1、天津市河西区2015届高三下学期总复习质量调查（一）数学（理）试题一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1是虚数单位，表示复数的共轭复数若，则（A） （B） （C） （D） 【答案】A【解析】试题分析：因为，所以.考点：复数的运算.2 设是公比为的等比数列，则“”是“为递减数列”的 （A） 充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】D考点：充分必要条件.3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的和值分别为（A）， （B）， （C）， （D）， 开始输出K,S结束是否【答案】B【解析】试题分析：第一次循环前：；第一
2、次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；第五次循环：.考点：程序框图.4.函数的单调递减区间为 （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：由题意可得：求函数的单调递减区间应满足：即，所以应选C考点：函数的性质.5. 已知双曲线：的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】B【解析】试题分析：由题意可得：双曲线的渐近线方程且，又因为点在的渐近线上，所以，所以，故应选B.考点：双曲线的性质.6.设的内角，所对边的长分别是，且，. 则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D考点：正、余弦定理.7.若，则下列不等式中 ；，
3、对一切满足条件的，恒成立的序号是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：因为，所以所以正确；假设成立所以当且仅当时成立，与条件相矛盾，所以错误；由可知：所以正确；所以正确.考点：基本不等式的应用.8.在边长为的正三角形中，设，若，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：由题意可得：，所以.考点：向量的应用.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有40名，高二年级有50名现用分层抽样的方法在这90名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了8名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 .【
4、答案】5【解析】试题分析：由题意可知：抽样比为，所以在高二年级的学生中应抽取的人数为.考点：分层抽样. 10.一空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为，则正视图与侧视图中的值为 . 【答案】【解析】试题分析：由三视图可知：该空间几何体是由一个以底面圆半径为2高为的圆柱和一个底面边长为的正方形，高为的四棱锥组成组合体，所以其体积为，所以，所以.考点：三视图.11若二项式的展开式中的系数是，则实数 .【答案】1【解析】试题分析：由二项式定理可得：，因为的系数是，所以即，所以.考点：二项式定理.12 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已
5、知直线的参数方程是 (为参数)，圆的极坐标方程是，则直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】试题分析：由题意可知：直线的方程为，圆的标准方程为，所以圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为.考点：极坐标、参数方程、圆的性质.13.过圆外一点作圆的切线(为切点)，再作割线依次交圆于，.若，则 .【答案】8考点：圆的性质.14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，若，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】试题分析：当时，由，得；当时；由，得；所以当时.因为函数是奇函数，所以当时，.因为对于，都有，所以，所以.考点：不等式的应用.二、解答题（将解答过程写在答卷纸上相应的位置）15（本小题满分13分
6、）已知函数的最小正周期为.（）求的值；（）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值.【答案】（I）；（II）1.【解析】试题分析：(1)由题意可得：根据三角恒等变换以及诱导公式化简函数为的形式，然后利用函数的周期求出的值；（2）由（）可知，根据图像的平移得到函数的解析式，然后根据函数的单调性求出在区间上的最小值.试题解析：因为,所以 2分. 4分由于,依题意得,所以. 6分（）解：由（）知,所以. 8分当时,所以,即,12分故在区间的最小值为. 13分考点：诱导公式、三角恒等变换.16（本小题满分13分）某批产品成箱包装，每箱件.一用户在购进该
7、批产品前先取出箱，设取出的箱中，第一，二，三箱中分别有件，件，件二等品，其余为一等品.（）在取出的箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；（）在取出的箱中，若该用户再从每箱中任意抽取件产品进行检验，用表示抽检的件产品中二等品的件数，求的分布列及数学期望.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：(1)古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（2)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与
8、组合；求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（4)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：（）解：设表示事件“从第三箱中有放回地抽取次（每次一件），恰有两次取到二等品”， 依题意知，每次抽到二等品的概率为， 2分 故. 5分（）解：可能的取值为， 6分， ，.10分的分布列为11分数学期望为. 13
9、分考点：排列、组合，期望、方差.17（本小题满分13分）如图甲，在平面四边形中，已知,现将四边形沿折起，使平面 平面（如图乙），设点，分别为棱，的中点（）证明平面；（）求与平面所成角的正弦值；（）求二面角的余弦值 【答案】（I）略；（II）；（）.【解析】试题分析：(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明线面垂直，需证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐
10、标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.解法2：如图，以为坐标原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如下图示，设，则，6分可得,，所以,8分设与平面所成的角为由（）知 平面所以即 9分（）由（）知平面，又因为平面， 平面，所以，所以为二面角的平面角 11分在中，所以即所求二面角的余弦为 13分考点：（1）证明直线与平面垂直；（2）利用空间向量解决线面角、二面角问题.18（本小题满分13分）已知椭圆：的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（）求椭圆的标准方程；（）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一
11、点，过作的垂线交椭圆于点，证明：平分线段(其中为坐标原点)，当值最小时，求点的坐标【答案】（I）；（II）略；或.【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：（）解：由已知可得， 2分解得， 4分所以椭圆的标准方程是. 5分（）证明：由
12、（）可得，的坐标是，设点的坐标为，则直线的斜率.当时，直线的斜率.直线的方程是.当时，直线的方程是，也符合的形式6分设，将直线的方程与椭圆的方程联立，消去，得，其判别式.所以，. 8分设为的中点，则点的坐标为.所以直线的斜率，又直线的斜率，所以点在直线上，因此平分线段. 9分解：由可得， 10分所以12分当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值故当最小时，点的坐标是或 13分考点：(1)椭圆的方程； （2）直线与椭圆的综合问题.19（本小题满分14分）已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前项和.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：(1)根
13、据等比数列的首项和公比求通项公式；一般转化为首项和公比列方程求解，注意题中限制条件；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的.（3）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减.试题解析：（）解：因为，由题意得，解得，所以. 6分（）解：由题意可知，.8分当为偶数时，. 11分当为奇数时，. 14分所以.（或） 考点：（1）等比数列的通项公式；（2）裂项法求和
14、.20（本小题满分14分）已知函数，函数的图象在点处的切线平行于轴（）确定与的关系；（）试讨论函数的单调性； （）证明：对任意，都有成立【答案】（I）；（II）略；（）略.【解析】试题分析：(1)熟练地运用函数的性质以及代数式的恒等变换；(2)利用函数的单调性与导数的关系；(3)解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得；（4）不等式具有放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好切入点.试题解析：（）依题意得，则由函数的图象在点处的切线平行于轴得：所以 3分（）解：由（）得 4分因为函数的定义域为 所以当时，在上恒成立，由得，由得，即函数在上单调递增，在单调递减； 5分当时，令得或，若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减； 6分若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；7分若，即时，在上恒有，即函数在上单调递增， 8分综上得：当时，函数在上单调递增，在单调递减；当时，函数在，单调递增，在单调递减； 当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在单调递减9分（）证法1：由（）知当时，函数在单调递增，所以，即，11分令，则， 12分即 14分考点：函数性质的综合应用.
