1、4.2 单位圆与周期性 4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 必备知识自主学习 1.终边相同的角的正、余弦函数(1)sin(x+k2)=_,kZ.(2)cos(x+k2)=_,kZ.导思 1.终边相同的角的正、余弦函数的关系怎样?2.周期性是怎么定义的?3.正、余弦函数的性质有哪些?sin x cos x 2.周期性(1)条件:对于函数f(x)存在_T;对于定义域内的任意一个x值都有f(x+T)=_.(2)结论:函数f(x)为周期函数;_为函数的周期.非零常数 f(x)T【思考】(1)由sin(x+k2)=sin x(kZ)可知函数值随着角的变化呈周期性变化,你能说一下函数的变化周期吗
2、?提示:2,4,6,-2,都是函数的周期.(2)如果存在非零常数T,对于函数f(x),若存在x值有f(x+T)=f(x),则函数f(x)是周期函数吗?提示:不一定,如函数f(x)=x2,存在非零常数T=4,存在x=-2,使得f(-2+4)=f(-2),但是函数f(x)=x2不是周期函数.3.正、余弦函数的周期性 正、余弦函数都是以_(kZ,k0)为周期的周期函数,最小正周期为 _.2k 2 【思考】正弦、余弦函数有多少个周期?提示:正弦、余弦函数都有无数个周期.4.单位圆与正、余弦函数的性质 正弦函数y=sin x 余弦函数y=cos x 定义域 R 值域 _ 最小正周期 _ 在0,2 上的单
3、 调性 在 上是增加的;在 上是减少的 在,2 上是增加的;在0,上是减少的 30,2 22，3,22-1,1 2 【思考】记忆正弦、余弦函数的性质有何技巧?提示:只需记住一个周期内的图像,借助图像找性质.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)2k(kZ)是正弦、余弦函数的周期.()(2)对正弦函数f(x)=sin x有 所以 是f(x)的周期.()(3)正弦函数的最大值是1,最小值是-1.()(4)正弦函数在单位圆的右半圆是单调增加的.()(5)函数y=的定义域为 ()f()f()424，2sin x0，2.若sin =a,则sin(-4)=_.【解析】因为sin=a,所以
4、sin(-4)=sin=a.答案:a 3.(教材二次开发:练习改编)下列函数中,周期为 的是()A.f(x)=sin B.f(x)=sin 2x C.f(x)=cos D.f(x)=cos(-4x)2x2x4关键能力合作学习 类型一 终边相同的角的正、余弦函数(数学抽象)【题组训练】1.cos 的值为()2.求下列各角的三角函数值.(1)sin (2)cos 1 500;(3)sin ;(4)cos .2561313A.B.C.D.222223()6；174253【解题策略】终边相同的角的正、余弦函数(1)实质:终边相同的角的三角函数值相等.即角 的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现一次.
5、(2)结构特征:左、右为同一三角函数,公式左边的角为+2k,右边的角为.(3)作用:把求任意角的三角函数值转化为求02(或0360)角的三角函数值.体现了“大化小”“负化正”的数学思想.【补偿训练】设f(x)是定义域为R,最小正周期为 的函数,若f(x)=则f 的值等于()【解析】选B.f =f 32cos x(x0)2sin x0 x，（），15()422A.1 B.C.0 D.2233324（）15()4332f()sin.442类型二 周期函数的定义及其应用(数学建模)【典例】1.已知奇函数y=f(x)(xR)且f(x)=f(x+4),f(1)=2,则f(2)+f(3)+f(4)=_.2
6、.已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数,则方程f(x)=0在-2,2上 至少有_个实数根.3.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+)=f(x),当x0,)时,f(x)=2 sin x,求 的值.【思路导引】应用函数的奇偶性、周期性特征求解.139f()f()342【解题策略】常见周期函数的形式 周期函数除常见的定义式f(x+T)=f(x)外,还有如下四种形式:(1)f(x+a)=-f(x).(2)f(x+a)=.(3)f(x-a)=-.(4)f(x-a)=f(x+a).以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数.1fx（）1fx（）【跟踪训练】已知函数y=f(x)是
7、周期函数,周期T=6,f(2)=1,则f(14)=_.【解析】f(14)=f(26+2)=f(2)=1.答案:1 类型三 正弦函数、余弦函数的基本性质(数学建模、直观想象)角度1 定义域问题 【典例】求下列函数的定义域:(1)y=4-cos x;(2)y=【思路导引】使函数有意义,列式求解.2 sin x1.【变式探究】函数y=的定义域为_.【解析】自变量x应满足2sin x-0,即sin x .图中阴影部分就是满足条件的角x的范围,即x|2k+x2k+,kZ.答案:x|2k+x2k+,kZ 2sin x3332323323 角度2 单调性问题 【典例】求下列函数的单调区间.(1)y=sin
8、x,x-,;(2)y=cos x,x-,.【思路导引】结合函数图像.【解析】(1)y=sin x在x-,上的递增区间为 递减区间为 (2)y=cos x在x-,上的递增区间为-,0,递减区间为0,.2 2，22，角度3 最值、值域问题 【典例】求下列函数的值域:(1)y=(sin x-2)2+1;(2)y=msin x+n(m0).【思路导引】正弦函数y=sin x的定义域为(-,+),值域为-1,1,令t=sin x,t-1,1,借助二次函数求解值域.【解题策略】1.正弦函数,余弦函数定义域的求法(1)求函数的定义域,就是求使解析式有意义的自变量的取值范围,一般通过解不等式或不等式组求得.对
9、于三角函数的定义域问题,还要考虑三角函数自身定义域的限制.(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.2.正弦函数,余弦函数值域的求法(1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域,解题时可借助图像结合正、余弦函数的单调性进行分析.(2)求含有参数的值域或最值,应注意对参数讨论.【题组训练】1.求函数y=的定义域.【解析】由题意知,自变量x应满足不等式组 即 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示,所以x|2k+x0.又y=sin x在0,2 内sin x0满足0 x,所以定义域为(2k,2k+)(kZ).答案:(2k
10、,2k+)(kZ)3.函数y=sin x,x0,2 的递减区间为_.【解析】y=sin x在 上是增加的,在 上是减少的,在 上 是增加的,由0,2 =,所以y=sin x,x0,2的递减区 间为 .答案:2 2，322，3522，322，322，322，322，【补偿训练】1.求y=cos x,x 的最大值.【解析】结合单位圆知y=cos x在 上y 故最大值为0,即 ymax=cos =0.133,24133,242,0.21322.sin 1,sin 1,sin 的大小顺序是()A.sin 1sin 1sin B.sin 1sin sin 1 C.sin sin 1sin 1 D.sin
11、 1sin 1sin 【解析】选B.因为1弧度57.3,y=sin x,当0 x90时,为增加的,且1 1,所以sin 1sin 0时,y=at+1,当t=1时,y有最大值3,即a+1=3,则a=2,则当t=-1时,y有最小值-1;当a0时,y=at+1,当t=-1时,y有最大值3,即-a+1=3,则a=-2,则当t=1时,y有最小值-1,综上y=a sin x+1的最小值是-1.4.已知函数f(x)是R上的奇函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),则f(8)=_.【解析】f(8)=f(2+23)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.答案:-2 5.已知函数f(x)=sin 求函数f(x)在区间 上的取值范围.【解析】因为0 x 所以 -sin 1,0sin +即f(x)在区间 上的取值范围为 1(2x),6220,32,372x,66612(2x)6(2x)613,2220,330,.2
