1、第二章 平 面 向 量 1 从位移、速度、力到向量 必备知识自主学习 导思 1.两个向量能否比较大小?2.零向量(0)有方向吗?1.向量的定义及表示(1)定义:既有大小,又有方向的量.(2)表示:有向线段:带有方向和长度的线段,它包含三个元素:起点、方向、长度.【思考】两个数量可以比较大小,那么两个向量能否比较大小?提示:数量之间可以比较大小,而两个向量不能比较大小.2.几种特殊向量(1)零向量:长度为_的向量,记作0.(2)单位向量:长度为单位_的向量叫作单位向量.(3)相等向量:长度_且方向_的向量.(4)平行向量:方向_或_的非零向量,如果向量a和b平行,记作ab;规 定_与任意向量平行
2、.01 相等 相同 相同 相反 零向量 【思考】(1)任意两个单位向量都相等吗?提示:单位向量的定义:长度为1个单位的向量叫作单位向量.只说明了该类向量的长度(模),没有说方向,所以不一定相等.(2)向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗?为什么?提示:不相同.由于向量可以任意平移,所以任意一组平行向量都可以移动到同一直线上,故平行向量又叫作共线向量,因此平行向量(共线向量)所在的直线可以平行,也可以重合.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)数学中的向量与物理中的矢量没有区别.()(2)两个向量能比较大小.()(3)若向量a与b是相等向量,则a与b一定是共线
3、向量,反之亦然.()提示:(1).有区别,数学中的向量与起点无关.(2).向量有方向、大小双重性,而方向是不能比较大小的,因此向量不能比较大小.(3).相等向量指的是长度相等且方向相同的向量,故a与b是相等向量,则一定共线;但两向量共线不一定相等,故错误.2.有下列物理量:质量;温度;角度;弹力;风速.其中可以看成是向量的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选B.因为质量、温度、角度只有大小,没有方向,所以它们不是向量,而弹力、风速既有大小,又有方向,所以它们可以看成向量.3.(教材二次开发:习题改编)给出以下说法:若|a|=0,则a为零向量;单位向量都相等;若a与b共线,则a
4、与b的方向相同或相反;向量的模一定是正数;起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量;向量 是共线向量,则A,B,C,D四点必在同一直线上.其中正确的序号是_.ABCD与关键能力合作学习 类型一 向量的概念(数学抽象)【题组训练】1.下列各量中是向量的是()A.时间 B.加速度 C.面积 D.长度 2.下列结论正确的个数是()温度含零上和零下温度,所以温度是向量;向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;若|a|b|,则ab.A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2020信阳高一检测)给出下列命题:若 ,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点;在平行四边形ABCD中,一定有 ;若ab,bc
5、,则ac.其中所有正确命题的序号为_.ABDCABDC【解题策略】向量有关概念的判断 向量有关概念的判断,应根据向量的有关概念,注意向量的大小、方向两个要素.求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零,方向任意;零向量与任一向量平行;所有零向量相等.类型二 相等向量与共线向量(数学建模)【典例】(2020重庆高一检测)下列说法正确的是()A.向量 就是 所在的直线平行于 所在的直线 B.长度相等的向量叫作相等向量 C.若a=b,b=c,则a=cD.共线向量是在一条直线上的向量【思路导引】根据平面向量的基本概念,对选项中的命题进行分析、判断正误即可.AB CDABCD【解题策略】相等向量与共线
6、向量的探求方法 (1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.(2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.【跟踪训练】如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心.(1)分别写出图中与 相等的向量.(2)与 的长度相等、方向相反的向量有哪些?OA,OB,OCOA课堂检测素养达标 1.有下列说法:若向量a与向量b不平行,则a与b方向一定不相同.若向量 满足|,且 同向,则 若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反.由于零向量方向不确定,
7、故其不能与任何向量平行.其中,正确说法的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4 AB,CDABCDABCD与ABCD.2.(2020陕西高一检测)在四边形ABCD中,则四边形ABCD的形 状一定是()A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形【解析】选C.因为 ,所以BACD,BA=CD,四边形是平行四边形.又 ,所以AB=AD,四边形是菱形.ABADBACD且BACDABAD3.正六边形ABCDEF的中心是点O,以这七个点为起点与终点的向量中,与 相等 的向量共有_个(不包含 ).【解析】如图,正六边形ABCDEF中,点O为其中心,以这七个点为起点与终点的向 量中,与 相等的向量有:共三个,所以与 相等的向量有3个.答案:3 ABABABOC,FO,EDAB4.已知飞机从A地按北偏东30方向飞行2 000 km到达B地,再从B地按南偏东30 方向飞行2 000 km到达C地,再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地.画图 表示向量 ,并指出向量 的模和方向.2AB,BC,CDAD【补偿训练】(2020上饶高一检测)如图,在ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA边上的点,已知 ,试推断向量 是否为相等向量,说明你的理由.ADDB,DFBEDEAF与
