1、9 三角函数的简单应用 必备知识自主学习 导思 1.回顾函数y=Asin(x+)+b(A0,0)的性质有哪些?2.应用三角函数模型解决实际问题的一般方法是什么?解三角函数应用问题的基本步骤【思考】在函数y=Asin(x+)+b(A0,0)中,A,b与函数的最值有何关系?提示:A,b与函数的最大值ymax,最小值ymin关系如下:(1)ymax=A+b,ymin=-A+b;(2)A=maxminmaxminyyyy,b.22【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)函数y=3sin x-1的最大值为3.()(2)直线x=是函数y=sin x的一条对称轴.()(3)函数y=sin(x
2、-4)的周期为2.()提示:(1).最大值应该是3-1=2.(2).x=+k(kZ),是y=sin x的对称轴.(3).T=2.222.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(t+)的图像如图所示,则当t=秒时,电流强度是()A.-5安 B.5安 C.5 安 D.10安(A0,0,0)2 110033.某人的血压满足函数关系式f(t)=24sin 160t+110,其中f(t)为血压,t为时 间,则此人每分钟心跳的次数为_.【解析】因为T=,所以f=80.答案:80 21160801T关键能力合作学习 类型一 三角函数在物理中的应用(数学建模)【题组训练】1.如图所示为一简谐振动
3、的图像,则下列判断正确的是()A.该质点的振动周期为0.7 s B.该质点的振幅为5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大 D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度不为零 2.交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=220 来 表示,求:(1)开始时的电压.(2)电压值重复出现一次的时间间隔.(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.3sin(100 t)6【解题策略】三角函数模型在物理中的应用(1)应用广泛:三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流、机械波等具有周期现象的方面.(2)物理术语数学化:解决三角函数模型在物理中的应用问题时,要
4、注意将条件中的物理术语与数学知识的联系、转化,如频率、平衡位置、波峰等.(3)利用数学知识解决问题后要将求出的数据回归其物理意义,以解决实际问题.类型二 三角函数在实际生活中的应用(数学建模)【典例】1.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin +k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5 B.6 C.8 D.10(x)6 2.据市场调查,某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数 f(x)=Asin(x+)+7 来表示(x为月份),已知3月份达到最高 价9万元,7月份价格最低,为5万元,则国庆节期间的价格约为()A.4.2万元 B.
5、5.6万元 C.7万元 D.8.4万元【思路导引】1.由题干图知k-3=2,可解得k,则k+3就是最大值.2.先利用函数的最大值A+7可求得A,然后根据7-3为 求出;再解方程求出,即可求出f(x),进而预测价格.(A0,0,|)2T2 【变式探究】典例2条件不变,问:在一年内商品价格不低于8万元的时间有多长?【解析】由f(x)=2sin +78易知有6个月的时间满足条件,故在一年内商品价格不低于8万元的时间有6个月.(x)44【解题策略】1.对三角函数应用的理解 三角函数是基本的初等函数之一,是反映周期变化现象的重要函数模型,在数学和其他领域具有重要作用,命题的背景常以波浪、潮汐、摩天轮等具
6、有周期性现象的模型为载体,考查学生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力.2.三角函数的应用在生产生活中的求解框图 【跟踪训练】某港口的水深y(单位:m)是时间t(0t24,单位:h)的函数,水深与时间数据如表:根据上述数据描出曲线,如图所示,经拟合,该曲线可近似地看做函数y=Asin t+b的图像.t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0(1)试根据以上数据,求函数解析式;(2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的,如果某船的吃水深度(船底与水面的
7、距离)为7 m,那么该船何时能进入港口?在港口能待多久?课堂检测素养达标 1.函数f(x)的部分图像如图所示,则f(x)的解析式可以是()A.f(x)=x+sin x B.f(x)=C.f(x)=xcos x D.f(x)=x cos xx3(x)(x)222.弹簧振子以O点为平衡位置,在B,C间做简谐振动,B,C相距20 cm,某时刻振子处在B点,经0.5 s振子首次到达C点,则振子在5秒内通过的路程及5 s末相对平衡位置的位移大小分别为_cm,_cm.【解析】振幅A=10,T=0.52=1,每个周期通过的路程为40 cm,5秒内通过 200 cm;经过5个周期仍回到初始位置B,位移为10 cm.答案:200 10 3.某同学利用描点法画函数y=Asin(x+)(其中0A2,02,-)的图像,列出的部分数据如表:经检查,发现表格中恰有一组数据计算错误,请你根据上述信息推断函数y=Asin(x+)的解析式应是_.x 0 1 2 3 4 y 1 0 1-1-2 224.如图,弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图像,求:(1)经过多长时间,小球往复振动一次.(2)这条曲线的函数解析式.(3)小球开始振动时,离开平衡位置的位移.
