=0,因为AB=AC,所以ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上,所以ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0.7.C设M1,M2,M3,M4四点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,由题意知y2=8x的焦点坐标与圆F的圆心(2,0)相同,
11、准线l0:x=-2.由定义得|M1F|=x1+2,又|M1F|=|M1M2|+2,|M1M2|=x1,同理,|M3M4|=x4,将y=k(x-2)代入抛物线方程,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,x1x4=4,|M1M2|M3M4|=4,故选C.8.B延长F2Q与F1P交于点M,连接OQ.因为PQ是F1PF2的外角的平分线所在直线,且PQF2M,所以在PF2M中,|PF2|=|PM|,且Q为线段F2M的中点.又O为线段F1F2的中点,由三角形的中位线定理,得|OQ|=12|F1M|=12(|PF1|+|PF2|).由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,所以|OQ|=a,所以点Q
12、在以原点为圆心,a为半径的圆上运动.二、多项选择题9.AC建立空间直角坐标系,如图所示,设AB=2,平面CEF的法向量为n=(x,y,z).E,F分别是A1D1,C1D1的中点,EFA1C1,又EF平面CEF,A1C1平面CEF,A1C1平面CEF,故选项A正确;易知C(0,2,0),E(1,0,2),F(0,1,2),B1(2,2,2),D(0,0,0),DB1=(2,2,2),EF=(-1,1,0),CF=(0,-1,2),nEF=0,nCF=0,即-x+y=0,-y+2z=0,令x=2,则y=2,z=1,n=(2,2,1),DB1=(2,2,2),DB1与n不平行,B1D不垂直于平面CE
13、F,故选项B错误;CE=CD+DD1+D1E=CD+DD1+12D1A1=12DA+DD1-DC,故选项C正确;DC=(0,2,0),设点D到平面CEF的距离为d1,则d1=|DCn|n|=44+4+1=43,B1C=(-2,0,-2),设B1到平面CEF的距离为d2,则d2=|B1Cn|n|=|-4+0-2|3=243,故选项D错误.故选AC.10.ACD由双曲线方程y24-x22=1知a=2,b=2,焦点在y轴上,渐近线方程为y=abx=2x,A正确;c=a2+b2=6,以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=6,B错误;由x2+y2=6,y=2x得x=2,y=2或x=-2,y=-2,由对
14、称性知点M的横坐标是2,C正确;SMF1F2=12|F1F2|xM|=12262=23,D正确.故选ACD.11.ABC对于A,若距离坐标为(0,0),即P到两条直线的距离都为0,P为两直线的交点,即距离坐标为(0,0)的点只有1个,A正确;对于B,若距离坐标为(0,1),即P到直线l1的距离为0,到直线l2的距离为1,P在直线l1上,到直线l2的距离为1,符合条件的点有2个,B正确;对于C,若距离坐标为(1,2),即P到直线l1的距离为1,到直线l2的距离为2,有4个符合条件的点,即与直线l1相距为2的两条平行线和与直线l2相距为1的两条平行线的交点,C正确;对于D,若距离坐标为(x,x),
15、即P到两条直线的距离相等,则距离坐标为(x,x)的点在2条相互垂直的直线上,D错误.故选ABC.12.BC由题意得,圆C1的圆心为C1(-2,0),半径为r1,圆C2的圆心为C2(2,0),半径为r2,所以|C1C2|=4,设动圆P的半径为r.当r1+r20时,双曲线方程可化为x2m3-y2m=1,有m=1,得m=1;当m0),则27=216-d2,解得d=3,(10分)即|-3k+4|k2+1=3,解得k=724,此时直线方程为7x-24y+75=0.综上所述,所求直线方程为7x-24y+75=0或x=3.(12分)19.解析(1)证明:因为BF平面ACE,所以BFAE.(1分)因为二面角D
16、-AB-E为直二面角,且CBAB,所以CB平面ABE.所以CBAE.(2分)又BFCB=B,所以AE平面BCE.(3分)(2)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图.(4分)因为AE面BCE,BE面BCE,所以AEBE.在RtAEB中,AB=2,O为AB的中点,所以OE=1.所以A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),则AE=(1,1,0),AC=(0,2,2).设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),则AEn=0,ACn=0,即x+y=0,2y+2z=0,解得y=-x,z=x,令x=1
17、,得n=(1,-1,1)是平面AEC的一个法向量.(7分)又平面BAC的一个法向量为m=(1,0,0),cos=mn|m|n|=13=33.所以二面角B-AC-E的正弦值为63.(9分)(3)因为ADz轴,AD=2,所以AD=(0,0,2),(10分)所以点D到平面ACE的距离d=|ADn|n|=23=233.(12分)20.解析(1)将M(2,y0)代入x2=2py(0p2),得y0=2p,(2分)又|MF|=y0-p2=2p+p2=52,p=1,抛物线的方程为x2=2y.(5分)(2)直线l的斜率显然存在,设直线l:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+b,x2=2
18、y得x2-2kx-2b=0,(7分)x1+x2=2k,x1x2=-2b,由kOAkOB=y1x1y2x2=x1x24=-b2=-2,b=4,(9分)直线l的方程为y=kx+4,直线恒过定点(0,4),原点O到直线l的距离d=41+k2,SOAB=12d|AB|=1241+k21+k2(x1+x2)2-4x1x2=24k2+32=16,(11分)4k2+32=64,解得k=22,直线l的方程为y=22x+4.(12分)21.解析选择.(1)PA平面ABCD,PAAD,PACD.PA=AD=CD=2,PD=22.又PC=23,CD2+PD2=PC2,得CDPD.(2分)又PAPD=P,CD平面PA
19、D,则CDAD.又CDBC,ADBC.又ADBC,四边形ABCD是直角梯形.(4分)(2)过A作AD的垂线交BC于点M.PA平面ABCD,PAAM,PAAD.如图,建立空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),B(2,-1,0).E为PB的中点,E1,-12,1.AE=1,-12,1,PC=(2,2,-2),PD=(0,2,-2).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则nPC=2x+2y-2z=0,nPD=2y-2z=0,令y=1,得n=(0,1,1).(6分)设直线AE与平面PCD所成的角为,sin =|cos|=-121+11232=26.直线AE与平面PCD所成角的正弦值为26.(8分)(3)设PFPB=(00,解得-2m2,且m1,(9分)x1+x2=2m,x1x2=2m2-2.由k1=y1x1-2,k2=y2-1x2,(10分)得k1k2=y1x1-2y2-1x2=-12x1+mx1-2-12x2+m-1x2=14x1x2-m2(x1+x2)+m2+12x1-mx1x2-2x2=14(2m2-2)-m22m+m2+2m-x22-m(2m2-2)-2x2=m22-12-x222m2-2-2x2=14.(12分)
