1、四川省乐山沫若中学2019-2020学年高二数学4月月考试题（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数满足为虚数单位)，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】由已知，故的虚部为.故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.2.是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值（单位：）的统
2、计数据，则下列叙述不正确的是（ ）A. 这天中有天空气质量为一级B. 这天中日均值最高的是11月5日C. 从日到日，日均值逐渐降低D. 这天的日均值的中位数是【答案】D【解析】【分析】由折线图逐一判断各选项即可.【详解】由图易知：第3,8,9,10天空气质量为一级，故A正确，11月5日日均值为82，显然最大，故B正确，从日到日，日均值分别为：82,73,58,34,30，逐渐降到，故C正确，中位数是，所以D不正确，故选D.【点睛】本题考查了频数折线图，考查读图，识图，用图的能力，考查中位数的概念，属于基础题.3.设函数在处存在导数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过
3、变形，结合导数的定义可以直接得出答案.【详解】.选A.【点睛】本题考查了导数的定义，适当的变形是解题的关键.4.某工厂利用随机数表对生产700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78
4、89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45A. 623B. 328C. 253D. 007【答案】A【解析】分析：从第五行第六列开始向右读，依次读取，将其中不符合要求的也就是超范围的数据去掉，再将重复的去掉，最后找到满足条件的数据.详解：从第5行第6列开始向又读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个是623，
5、故选A.点睛：这是一道有关随机数表的题目，明确随机数的含义是关键，在读取数据的过程中，需要把超范围的数据和重复的数据都去掉，接着往下读就行了.5.曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】只需利用导数的几何意义计算曲线在点处的导数值即可.【详解】由已知，故切线的斜率为，所以切线方程为，即.故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道基础题.6.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终
6、输出的，则一开始输入的x的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算输入时变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得到答案.【详解】本题由于已知输出时x的值，因此可以逆向求解：输出,此时；上一步：,此时；上一步：,此时；上一步：,此时；故选：B.【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题.7.函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，给出下列命题：3是函数yf(x)的极值点；1是函数yf(x)的最小值点；yf(x)在区间(3,1)上单调递增；yf(x)
7、在x0处切线的斜率小于零以上正确命题序号是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率根据导函数图象可知：当x（-，-3）时，f（x）0，在x（-3，1）时，函数y=f（x）在（-，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故正确；则-3是函数y=f（x）的极小值点，故正确；在（-3，1）上单调递增-1不是函数y=f（x）的最小值点，故不正确；函数y=f（x）在x=0处的导数大于0切线的斜率大于零，故不正确.故选C.考点：利用导数研究曲线上某点
8、切线斜率；函数的单调性与导数的关系；函数极值的判定.8.一组数平均数是，方差是，则另一组数，的平均数和方差分别是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用公式：平均值方差为，则的平均值和方差为：得到答案.【详解】平均数是，方差是，的平均数为：方差为：故答案选B【点睛】本题考查了平均数和方差的计算：平均数是，方差是，则的平均值和方差为：.9.为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为已知，该班某学生的脚长为，据此估计其身高为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解
9、析】【详解】由已知,， 故选C.10.设曲线在点处的切线的斜率为，则函数的部分图象可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：，为奇函数，排除B，C，令时，故选A考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法11.设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先令，对求导，根据题中条件，判断函数单调性与奇偶性，作出的图像，结合图像，即可求出结果.【详解】令，则，因为当时，所以，即在上单调递增；又为奇函数，所以，因此，故为偶函数，所以在上单调递减；因为，所以，故；作出简图如下：由图像可得， 的解集为.
10、故选D【点睛】本题主要考查函数单调性、奇偶性的应用，以及导数的方法研究函数的单调性，属于常考题型.12.已知函数若成立，则的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】不妨设，故，令，易知在上是增函数，且，当时，当时，即当时，取得极小值同时也是最小值，此时，即的最小值为，故选B.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为的样本，若样本中高中生恰有30人，则的值为_【答案】50【解析】【分析】利用某一层的样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即
11、可.详解】由题意得：，解得：故答案为：【点睛】本题考查了简单随机抽样中的分层抽样，某一层的样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，属于容易题.14.如图1是某高三学生进入高中的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次考试成绩依次记为，如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图那么算法流程图输出的结果是_ 【答案】10【解析】【分析】根据题意得，该程序的功能是从第1次到第14次考试的成绩大于90分的次数，根据茎叶图即能求出结果.【详解】由题意得：根据流程图所示的顺序，可知该程序的功能是从第1次到第14次考试的成绩大于90分的次数，再根据茎叶图可得考试成绩大于90分的次数为10次故答案
12、为：10【点睛】本题考查了循环结构以及茎叶图，解决此类问题的关键是弄清算法流程图的功能，分析各变量、各语句的作用，属于较易题.15.已知函数在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据题意求出的导函数，然后令在上小于等于零恒成立，由二次函数的性质求出函数值的范围，即可得到的取值范围【详解】由可得：，函数在上单调递减，在上恒成立，在上恒成立，根据二次函数图像性质可知要使在上恒成立，则： ，解得： ，的取值范围是，故答案为【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性的知识，考查学生转化划归思想的运用能力，属于中档题16.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得
13、成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】令，.利用导数可求前者的值域和后者的单调性，最后根据方程的解的唯一性得到实数的取值范围.【详解】令，.当时，故在为增函数，故在上的值域为.又当时，当时，所以在上为减函数，在上为增函数.令，因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，故对直线与函数的图象有且只要一个公共点，而，且在上为减函数，在上为增函数，故，所以，即.故答案为.【点睛】本题以多元方程解的性质为载体，考查导数在函数性质研究中的应用，在解决问题的过程中，注意把解的个数合理地转化为动直线与函数图象的位置关系，此类问题为难题.三、解答题：（总分70分，解答应写出必要的演算步骤，证明过程或文
14、字说明）17.已知，其中，且表示的共轭复数（1）求；（2）若，求的模【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)先设，根据利用复数的运算即可；(2)根据先求出复数，利用复数的模长公式即可.【详解】(1)设，即，解得，（2），【点睛】本题考查了复数的运算及复数模长计算公式，属于容易题.18.已知函数在处有极值（1）求a,b的值；（2）求的单调区间【答案】(1),(2) 单调减区间是,单调增区间是【解析】【分析】（1）先对函数求导，得到，再由题意，列出方程组，求解，即可得出结果；（2）由（1）的结果，得到，对其求导，解对应的不等式，即可得出单调区间.【详解】解：（1）又在处有极值,即解得,（2）由
15、（1）可知,其定义域是,由,得；由,得函数的单调减区间是,单调增区间是【点睛】本题主要考查由函数极值求参数，以及导数的方法求单调区间的问题，通常需要对函数求导，利用导数的方法求解即可，属于常考题型.19.某校名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是,，.求图中的值；根据频率分布直方图,估计这名学生平均分；若这名学生的数学成绩中,某些分数段的人数与英语成绩相应分数段的人数之比如表所示,求英语成绩在的人数.分数段:51:21:1【答案】（1）（2）平均数为（3）人【解析】【分析】(1)根据面积之和为1列等式解得.(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标
16、之和即为平均数,(3)先计算出各分数段上的成绩,再根据比值计算出相应分数段上的英语成绩人数相加即可.【详解】解：由,解得.频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,即估计平均数为.由频率分布直方图可求出这名学生的数学成绩在,的分别有人,人,人,按照表中给的比例,则英语成绩在,的分别有人,人,人,所以英语成绩在的有人.【点睛】本题考查了频率分布直方图,属中档题.20.根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（
17、若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求关于的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数公式，参考数据：，.回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】（1）；（2），6.1百千克.【解析】【分析】（1）直接利用相关系数的公式求相关系数，再根据相关系数的大小判断可用线性回归模型拟合与的关系.（2）利用最小二乘法求回归方程，再利用回归方程预测得解.【详解】（1）由已知数据可得，.所以，所以相关系数.因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系.（2）.那么.所以回归方程为.当时，即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量
18、的增加量约为6.1百千克.【点睛】本题主要考查相关系数和回归方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.如图1，已知四边形为直角梯形，且，为的中点将沿折到位置（如图2），连结构成一个四棱锥 （1）求证：；（2）若平面求二面角的大小；在棱上存在点，满足，使得直线与平面所成的角为，求的值【答案】（1）详见解析；（2）；【解析】【分析】(1)先根据已知条件得到，从而得到平面，即可得到；(2)根据题意以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，分别求出平面的法向量和平面的法向量，代入夹角的计算公式即可；由已知条件写出的坐标和平面法向量，再代入线面角的夹角
19、公式即可求出的值.【详解】(1)证明：在图1中，为平行四边形，当沿折起时，即，又，面，面平面，又平面， (2)以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，（如图）由于平面，则，设平面的法向量为，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设二面角的大小为，可知为钝角，则，二面角的大小为设与面所成角为，面法向量，直线与平面所成的角为，解得或又因为，所以【点睛】本题考查了由线面垂直证明线线垂直，利用空间向量的方法求二面角的大小以及由线面求参数的值，考查了学生的计算能力，属于较难题.22.设函数（1）求函数的最小值；（2）设，讨论函数的单调性；（3）斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：【答案】（1）
20、；（2）当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减；（3）见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，求其单调区间，即可求出极值，可得最小值；（2）分别讨论和时函数的单调性；（3）将直线斜率用表示出来，将要证的不等式转化为证（），最后讨论函数（）和（）单调性，即可证明原题.【详解】（1），令，得因为当时；当时，所以当时，（2），当时，恒有，在上是增函数；当时，令，得，解得；令，得，解得，综上，当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减 (3) 要证，即证，等价于证，令，则只要证，由知，故等价于证 (*) 设，则，故在上是增函数， 当时，即 设，则，故在上是增函数， 当时，即由知(*)成立，得证【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
