1、第二讲两条直线的位置关系ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括_平行、相交、重合_三种情况(1)两条直线平行对于直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1l2k1k2，且b1b2对于直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10(或A1C2A2C10)(2)两条直线垂直对于直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1l2k1k21对于直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2_A1A2B1B20_知识点二两条直线
2、的交点直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组的解相交方程组有_唯一解_；平行方程组_无解_；重合方程组有_无数个解_知识点三三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|(2)点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d(3)两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离为d1求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式2对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理(2
3、)轴对称：转化为垂直平分线问题处理特殊地：点P(a，b)关于直线xym0对称的点坐标为(bm，am)，点P(a，b)关于直线xym0对称的点坐标为(bm，am)题组一走出误区1(多选题)下列结论正确的是(BD)A如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于1B已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20C点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为D若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上题组二走进教材2(课本习题改编)过点(1,0)且与直线
4、x2y20平行的直线方程是(A)Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y103(必修2P110B组T2)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于(C)A B2 C1 D1解析由题意得1解得a1或a1a0，a1题组三考题再现4(2019江西抚州七校联考)过点(2,1)且与直线3x2y0垂直的直线方程为(B)Ax3y10 B2x3y70C3x2y40 D3x2y805(2019广东江门模拟)“a2”是“两直线ax3y2a0和2x(a1)y20平行”的(A)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析两直线ax3y2a0和2x(a1)y20平
5、行的充要条件为，即a2或a3，又“a2”是“a2或a3，的充分不必要条件，即“a2”是“两直线ax3y2a0和2x(a1)y20平行”的充分不必要条件，故选AKAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究 考点一两条直线平行、垂直的关系自主练透例1(1)(2019高安期中)经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是(A)A6x4y30 B3x2y30C2x3y20 D2x3y10(2)“m3”是“直线l1：2(m1)x(m3)y75m0与直线l2：(m3)x2y50垂直”的(A)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不
6、必要条件(3)(2019宁夏模拟)若直线l1：x2my10与l2：(3m1)xmy10平行，则实数m的值为0或(4)(多选题)等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2)，一条直角边所在直线的方程为y2x，则另外两边所在直线的方程为(CD)A3xy140 Bx2y20Cx3y20 Dx2y140解析(1)因为抛物线y22x的焦点坐标为(，0)，直线3x2y50的斜率为，所以所求直线l的方程为y(x)，化为一般式，得6x4y30(2)由l1l2，得2(m1)(m3)2(m3)0，m3或m2，m3是l1l2的充分不必要条件(3)因为直线l1：x2my10与l2：(3m1)xmy10平行，则斜率相等或者斜
7、率不存在，或者m0，m或0(4)设斜边所在直线的斜率为k，由题意知tan 1，k，斜边所在直线方程为y2(x4)，即x3y20，由可知A(，)，A关于M的对称点B(，)，另一条直角边的方程为y(x)，即x2y140，故选C、D名师点拨 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论变式训练1(1)(2019四川资阳模拟)已知直线l1：ax(a2)y20与l2：xay10平行，则实数a的值为(D)A
8、1或2 B0或2 C2 D1(2)设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a(B)A2 B2 C D解析(1)由题意得aa(a2)0，即a2a20，解得a2或1经过验证可得，a2时两条直线重合，舍去a1，故选D (2)y，y由题意可知(a)1，a2，故选B考点二两直线的交点、距离问题师生共研例2(1)两条垂直直线l1：2xy10与l2：ax4y60的交点到原点的距离为(2)已知点P(2，1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由(3)若两平行直
9、线3x2y10,6xayc0之间的距离为，则c的值是_2或6_解析(1)kl12，kl2，由l1l2知2()1，a2，l2：x2y30，由得交点A(1，1)，|AO|(2)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过点P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x2若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10由已知得2，解得k此时l的方程为3x4y100综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1，所以kl2由直线方程的点斜式，得y12(x2)
10、，即2xy50所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为由可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线(3)依题意知，解得a4，c2，即直线6xayc0可化为3x2y0，又两平行直线之间的距离为，所以，解得c2或6名师点拨 距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式(2)两平行直线间的距离：利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；利用两平行线间的距离公式提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x、y的系数分别相等变
11、式训练2(1)(多选题)已知两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30距离相等，则m的值可以为(AC)A6 B C D1(2)(2019绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为(C)A B C D解析(1)直线mxy30与直线AB平行或过AB中点，m，即m；AB中点(1,3)，m330即m6，故选A、C(2)因为，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为考点三对称问题多维探究角度1线关于点的对称例3(2020河北五校联考)直线axy3a10恒过定点M，则直线2x3y60关于M点对称的直线方
12、程为(D)A2x3y120 B2x3y120C2x3y120 D2x3y120解析由axy3a10，可得y1a(x3)，所以M(3,1)，M不在直线2x3y60上，设直线2x3y60关于M点对称的直线方程为2x3yc0(c6)，则，解得c12或c6(舍去)，所以所求方程为2x3y120，故选D另解：在直线2x3y60上取点A(0,2)、B(3,0)，则A、B关于M的对称点分别为A(6,0)，B(9,2)，又kAB，故所求直线方程为y(x6)，即2x3y120.故选D角度2点关于线的对称例4(2019长沙一模)已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则
13、反射光线所在直线的方程为_6xy60_解析设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为，即6xy60(代入法)当x3时，由xy30得y0，当y4时，由xy30得x1M(3,4)关于直线l的对称点为M(1,0)又kNM6，所求直线方程为y6(x1)，即6xy60引申本例中入射光线所在直线的方程为_x6y270_解析N(2,6)关于直线l的对称点N(3,5)，又kMN，所求直线方程为y4(x3)，即x6y270角度3线关于线的对称例5(2019合肥模拟)已知直线l：xy10，l1：2xy
14、20.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是(B)Ax2y10 Bx2y10Cxy10 Dx2y10解析解法一：因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上又易知(0，2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则解得即(1,0)，(1，1)为l2上两点，可得l2的方程为x2y10解法二：在l1上取两点A(0，2)，B(1,0)，则A、B关于l的对称点分别为A(1，1)，B(1,0)，kAB.l2的方程为y0(x1)，即x2y10.故选B解法三：设P(x，y)是直线l2上任一点，则P关于直线l的对称点为P(y1，x1)，又Pl
15、1，2(y1)(x1)20，即直线l2的方程为x2y10.故选B名师点拨 对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：(1)中心对称点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决特别地，当对称轴的斜率为1时，可类比关于yx的对称问题采用代入法，如(1,3)关于yx1的对称点为(31，11)，即(2,2)变式训练3已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(
16、1)(角度2)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)(角度3)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)(角度1)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解析(1)设A(x，y)，由已知条件得解得A(，)(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点M(a，b)，则得M(，)设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020(3)设P(x，y)在l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，点P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y
17、90MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升 巧用直线系求直线方程例6(1)求证：动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210(其中mR)恒过定点，并求出定点坐标(2)求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程解析(1)证明：解法一：令m0，则直线方程为3xy10再令m1时，直线方程为6xy40和联立方程组得将点A(1,2)的坐标代入动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210中，(m22m3)(1)(1mm2)23m21(312)m2(22)m2130，故动直线(m22m3)x(1mm2
18、)y3m210恒过定点A解法二：将动直线方程按m降幂排列整理，得m2(xy3)m(2xy)3xy10，不论m为何实数，式恒为零，有解得故动直线恒过点A(1,2)(2)解法一：解方程组得P(0,2)因为l3的斜率为，且ll3，所以直线l的斜率为，由斜截式可知l的方程为yx2，即4x3y60解法二：设所求直线方程为4x3ym0，将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m6，故所求直线方程为4x3y60解法三：设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420又ll3，3(1)(4)(2)0，解得11直线l的方程为4x3y60引申若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”，则直线l的方程
19、为_3x4y80_名师点拨 1确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式yy0f()(xx0)，从而确定定点(x0，y0)；(2)将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点；(3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标2直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中A1B2A2B10，待定系数R.在这个方程中，无论取什么实数，都得不到A2xB2yC20，因此它不能表示直线l2(2)过定点(x0，y0)的直线系方程
20、为yy0k(xx0)(k为参数)及xx0(3)平行直线系方程：与直线ykxb平行的直线系方程为ykxm(m为参数且mb)；与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(C，是参数)(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A0，B0)垂直的直线系方程是BxAy0(为参数)如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解变式训练4(1)(2019启东模拟)不论m为何值时，直线(m1)x(2m1)ym5恒过定点(D)A(1，) B(2,0)C(2,3) D(9，4)(2)与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线的方程是_5x12y320或5x12y200_解析(1)由(m1)x(2m1)ym5，得(x2y1)m(xy5)0，由得定点坐标为(9，4)，故选D(2)设所求直线的方程为5x12yc0，则2，解得c32或20，故所求直线的方程为5x12y320或5x12y200
