1、4.3三角恒等变换探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点两角和与差的三角函数1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,会用二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2018浙江,18,14分两角差的余弦公式任意角的三角函数的定义、诱导公式2016浙江,16,14分二倍角公式解三角形2015浙江,16,14分二倍角公式正弦定理简单的三角恒等变换能利用两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行简单的三角恒等变换.2017浙江,18,14分二
2、倍角公式三角函数的性质2016浙江,10,6分三角恒等变换分析解读1.对本节内容的考查仍以容易题和中等难度题为主.2.主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及运用上述公式进行简单的恒等变换(例:2016浙江,10).3.对三角恒等变换的考查往往与解三角形、向量知识综合在一起.4.预计2021年高考试题中,三角恒等变换仍是考查的重点,复习时应高度重视.破考点 练考向【考点集训】考点一两角和与差的三角函数1.(2019浙江台州中学一模,2)计算:sin 5cos 55-cos 175sin 55的结果是() A.-12B.12C.-32D.32答案D2.(201
3、8浙江杭州二中期中,15)若满足sin(+20)=cos(+10)+cos(-10),则tan =.答案3考点二简单的三角恒等变换1.(2019课标全国理,10,5分)已知0,2,2sin 2=cos 2+1,则sin =()A.15B.55C.33D.255答案B2.(2019浙江镇海中学期中,7)已知sin6-=-23,则cos 2+3sin 2=()A.109B.-109C.-59D.59答案A3.(2020届山东夏季高考模拟,14)已知cos+6-sin =435,则sin+116=.答案-454.(2020届浙江镇海中学期中,18)已知f(x)=sinx2cosx2+sinx2+a的
4、最大值为22.(1)求实数a的值;(2)若f+4+f-4=23,求2sin2-4+11+tan的值.解析本题考查三角恒等变换以及三角函数式的求值;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.(1)f(x)=sinx2cosx2+sin2x2+a=122sinx2cosx2+12(1-cos x)+a=12sin x-12cos x+a+12=22sinx-4+a+12,当x=2k+34(kZ)时,sinx-4=1, f(x)取得最大值为22+a+12,结合条件,可知a=-12.(2)2sin2-4+11+tan=sin2-cos2+11+sincos=2sincos+sin2-cos2+
5、sin2+cos2cos+sincos=2sin cos ,由(1)知f(x)=22sinx-4,则f+4=22sin , f-4=-22cos ,结合条件,可知sin -cos =23,又因为sin2+cos2=1,所以2sin cos =59,由得2sin2-4+11+tan=59.炼技法 提能力【方法集训】方法1三角函数式的化简方法1.已知tan =2 018tan2 018,则sin+2 0172 018sin+2 018=() A.-1B.1C.-2 0172 019D.2 0172 019答案C2.化简(1+sin+cos)sin2-cos22+2cos(00),则A=,b=.答案
6、2;1B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一两角和与差的三角函数1.(2018课标全国理,4,5分)若sin =13,则cos 2=() A.89B.79C.-79D.-89答案B2.(2016课标全国,9,5分)若cos4-=35,则sin 2=()A.725B.15C.-15D.-725答案D3.(2019江苏,13,5分)已知tantan+4=-23,则sin2+4的值是.答案2104.(2017课标全国文,15,5分)已知0,2,tan =2,则cos-4=.答案31010考点二简单的三角恒等变换1.(2017课标全国文,4,5分)已知sin -cos =43,则sin 2=()A.-
7、79B.-29C.29D.79答案A2.(2016四川,11,5分)cos28-sin28=.答案22C组教师专用题组考点一两角和与差的三角函数1.(2015课标,2,5分)sin 20cos 10-cos 160sin 10=() A.-32B.32C.-12D.12答案D2.(2015重庆,9,5分)若tan =2tan5,则cos-310sin-5=()A.1B.2C.3D.4答案C3.(2017江苏,5,5分)若tan-4=16,则tan =.答案754.(2015江苏,8,5分)已知tan =-2,tan(+)=17,则tan 的值为.答案3考点二简单的三角恒等变换1.(2017山东
8、文,4,5分)已知cos x=34,则cos 2x=()A.-14B.14C.-18D.18答案D2.(2015四川,12,5分)sin 15+sin 75的值是.答案623.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-3),ab,所以-3cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0.于是tan x=-33.又x0,所以x=56.
9、(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-3)=3cos x-3sin x=23cosx+6.因为x0,所以x+66,76,从而-1cosx+632.于是,当x+6=6,即x=0时, f(x)取到最大值3;当x+6=,即x=56时, f(x)取到最小值-23.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2020届浙江杭州二中开学考,3)已知cos6-=23,则cos53+2的值为()A.59B.19C.-19D.-59答案C2.(2018浙江绍兴一中新高考调研卷五,5)已知ABC,有关系式tan C(sin 2B-sin A)=cos 2B+cos A成立,则ABC为()
10、A.等腰三角形B.A=60的三角形C.等腰三角形或A=60的三角形D.等腰直角三角形答案C3.(2020届浙江五校十月联考,9)在ABC中,已知sinAsinB+cos C=0,tan A=24,则tan B=()A.2B.22C.23D.22答案D二、填空题(每空3分,共12分)4.(2020届浙江名校协作体开学联考,12)设函数f(x)=cos 2x-sin x,则f56=,若f(x)0,则实数x的取值范围是.答案0;2k-76,2k+6(kZ)5.(2020届浙江之江教育联盟联考,14)已知函数f(x)=sin2x-sin2x-6,xR,则f(x)的最小正周期为,单调递增区间为.答案;-
11、6+k,3+k(kZ)三、解答题(共90分)6.(2020届浙江金丽衢十二校联考,18)设函数f(x)=sin x+cos x,xR.(1)求f(x)f(-x)的最小正周期;(2)求函数g(x)=sin3x+cos3x的最大值.解析本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)f(x)f(-x)=(sin x+cos x)(sin x-cos x)=-cos 2x.所以最小正周期T=22=.(2)g(x)=sin3x+cos3x=(sin x+cos x)(1-sin xcos x),令sin x+cos x=t,则t-2,2,所以sin xco
12、s x=t2-12,所以g(t)=t1-t2-12=t3-t22=3t-t32,g(t)=3-3t22,即g(t)在-2,-1上单调递减,在-1,1上单调递增,在1,2上单调递减,所以g(t)max=g(1)=1.7.(2019浙江三校联考,18)已知函数f(x)=6cos2x2+3sin x-3(0)的图象上相邻两对称轴之间的距离为4.(1)求的值及f(x)的单调增区间;(2)若f(x0)=635,且x023,143,求f(x0+1)的值.解析(1)f(x)=3cos x+3sin x=23sinx+3.由题意得T=8,所以=28=4,所以f(x)=23sinx4+3.令-2+2kx4+32
13、+2k,kZ,解得-103+8kx23+8k,kZ.所以f(x)的单调增区间为-103+8k,23+8k,kZ.(2)由(1)知f(x0)=23sinx04+3=635,即sinx04+3=35,因为x023,143,所以x04+32,32,所以cosx04+3=-45.所以f(x0+1)=23sinx04+4+3=23sinx04+3cos4+cosx04+3sin4=233522-4522=-65.8.(2019浙江杭州高级中学期中,18)已知函数f(x)=cos2x+3cos xcosx+2. (1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值;(2)若f(x0)=-110,x012,3,
14、求cos 2x0的值. 解析(1)f(x)=-sin2x-6+12.易知当sin2x-6=-1时, f(x)取得最大值,此时2x-6=-2+2k,kZ,故x=-6+k,kZ,所以当 x=-6+k,kZ时,f(x)max=32. (2)因为f(x0)=-sin2x0-6+12=-110,所以sin2x0-6=35.因为x012,3,所以2x0-60,2,故cos2x0-6=45. 所以cos 2x0=cos2x0-6+6=cos2x0-6cos6-sin2x0-6sin6=43-310.9.(2019浙江高考数学仿真卷(二),18)已知函数f(x)=-3sin 2x-2cos2x+1.(1)求函
15、数f(x)的振幅和单调递增区间;(2)在ABC中,C为锐角,满足sin 2C+2sin2A=1,若f(C)=12,求cos 2A的值.解析(1)f(x)=-3sin 2x-cos 2x=-2sin2x+6,f(x)的振幅为2.令2+2k2x+632+2k(kZ),则6+kx23+k(kZ).f(x)的单调递增区间为6+k,23+k(kZ).(2)sin 2C+2sin2A=1,sin 2C=1-2sin2A=cos 2A=sin2+2A,2C=2+2A或2C+2A+2=,所以C-A=4或C+A=4.C为锐角,2C+66,76,f(C)=12,-2sin2C+6=12,sin2C+6=-14,2
16、C+6,76,C512,2,C-A=4,此时cos2C+6=-154,cos 2A=cos2C-4=cos2C-2=sin 2C=sin2C+6-6=sin2C+6cos6-cos2C+6sin6=-1432-15412=15-38.10.(2019浙江高考信息优化卷(一),18)已知函数f(x)=23sin xsinx+2-2sin2x+1(0),且f(x)的最小正周期为.(1)求的值以及f(x)在区间0,3上的值域;(2)若f()=255,且6,2,求cos 2的值.解析(1)f(x)=23sin xcos x+cos 2x=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6,T=22=,=1
17、,f(x)=2sin2x+6,x0,3,2x+66,56,sin2x+612,1,f(x)1,2.(2)易知f()=2sin2+6=255sin2+6=55,6,2,2+62,76,cos2+6=-255,cos 2=cos2+6-6=cos2+6cos6+sin2+6sin6=5-21510.11.(2020届浙江Z20联盟开学联考,18)已知函数f(x)=cos2x+3sin xcos x.(1)求f3的值;(2)若f2=1310,0,3,求cos 的值.解析本题考查简单的三角恒等变换;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)因为f(x)=cos2x+3sin xcos x=1+cos2x2+32sin 2x=12+sin2x+6,所以f3=12+sin23+6=12+sin 56=12+12=1.(2)由f2=1310,0,3,得sin+6=45,cos+6=35,所以cos =cos+6-6=cos+6cos6+sin+6sin6=33+410.
