1、一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合，则等于 【答案】【解析】试题分析：考点：集合运算2.已知虚数满足，则 【答案】【解析】试题分析：设，则由得，即考点：复数运算3.抛物线的准线方程为 【答案】【解析】试题分析：，所以其准线方程为考点：抛物线准线方程4.函数的单调递增区间为 【答案】【解析】试题分析：，所以由得，即单调递增区间为考点：函数单调区间5.某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的标准差是 【答案】1【解析】试题分析：因为平均数为9，所以标准差考点：标准差6.已知直线，平行，则它们之间的距离是 【
2、答案】2【解析】试题分析：由题意得，即，所以它们之间的距离是考点：两直线平行，两平行直线间距离7.角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是 【答案】【解析】试题分析：由三角函数定义得：，所以考点：三角函数定义，诱导公式8.已知直线平面，直线平面，有下列四个命题： 若，则； 若，则； 若，则； 若，则以上命题中，正确命题的序号是 【答案】【解析】试题分析：由直线平面，得直线平面，又直线平面，所以；时，位置关系可为平行，相交，异面；由直线平面，得直线平面，又直线平面，所以；时，置关系可为平行，相交.考点：线面平行与垂直关系判定9.已知数列为等比数列，且，设等差数列的前项和为
3、，若，则 【答案】18【解析】试题分析：，又，所以，即，因此考点：等差数列性质，等比数列性质10.若，是实数，则的最大值是 【答案】2【解析】试题分析：，而，所以，即的最大值是2考点：基本不等式求最值11.设函数，若对于任意的，2，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由题意得函数在2，上单调递增，当时在2，上单调递增；当时在上单调递增；在上单调递减，因此实数a的取值范围是考点：函数单调性12.点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是 【答案】【解析】试题分析：设,则而因此考点：向量平行四边形法则应用（第13题）13.如图，椭圆(ab)的离心率， 左焦点为F，A，B，
4、C为其三个顶点，直线CF与AB交于D，则tanBDC的值为 【答案】考点：椭圆几何意义14.在中，内角所对的边分别为，且边上的高为，则取得最大值时，内角的值为 【答案】【解析】试题分析：由题意得：，由余弦定理得：所以即，所以当时，取得最大值考点：余弦定理，三角函数最值二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分14分)已知向量, ， （1）若，求向量，的夹角；（2）若，函数的最大值为，求实数的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由向量数量积可求出两向量夹角：，（2）先化简函数为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最值，当时，
5、当时，最后根据最大值为确定实数的值：试题解析：（1）当时，所以 ，又，因而6分（2）， 8分因为，所以， 当时，即， 10分当时，即，12分所以 14分注：（1）没有说明扣2分；（2）数形结合理由没有说清，答案正确扣3分考点：向量数量积，三角函数性质16.(本小题满分14分)如图，已知三棱锥ABPC中，APPC， ACBC，M为AB中点，D为PB中点， 且PMB为正三角形（1）求证：DM平面APC； （2）求证：平面ABC平面APC；（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥DBCM的体积（第16题）【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）因为，所以又因为,，所以， 8分因为，所以平面ABC平面
6、APC；10分（3）由题意可知，所以是三棱锥DBCM的高，所以 14分考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理，锥的体积17.(本小题满分14分)现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DEOA、CFOB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域若OA=1km， （1）求区域的总面积； （2）若养殖区域、的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元 试问当为多少时，年总收入最大？（ 第17题 ） OCAFEBD【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）由BD=AC得，所以
7、，定义域为；（2）先分别求出各区域面积，再建立函数关系：，最后利用导数求其最值试题解析：（1）因为，所以因为，DEOA，CFOB， 所以 又因为，所以 所以 2分 所以 所以，所以， 6分 （2）因为，所以 所以， 10分所以，令，则 12分当时，当时，故当时，y有最大值答：当为时，年总收入最大 14分考点：函数应用，利用导数求函数最值18.(本小题满分16分)如图，为椭圆： (ab)的左、右焦点，是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，的面积为若在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”直线与椭圆交于两点，两点的“椭点”分别为，已知以为直径的圆经过坐标原点（1）求椭圆的标准方程；（2）的面积是否为定值？若为
8、定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由xyOED（第18题） 【答案】（1）（2）1【解析】试题分析：（1）根据两个独立条件确定值：，的面积为，因此（2）先从“以为直径的圆经过坐标原点”出发，确定坐标关系，再从坐标出发确定三角形面积，这其中有一定运算量：设，则.由，即直线为，利用韦达定理得，又三角形面积等于，再利用韦达定理得，所以三角形面积等于1试题解析：（1） 5分（2）设，则.由，即 （*）7分 当直线AB的斜率不存在时，9分 当直线AB的斜率存在时，设其直线为 ， ， 同理，代入（*），整理得 13分此时， ， 15分综上，的面积为1 16分考点：直线与椭圆位置关系19.(本小题满分
9、16分)已知函数，且（1）当时，求函数的减区间；（2）求证：方程有两个不相等的实数根；（3）若方程的两个实数根是，试比较，与的大小，并说明理由【答案】（1）（2）详见解析（3）【解析】试题分析：（1）当时，由得减区间；（2）因为，所以，因为所以，方程有两个不相等的实数根；（3）因为，所以试题解析：（1）减区间；4分（2）法1：，6分，8分所以，方程有两个不相等的实数根；10分法2：， 6分， 8分是开口向上的二次函数，所以，方程有两个不相等的实数根；10分（3）因为，12分， 14分又在和增，在减，所以 16分考点：利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系20.(本小题满分16分)已知数列
10、，其前项和为（1）若是公差为的等差数列，且也是公差为的等差数列，求数列的通项公式；（2）若数列对任意，且，都有，求证：数列是等差数列【答案】（1）（2）详见解析【解析】试题分析：（1）先特殊后验证：由是公差为的等差数列，得平方化简得：，此时，满足题意（2）从任意性出发：分别取，及，目的消去和项，得递推关系式：即，即，又，所以试题解析：（1）设，则，当时， ， ， 联立消去，得， ，得：，则，将代入解出（舍去）， 2分从而解得，所以. 4分此时，对于任意正整数满足题意. 6分（2）因为对任意，都有， 在中取， 8分同理， 10分由知，,即，即， 12分中令，从而，即， 14分所以，数列成等差数列
11、. 16分考点：等差数列通项，等差数列判定数学附加题21.B选修42：矩阵与变换已知矩阵A，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1，属于特征值1的一个特征向量为2 求矩阵A，并写出A的逆矩阵【答案】A，A的逆矩阵【解析】试题分析：由特征值与特征向量关系得：6， ，即cd6，3c2d2，因此即A，从而A的逆矩阵是试题解析：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1可得，6，即cd6，2分由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为2，可得 ，即3c2d2，4分解得即A， 6分 所以A的逆矩阵是 10分考点：特征值与特征向量，逆矩阵21.C选修44：极坐标与参数方程已知圆的极坐标方程为：（1）将极坐标方程化为
12、普通方程；（2）若点P(x，y)在该圆上，求xy的最大值和最小值【答案】（1）（2）最大值为6，最小值为2【解析】试题分析：（1）由得，又，所以（2）利用圆的参数方程将函数化为三角函数，易得其最值试题解析：（1）；4分 （2）圆的参数方程为 6分 所以， 8分那么xy最大值为6，最小值为210分考点：极坐标化直角坐标，利用圆参数方程求最值22.为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；（2）在抽出的100
13、名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人，记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及数学期望【答案】（1）（2）0123【解析】试题分析：（1）频率分布直方图中小矩形的面积等于频率，所以除外的频率和为0.70，在频率为0.30，人数为（2）先由分层抽样得“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名从而随机变量可能取值为0,1,2,3，分别计算其概率，得分布列，再利用定义求出数学期望试题解析：（1）因为小矩形的面积等于频率，所以除外的频率和为0.70，所以，所以500名志愿者中，
14、年龄在岁的人数为(人)；3分（2）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名故的可能取值为0,1,2,3，,故的分布列为：0123所以 10分考点：频率分布直方图，分布列及数学期望23.已知函数 (其中)若为的极值点，解不等式【答案】【解析】试题分析：先由极值定义求出，再利用导数研究函数单调性，进而解出不等式试题解析：因为，所以 ， 1分因为为的极值点,所以由,解得检验,当时,当时,当时,.所以为的极值点,故2分当时,不等式,整理得,即或， 6分令，,，当时,；当时,，所以在单调递减，在单调递增，所以，即,所以在上单调递增,而；故；，所以原不等式的解集为10分考点：函数极值，利用导数解不等式
