1、课时规范练30等比数列及其前n项和基础巩固组1.(2019河南郑州三模,6)等比数列an的前n项和为Sn,若S2n=4(a1+a3+a2n-1)(nN*),a1a2a3=-27,则a5=()A.81B.24C.-81D.-242.等比数列an中,anan+1=4n-1,则数列an的公比为()A.2或-2B.4C.2D.23.(2019江西省临川一中模拟)已知正项等比数列an的前n项和为Sn,且7S2=4S4,则公比q的值为()A.1B.1或12C.32D.324.在公比为正数的等比数列an中,a1+a2=2,a3+a4=8,则S8等于()A.21B.42C.135D.1705.(2019河南八
2、市联考二,3)九章算术中有一题:今有牛、马、羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何.其意思是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”若按此比例偿还,牛、马、羊的主人各应赔偿多少?设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗、y斗、z斗,则下列判断正确的是()A.y2=xz且x=57B.y2=xz且x=207C.2y=x+z且x=57D.2y=x+z且x=2076.(2019山西晋城二模)设等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6=
3、()A.63B.62C.61D.607.(2019湖南六校联考,5)已知公差d0的等差数列an满足a1=1,且a2,a4-2,a6成等比数列,若正整数m,n满足m-n=10,则am-an=()A.30B.20C.10D.5或408.(2019四川绵阳期中)已知数列an是正项等比数列,且a1a8=4a5,a4与2a6的等差中项为18,则a5=()A.2B.4C.8D.169.(2019北京通州三模)设数列an是等比数列,且a2a4=a5,a4=27,则an的通项公式为.10.(2017江苏,9)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8=.11.(2019
4、山东东营一中模拟)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(nN*),若bn=an+1-2an.(1)求证:bn是等比数列.(2)略.综合提升组12.(2019广东深圳一模)已知等比数列an的前n项和Sn=a3n-1+b,则ab=()A.-3B.-1C.1D.313.(多选)下列命题中正确的是()A.若数列an是等差数列,且am+an=as+at(m,n,s,tN*),则m+n=s+tB.若Sn是等差数列an的前n项的和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列C.若Sn是等比数列an的前n项的和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列D.若Sn是等比数列an
5、的前n项的和,且Sn=Aqn+B(其中A,B是非零常数,nN*),则A+B为零14.(2019陕西宝鸡中学模拟,4)我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题(意为):“有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,那么,此人第4天和第5天共走路程是()A.24里B.36里C.48里D.60里15.数列an中,a1=2,an+1=2an-1,则an=,Sn为数列an的前n项和,则Sn=.创新应用组16.(2019山东德州二模,16)设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=2Sn-Sn+1+3,记bn=log2a
6、2n-1+log2a2n,则bn=.17.(2019江苏启东中学模拟)已知数列an满足an+1=3an2an+1(nN*),且a1=23.(1)求证:1an-1是等比数列,并求出an的通项公式;(2)求数列1an的前n项和Tn.参考答案课时规范练30等比数列及其前n项和1.C设等比数列an的公比为q,已知S2n=4(a1+a3+a2n-1)(nN*),令n=1,则S2=4a1,可得a2=3a1,q=3.a1a2a3=-27,a23=-27,解得a2=-3,a1=-1,则a5=-34=-81.2.C设等比数列an的公比为q,anan+1=4n-10,an+1an+2=4n且q0,两式相除可得an
7、+1an+2anan+1=4n4n-1=4,即q2=4,q=2,故选C.3.C因为7S2=4S4,所以3(a1+a2)=4(S4-S2)=4(a3+a4),故q2=34,因为数列an为正项的等比数列,故q0,所以q=32,故选C.4.D(方法一)S8=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=2+8+32+128=170.(方法二)q2=a3+a4a1+a2=4,又q0,q=2,a1(1+q)=a1(1+2)=2,a1=23,S8=23(28-1)2-1=170.5.B由题意可知x,y,z依次成公比为12的等比数列,则x+y+z=x+12x+14x=5,解得x=207,由
8、等比数列的性质可得y2=xz.故选B.6.A由等比数列的性质可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即3,12,S6-15成等比数列,所以S6-15=124,解得S6=63.7.A由题知(a4-2)2=a2a6,因为an为等差数列,所以(3d-1)2=(1+d)(1+5d),因为d0,解得d=3,从而am-an=(m-n)d=30,故选A.8.C设正项等比数列an的公比为q,且q0.a1a8=4a5,a4与2a6的等差中项为18,a12q7=4a1q4,a4+2a6=36,即a1(q3+2q5)=36,解得a1=12,q=2,则a5=a1q4=8.故选C.9.an=3n-1(nN*)设等比
9、数列an的公比为q,a2a4=a5,a4=27,a5=27a2,q3=27,q=3,a1=a4q3=2727=1,则an=3n-1(nN*).10.32设该等比数列的公比为q,则S6-S3=634-74=14,即a4+a5+a6=14.S3=74,a1+a2+a3=74.由得(a1+a2+a3)q3=14,q3=1474=8,即q=2.a1+2a1+4a1=74,a1=14,a8=a1q7=1427=32.11.(1)证明因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an,所以bn+1bn=an+2-2an+1an+1-2an=4an+1-4an-2an+1an+
10、1-2an=2an+1-4anan+1-2an=2.因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.所以b1=a2-2a1=3.所以数列bn是首项为3,公比为2的等比数列.12.A等比数列an的前n项和Sn=a3n-1+b,a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a,a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a.由等比数列的性质可得,a22=a1a3,(2a)2=(a+b)6a,解得ab=-3.故选A.13.BD对于A,取数列an为常数列,对任意m,n,s,tN*,都有am+an=as+at,故错;对于B,设等差数列an的首项为a1,公差为d,则Sn=a1+a2+an,S2n-
11、Sn=an+1+an+2+a2n=a1+nd+a2+nd+an+nd=Sn+n2d,同理,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+a3n=an+1+an+2+a2n+n2d=S2n-Sn+n2d,2(S2n-Sn)=Sn+(S3n-S2n),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是等差数列,故正确;对于C,设an=(-1)n,则S2=0,S4-S2=0,S6-S4=0,此数列不是等比数列,故错;对于D,an=Sn-Sn-1=(Aqn+B)-(Aqn-1+B)=Aqn-Aqn-1=A(q-1)qn-1,此数列为首项是A(q-1),公比为q的等比数列,则Sn=A(q-1)(1-qn)1-q,Sn=Aq
12、n-A,A+B=0,故正确.故选BD.14.B记每天走的路程里数为an,可知an是公比q=12的等比数列,由S6=378,得S6=a11-1261-12=378,解得a1=192,a4+a5=192123+192124=24+12=36.所以此人第4天和第5天共走了24+12=36里,故选B.15.2n-1+12n+n-1因为an+1=2an-1,所以an+1-1=2(an-1),即an+1-1an-1=2.所以an-1是首项为a1-1=2-1=1,公比为2的等比数列.所以an-1=2n-1,即an=2n-1+1.Sn=1+1+21+1+22+1+23+1+2n-1+1=1+21+22+23+
13、2n-1+(1+1+1)=1-2n1-2+n=2n+n-1.16.2n-1a1=1,a2=2,且an+2=2Sn-Sn+1+3,当n=1时,a3=2-3+3=2,an+2=2Sn-Sn+1+3,n2时,an+1=2Sn-1-Sn+3,两式相减可得,an+2-an+1=2(Sn-Sn-1)-(Sn+1-Sn)(n2),即n2时,an+2-an+1=2an-an+1,即an+2=2an.a3=2a1,数列an的奇数项和偶数项分别成等比数列,公比均为2,a2n=22n-1=2n,a2n-1=12n-1=2n-1,bn=log2a2n-1+log2a2n=n-1+n=2n-1.17.(1)证明记bn=1an-1,则bn+1bn=1an+1-11an-1=2an+13an-11an-1=2an+1-3an3-3an=1-an3(1-an)=13,又b1=1a1-1=32-1=12,所以1an-1是首项为12,公比为13的等比数列.所以1an-1=1213n-1,即an=23n-11+23n-1.所以数列an的通项公式为an=23n-11+23n-1.(2)解由(1)知,1an-1=1213n-1,即1an=1213n-1+1.所以数列1an的前n项和Tn=121-13n1-13+n=341-13n+n.
