1、 雅 可 比 伯 努 利 的 墓 碑在 数 学 史 上，瑞 士 的 伯 努 利 家 族 培 养 出 很 多 优 秀 的 数 学 家，其 中 最 著 名 的 数 学 家 是 雅 可 比 伯 努 利，他发 明 了“等 角 螺 线”在 等 角 螺 线 中，任 意 一 点 画 出 的 连 线 与 该 点 切 线 永 远 保 持 一 定 角 度，故 取 此 名 有 一 种 说法 是 雅 可 比 伯 努 利 要 求 自 己 死 后 在 墓 碑 上 刻 上 等 角 螺 线 并 写 上“纵 然 改 变，依 然 故 我（）”的 碑 文，不 过 错 误 理 解 等 角 螺 线 的 雕 刻 师 把 旋 涡 状 花
2、纹 刻 了 上 去 二次根式内 容 清 单能 力 要 求二 次 根 式 的 概 念能 利 用 二 次 根 式 概 念 判 断 二 次 根 式存 在 的 可 能 性 二 次 根 式 的 加 减 运 算 法 则会 利 用 二 次 根 式 的 加 减 法 则 进 行 加减 运 算 二 次 根 式 的 乘 除 运 算 法 则能 根 据 先 乘 除 后 加 减 法 则 进 行 二 次根 式 的 混 合 运 算 年 浙 江 省 中 考 真 题 演 练一、选 择 题 （杭 州）下 列 各 式 中，正 确 的 是（）（）槡 槡 （）槡 槡 （嘉 兴）设 犪 ，犫 ，则 下 列 运 算 错 误 的 是（）槡犪犫
3、 槡犪 槡犫 犪 槡犫 槡犪 槡犫 （槡犪）犪 犪槡犫 槡犪槡犫 年 全 国 中 考 真 题 演 练一、选 择 题 （四 川 泸 州）二 次 根 式狓槡 中，狓的 取 值 范 围是（）狓 狓 狓 狓 （内 蒙 古 包 头）二 次 根 式狓槡 狓 中，狓 的 取 值 范 围是（）狓 且 狓 狓 狓 狓 且 狓 （山 东 烟 台）槡 的 值 是（）（山 东 潍 坊）如 果 代 数 式狓槡 有 意 义，则 狓 的 取 值 范围 是（）狓 狓 狓 狓 （天 津）估 计 槡 的 值 在（）到 之 间 到 之 间 到 之 间 到 之 间 （江 苏 南 京）的 负 的 平 方 根 介 于（）与 之 间 和
4、之 间 与 之 间 与 之 间 （山 东 烟 台）若（犪 ）槡 犪，则（）犪 犪 犪 犪 （湖 南 怀 化）的 平 方 根 是（）槡 （四 川 宜 宾）根 式狓 槡槡 中 狓 的 取 值 范 围 是（）狓 槡 狓 槡 狓 槡 狓 槡 （四 川 凉 山 州）已 知 狔 狓槡 槡狓 ，则狓狔 的 值 为（）（湖 北 孝 感）下 列 计 算 正 确 的 是（）槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 （湖 南 邵 阳）最 接 近 槡 的 整 数 是（）刘 徽 的 贡 献 和 地 位刘 徽 的 工 作，不 仅 对 中 国 古 代 数 学 的 发 展 产 生 了 深 远 影 响，而 且 在 世 界 数
5、 学 史 上 也 确 立 了 崇 高 的 历 史 地 位，成 为 中 国传 统 数 学 理 论 体 系 的 奠 基 者 之 一 经 他 注 释 的 九 章 算 术 影 响、支 配 中 国 古 代 数 学 的 发 展 余 年，是 东 方 数 学 的 典 范之 一，与 希 腊 欧 几 里 得（约 前 前 ）的 原 本 所 代 表 的 古 代 西 方 数 学 交 相 辉 映 鉴 于 刘 徽 的 巨 大 贡 献，所 以 不 少 书 上把 他 称 作“中 国 数 学 史 上 的 牛 顿”二、填 空 题 （贵 州 安 顺）计 算：槡 槡 （江 西）当 狓 时，槡狓 的 值 是 （湖 南 衡 阳）计 算：槡
6、 槡 槡 （四 川 内 江）若犿 槡 ，则犿 犿 犿 的 值 为 （广 东 茂 名）已 知 一 个 正 数 的 两 个 平 方 根 分 别 为 犪 和 犪 ，则 犪 的 值 是 （湖 北 荆 州）若 等 式狓槡（）成 立，则 狓 的 取值 范 围 为 三、解 答 题 （山 东 德 州）已 知狓 槡 ，狔 槡 ，求狓 狓狔 狔狓 狔的 值 （上 海）计 算：（槡 ）槡 槡（）（湖 南 湘 潭）先 化 简，再 求 值：狓狓 狓（），其 中 狓 槡 （辽 宁 朝 阳）先 化 简，再 求 值：狓 狓狓 狓（）狓，其中 狓 槡 趋 势 总 揽 年 对 二 次 根 式 的 考 查 仍 将 以 基 本 题
7、型 为 主，考 查 时 多以 填 空 题、选 择 题 的 形 式 出 现，题 目 中 包 含 若 干 个 知 识 点，同 时渗 透 数 形 结 合 的 思 想 其 中 重 点 考 查 最 简 二 次 根 式、同 类 二 次 根式 的 概 念，以 及 二 次 根 式 的 化 简、求 值 可 能 还 会 与 一 元 二 次 方程、函 数 等 知 识 相 联 系 高 分 锦 囊 理 解 二 次 根 式 的 有 关 概 念 能 正 确 运 用 二 次 根 式 的 运 算法 则 进 行 实 数 的 混 合 运 算 要 特 别 注 意 二 次 根 式 运 算 的 法 则、方 法、技 巧 实 数 的 运 算
8、 主要 是 由 二 次 根 式、三 角 函 数 等 组 成 的 混 合 算 式 的 计 算，一 般 难 度 不大，运 算 时 要 认 真 审 题，确 定 符 号，明 确 运 算 顺 序，灵 活 运 用 法 则 通 过 观 察、归 纳、猜 想 一 些 规 律 题 目 通 过 类 比 思 想 进 行 二 次 根 式 的 计 算，如 二 次 根 式 计 算 可类 比 同 类 项 计 算：槡 槡 槡，犪 犪 犪，这 样 通 过 类 比 有利 于 掌 握 计 算 方 法 常 考 点 清 单 一、二 次 根 式 的 有 关 概 念 二 次 根 式 的 定 义 形 如 槡犪 的 式 子 叫 做 二 次 根
9、式 最 简 二 次 根 式 满 足 下 列 两 个 条 件 的 二 次 根 式 是 最 简 二 次 根 式（）被 开 方 数 的 因 数 是 整 数，因 式 是 整 式，即 被 开 方 数 不 含 （）被 开 方 数 中 不 含 的 因 数 或 因 式 二、二 次 根 式 的 性 质 （槡犪）犪（）犪槡 犪 （犪 ），（犪 ）槡犪犫 （犪 ，犫 ）犪槡犫 （犪 ，犫 ）三、二 次 根 式 的 运 算 二 次 根 式 的 加 减 进 行 二 次 根 式 的 加 减 计 算 时，先 将 二 次 根 式 化 成 ，再 将 相 同 的 二 次 根 式 进 行 合 并 二 次 根 式 的 乘 除（）槡犪
10、 槡犫 （犪 ，犫 ）；（）槡犪槡犫 （犪 ，犫 ）；（）因 式 的 外 移：犪 槡犫 ，如槡 ；熊 庆 来（一）熊 庆 来 是 中 国 著 名 的 数 学 家 和 教 育 家 他 生 于 年，卒 于 年，云 南 弥 勒 人 熊 庆 来 岁 时 考 入 云 南 省 高 等 学 堂，因 为 成 绩 优 异，岁 时 便 被 派 往 比 利 时 学 习 采 矿 技 术 后 来 他 又 到 法 国 留 学，并 获 得 了 博 士 学 位 熊 庆 来 主 要 从 事 函 数 论 方面 的 研 究，他 定 义 了 一 个“无 穷 级 函 数”，国 际 上 称 之 为“熊 氏 无 穷 数”因 式 的 内 移
11、：犪 槡犫 ，如 槡 易 混 点 剖 析 平 方 根 和 算 术 平 方 根：一 个 正 数 的 平 方 根 有 两 个，且 这 两 个 平 方 根 互 为 相 反 数 一个 正 数 的 正 的 平 方 根 才 是 此 正 数 的 算 术 平 方 根 的 平 方 根 和 算术 平 方 根 都 是 二 次 根 式 的 概 念：二 次 根 式 槡犪 中，犪 可 以 是 数，也 可 以 是 单 项 式、多 项 式、分 式等 代 数 式，但 必 须 要 求 犪 ，这 是 前 提 最 简 二 次 根 式 与 同 类 二 次 根 式：同 类 二 次 根 式 是 在 化 简 为 最 简 二 次 根 式 的
12、基 础 上 比 较 被 开方 数，若 两 个 或 几 个 最 简 二 次 根 式 的 被 开 方 数 相 同，则 它 们 就 是同 类 二 次 根 式 槡犪 槡犫 槡犪犫，但槡犪犫 不一定等于 槡犪 槡犫，如（）（槡）槡 槡 易 错 题 警 示【例 】（江 苏 张 家 港）先化简，再求值：狓 狓（）（）狓，其 中 狓 槡 【解 析】先 利 用 分 式 化 简 知 识 进 行 化 简，再 将 狓 值 代 入 进行 二 次 根 式 的 计 算【答 案】原 式 狓 狓 狓狓 狓 当 狓 槡 时，原 式 槡 【例 】（浙 江 丽 水）计 算：槡（）【解 析】本 题 涉 及 特 殊 角 的 三 角 函
13、数 值、绝 对 值、二 次 根 式化 简、负 指 数 四 个 考 点 在 计 算 时，需 要 针 对 每 个 考 点 分 别 进 行计 算，然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 二 次 根 式 的 加 减只 将 系 数 相 加 减【答 案】原 式 槡 槡 槡【例 】（湖 北 荆 门）先 化 简，后 求 值：犪 犪 犪（）（犪 ），其 中 犪 槡 【解 析】本 题 是 一 道 关 于 分 式 化 简 和 二 次 根 式 的 综 合 类题，注 意 不 能 去 掉 分 母【答 案】原 式 犪 犪 犪 当 犪 槡 时，原 式 槡 槡 年 浙 江 省 中 考 仿 真 演 练
14、一、选 择 题 （椒 江 二 中、温 中 实 验 学 校 第 一 次 联 考）若（犪 ）槡 犪，则 犪 的 取 值 范 围 是（）犪 犪 犪 犪 （杭 州 一 模）已 知：犿，狀 是 两 个 连 续 自 然 数（犿 狀），且狇 犿 狀，设 狆 狇 槡狀 狇 槡犿，则 狆（）总 是 奇 数 总 是 偶 数 有 时 奇 数，有 时 偶 数 有 时 有 理 数，有 时 无 理 数 （杭 州 模 拟）当 狓 时，二 次 根 式 槡狓 的 值 为（）（义 乌 模 拟）下 列 属 于 最 简 二 次 根 式 的 是（）槡 槡 槡 槡 二、填 空 题 （椒 江 二 中、温 中 实 验 学 校 第 一 次 联
15、 考）若犪槡 ，槡犫 ，且 犪犫 ，则 犪 犫 （衢 州 三 模）函 数 狔 狓槡 狓 中 自 变 量 狓 的 取 值 范 围 是 （杭 州 模 拟）与 槡 的 积 为 正 整 数 的 是 （写 出一 个 即 可）三、解 答 题 （金 华 五 模）计 算：（）熊 庆 来（二）熊 庆 来 非 常 热 爱 教 育 事 业，他 为 培 养 中 国 的 科 学 人 才 做 出 了 卓 越 贡 献 年，他 在 清 华 大 学 当 数 学 系 主 任 时，从 学 术杂 志 上 看 到 了 华 罗 庚 的 名 字，了 解 到 华 罗 庚 的 自 学 经 历 和 数 学 才 华 后，破 格 录 取 只 有 初
16、 中 学 历 的 华 罗 庚 到 清 华 大 学 学 习 年 全 国 中 考 仿 真 演 练一、选 择 题 （上 海 黄 浦 二 模）下 列 根 式 中，与 槡 为 同 类 二 次 根 式的 是（）槡 槡 槡 槡 （湖 北 荆 门 东 宝 区 模 拟）下 列 计 算：槡 槡 槡；槡 槡；槡槡 槡；槡 其 中 错 误 的是（）（江 苏 南 通 三 模）已 知 犪犪槡 槡犪犪，则 犪 的 取 值 范围 是（）犪 犪 犪 犪 （四 川 内 江 模 拟）槡 的 算 术 平 方 根 是（）槡 槡 （湖 北 武 汉 月 调 考 模 拟）二 次 根 式 槡狓 有 意 义，则 狓的 取 值 范 围 是（）狓
17、狓 狓 狓 二、填 空 题 （上 海 市 奉 贤 区 调 研 试 题）方 程狓槡 的 解是 （贵 州 兴 仁 中 学 一 模）狓槡 （狔 ），则 狓 （江 苏 苏 州 市 吴 中 区 教 学 质 量 调 研）若犪 犪槡 犪，则 实 数 犪 的 值 为 （湖 北 黄 冈 浠 水 中 考 调 研）化 简犪犫槡 三、解 答 题 （上 海 青 浦 二 模）计 算：（槡）（）槡 槡 槡 （江 苏 无 锡 前 洲 中 学 模 拟）计 算：槡 （）（江 苏 苏 州 吴 中 区 教 学 质 量 调 研）“欲 穷 千 里 目，更 上一 层 楼”说 的 是 登 得 高 看 得 远 如 图，若 观 测 点 的 高
18、度 为 犺，观 测 者 视 线 能 达 到 的 最 远 距 离 为 犱，则 犱 槡 犺犚，其 中 犚 是地 球 半 径（通 常 取 ）小 丽 站 在 海 边 一 块 岩 石 上，眼睛 离 海 平 面 的 高 度 犺 为 ，她 观 测 到 远 处 一 艘 船 刚 露 出海 平 面，求 此 时 犱 的 值（第 题）（四 川 中 江 县 毕 业 生 诊 断 考 试）计 算：（）槡 槡 槡 （湖 北 武 汉 模 拟）先 化 简，再 求 值 狓槡 槡狓 狓槡 狓，其 中 狓 熊 庆 来（三）在 熊 庆 来 的 指 导 下，华 罗 庚 通 过 不 断 的 努 力，成 为 我 国 著 名 的 数 学 家 我
19、 国 许 多 著 名 的 科 学 家 也 都 是 熊 庆 来 的 学生 他 在 多 岁 高 龄 时，虽 已 身 染 重 病，还 是 耐 心 地 指 导 着 两 位 研 究 生，这 两 位 研 究 生 就 是 后 来 享 誉 数 学 界 的 数 学 家 杨乐 和 张 广 厚 熊 庆 来 爱 惜 和 培 养 人 才 的 高 尚 品 格，深 受 人 们 的 敬 佩 年，他 在 当 时 的 东 南 大 学 任 教 时，发 现 一 个 叫刘 光 的 学 生 虽 然 很 贫 困，但 非 常 有 才 华，熊 庆 来 便 经 常 指 点 他 读 书、研 究，在 经 济 上 还 经 常 帮 助 他 槡 的 平
20、方 根 是（）若 狓 槡犪 槡犫，狔 槡犪 槡犫，则 狓狔 的 值 为（）槡犪 槡犫 犪 犫 犪 犫 若 化 简 狓 狓 狓槡 的 结 果 为 狓 ，则 狓 的 取 值范 围 是（）狓 为 任 意 实 数 狓 狓 狓 实 数 犪，犫 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示，化 简犪槡 犫槡（犪 犫）槡（第 题）计 算：（）（槡 槡）槡 槡（）计 算：（）槡 （槡）计 算：（）（槡）（）槡 槡 槡 ；（）狓 槡 槡 判 断 下 面 各 式 是 否 成 立：（）槡 槡 ；（）槡 槡 ；（）槡 槡 二次根式 年 考 题 探 究 年 浙 江 省 中 考 真 题 演 练 年 全 国 中 考 真 题
21、演 练 解 析 狓 解 析 狓 解 析 槡 是 求 的 算 术 平 方 根 解 析 狓 解 析 槡 槡 槡 解 析 槡 槡 槡 解 析 由 犪 ，得 犪 解 析 槡槡 解 析 由 狓槡 ，得 狓 槡 解 析 由 狓 ，得 狓 ，此 时 狔 狓狔 （）解 析 槡槡 无 法 合 并，槡槡 无 法 合 并，槡槡 解 析 槡 槡 槡 解 析 槡槡槡槡槡 槡 解 析 槡狓槡槡 槡 解 析 原 式槡槡槡 解 析 犿槡 ，犿 犿 犿 犿 （犿 犿 ）犿 （犿 ）犿 解 析 由（犪 ）（犪 ），得 犪 狓 且 狓 解 析 狓 ，狓槡 烅烄烆，得狓 ，狓 原 式（狓 狔）（狓 狔）（狓 狔）狓 狔狓 狔，当 狓
22、槡 ，狔槡 时，原 式 槡 槡 槡 原 式槡槡槡槡 狓狓 狓（）狓 狓 狓狓（狓 ）狓 当 狓槡 时，原 式 槡 槡 原 式 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓狓（狓 ）（狓 ）狓 将 狓槡 代 入 上 式，原 式 槡 （槡）槡槡 年 模 拟 提 优 年 浙 江 省 中 考 仿 真 演 练 解 析 把 狓 代 入 即 可 解 析 槡 ，槡槡 ，槡 槡 狓 且 狓 解 析 保 证 被 开 方 的 二 次 根 式 非 负 性 以及 分 母 不 为 零 即 可 槡（答 案 不 唯 一）解 析 只 要 使 二 次 根 号 去 掉 即 可，例 如槡 槡 即 可 原 式 年 全 国 中 考 仿 真 演 练 解 析
23、 槡槡 解 析 槡 槡 槡 解 析 犪 ，得 犪 又 犪 ，所 以 犪 解 析 槡 ，的 算 术 平 方 根 是 槡 解 析 由 狓 ，得 狓 狓 解 析 方 程 两 边 平 方 即 可 解 析 由 平 方 及 二 次 根 式 的 非 负 性 得 狓 ，狔 解 析 方 程 两 边 平 方，得 犪 或 犪 （二 次 根 式 无意 义，故 舍 去）犫槡 犪犫 解 析 犪犫槡 犫 槡犪犫 犫槡 犪犫 原 式槡 （槡 ）槡 （槡 ）槡 原 式槡 槡 由 犚 ，犺 ，得 犱 槡槡 （）原 式 槡 槡 槡 （槡 ）槡 原 式 槡 狓 槡 狓 槡 狓 槡 狓 当 狓 时，原 式 槡 槡 考 情 预 测 解 析 槡 ，的 平 方 根 是 解 析 本 题 主 要 考 查 平 方 差 公 式 狓狔 （槡犪 槡犫）（槡犪 槡犫）（槡犪）（槡犫）犪 犫 解 析 原 式 （狓 ）（狓）狓 狓 ，狓 ，即 狓 犫 解 析 本 题 主 要 考 查 无 理 数、二 次 根 式 及 绝 对 值 的知 识，在 计 算 时 应 灵 活 运 用犪槡 犪 原 式 槡 （）（槡槡 ）槡槡槡 槡 原 式槡槡 （）原 式 （）狓 槡槡 ，狓 （），狓 ，狓 ，狓 槡 上 面 三 题 都 正 确（）槡 槡（）规 律：狀 狀狀 槡 狀狀狀 槡 证 明：狀 狀狀 槡 狀 狀 槡 狀狀狀 槡
