1、考点规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用考点规范练B册第17页基础巩固1.对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,设向量a与b的夹角为,则ab=|a|b|cos |a|b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=|a|-|b|;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|a|-|b|.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.
2、2.已知a,b为单位向量,其夹角为60,则(2a-b)b=()A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角=60,则(2a-b)b=2ab-b2=2|a|b|cos -|b|2=211cos 60-12=0,故选B.3.(2019全国,文3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.2B.2C.52D.50答案:A解析:由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=(-1)2+12=2,故选A.4.若向量BA=(1,2),CA=(4,5),且CB(BA+CA)=0,则实数的值为()A.3B.-92C.-3D.-53答案:C解析:BA=(1
3、,2),CA=(4,5),CB=CA+AB=CA-BA=(3,3),BA+CA=(+4,2+5).又CB(BA+CA)=0,3(+4)+3(2+5)=0,解得=-3.5.(2019河北唐山一中高三下学期冲刺)设四边形ABCD为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4.若点M,N满足BM=3MC,DN=2NC,则AMNM=()A.20B.15C.9D.6答案:C解析:因为BM=3MC,DN=2NC,所以AM=AB+34BC,NM=13AB-14BC,则AMNM=AB+34BC13AB-14BC=13AB2-316BC2=9.6.在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的
4、面积为()A.5B.25C.5D.10答案:C解析:依题意得,ACBD=1(-4)+22=0,ACBD.四边形ABCD的面积为12|AC|BD|=12520=5.7.(2019广西桂林高三一模)已知平面向量AB,AC的模都为2,=90,若BM=MC(0),则AM(AB+AC)=()A.4B.2C.3D.0答案:A解析:设BC的中点为N,根据向量加法的平行四边形法则得到AB+AC=2AN,所以AM(AB+AC)=2AMAN.平面向量AB,AC的模都为2,AN是RtABC的中线,则|AN|=2.由向量投影的几何意义可得2AMAN=2|AN|2=4.故选A.8.设m,n为非零向量,则“存在负数,使得
5、m=n”是“mn0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:m,n为非零向量,若存在0,使m=n,即两向量反向,夹角是180,则mn=|m|n|cos 180=-|m|n|0.反过来,若mn0,则两向量的夹角为2,并不一定反向,即不一定存在负数,使得m=n,所以“存在负数,使得m=n”是“mn0”的充分不必要条件.故选A.9.已知A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量AB在向量CD方向上的投影为()A.105B.2105C.3105D.4105答案:B解析:由A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3
6、,5),得AB=(2,2),CD=(-1,3),ABCD=2(-1)+23=4,|CD|=1+9=10,则向量AB在向量CD方向上的投影为ABCD|CD|=410=2105.10.(2019北京,文9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m=.答案:8解析:a=(-4,3),b=(6,m),ab,ab=0,即-46+3m=0,即m=8.11.(2019全国,文13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos=.答案:-210解析:cos=ab|a|b|=2(-8)+2622+22(-8)2+62=-42210=-210.12.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)(
7、2a+b)=9.(1)求向量a与b的夹角;(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.解:(1)因为|a|=2,|b|=1,(2a-3b)(2a+b)=9,所以4a2-3b2-4ab=9,即16-8cos -3=9.所以cos =12.因为0,所以=3.(2)由(1)可知ab=|a|b|cos3=1,所以|a+b|=a2+b2+2ab=7,a(a+b)=a2+ab=5.所以向量a在a+b方向上的投影为a(a+b)|a+b|=57=577.能力提升13.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,向量m与n的夹角为,且cos =13.若n(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.94D
8、.-94答案:B解析:由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k0),因为n(tm+n),所以n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos +|n|2=t3k4k13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.14.已知ABAC,|AB|=1t,|AC|=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则PBPC的最大值等于()A.13B.15C.19D.21答案:A解析:以点A为原点,AB,AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图,则A(0,0),B1t,0,C(0,t),AB|AB|=(1,0),AC|AC|=(0,1
9、),AP=AB|AB|+4AC|AC|=(1,0)+4(0,1)=(1,4),点P的坐标为(1,4),PB=1t-1,-4,PC=(-1,t-4),PBPC=1-1t-4t+16=-1t+4t+17-4+17=13.当且仅当1t=4t,即t=12时等号成立,PBPC的最大值为13.15.如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AEBE的最小值为()A.2116B.32C.2516D.3答案:A解析:如图,取AB的中点F,连接EF.AEBE=(AE+BE)2-(AE-BE)24=(2FE)2-AB24=|FE|2-14.当EFC
10、D时,|EF|最小,即AEBE取最小值.过点A作AHEF于点H,由ADCD,EFCD,可得EH=AD=1,DAH=90.因为DAB=120,所以HAF=30.在RtAFH中,易知AF=12,HF=14,所以EF=EH+HF=1+14=54.所以(AEBE)min=542-14=2116.16.(2019江苏,12)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若ABAC=6AOEC,则ABAC的值是.答案:3解析:如图,过点D作DFCE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC中点,知BF=FE=EA,AO=OD.又ABAC=6AOEC=3AD(AC-AE)=32(AB+AC)AC-13AB=32ABAC-13AB2+AC2-13ABAC=3223ABAC-13AB2+AC2=ABAC-12AB2+32AC2,得12AB2=32AC2,即|AB|=3|AC|,故ABAC=3.高考预测17.已知两个平面向量a,b满足|a|=1,|a-2b|=21,且a与b的夹角为120,则|b|=.答案:2解析:向量a,b满足|a|=1,|a-2b|=21,且a与b的夹角为120,(a-2b)2=a2-4ab+4b2=1-41|b|cos 120+4|b|2=21,化简得2|b|2+|b|-10=0,解得|b|=2(负值舍去).
