1、第七讲立体几何中的向量方法ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一两个重要的向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有_无数_个(2)平面的法向量直线l平面，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量显然一个平面的法向量有_无数_个，它们是共线向量知识点二空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmmn0lnmnm平面、的法向量分别为n、mnmnmnmnm0知识点
2、三两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为，则cos|cos|(其中为异面直线a，b所成的角)知识点四直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，向量e与n的夹角为，则有sin|cos|知识点五求二面角的大小(1)如图，AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)知识点六利用空间向量求距离(1)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面的一条斜线
3、段，n为平面的法向量，则B到平面的距离为d(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解注意体积法在求点到平面距离时的应用1直线的方向向量的确定：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量2平面的法向量的确定：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为题组一走出误区1(多选题)下列结论错误的是(ACD)A两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角B若两平面的法向量平行，则两平面平行C直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角D两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角题组二走进教材2(必修2P111T3)如图所示，
4、在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_垂直_解析以A为原点，分别以，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M(0,1，)，O(，0)，N(，0,1)，(0,1，)(0，1)0，ON与AM垂直3(必修2P117A组T4)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是解析分别取AC、A1C1的中点D、D1，连接BD，D1D，易知D1D平面ABC，且BDAC，故以D为坐标原点，AC、DB、DD1
5、所成的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系易知B(0，0)，C1(，0，)，(，)，设BC1与侧面ACC1A1所成的角为，平面ACC1A1的一个法向量为n(0,1,0)，sin|，题组三考题再现4(2019福建漳州质检)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，A1D1的中点分别为E，F，则直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为(C)A B C D解析如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2a，则(a，a，2a)，显然可取平面AA1D1D的法向量n(0,1,0)，记直线EF与平面AA1D1D所成角为，则sin .故选C5(2019湖南雅礼中学期末)如图1，在矩
6、形ABCD中，AB2，BC1，E是DC的中点；如图2，将DAE沿AE折起，使折后平面DAE平面ABCE，则异面直线AE和BD所成角的余弦值为解析分别取AE、AB的中点O、F，连DO，OF，则OD、OA、OF两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则(，0,0)，(，)，记AE与BD所成角为，则cos |cos，|KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究 考点一利用向量证明空间的平行与垂直自主练透例1(2020山东青岛胶州实验学校期中)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，ABCD，ABBC，AB2，PAPDCDBC1，平面PAD平面ABCD，E为AD的中
7、点(1)求证：PABD；(2)在线段AB上是否存在一点G，使得直线BC平面PEG？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由解析取BA的中点H，连EH，在梯形ABCD中，由题意易知EHAD，PAPD，E为AD的中点，PEAD，又平面PAD平面ABCD，PE平面ABCD，PEEH，PEAD，AE、EH、EP两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则P(0,0，)，A(，0,0)，B(，0)，D(，0,0)，E(0,0,0)，C(，0)(1)(，0，)，(0，0)，00()()00，即PABD(2)设线段AB上存在点G满足条件，则(，0)(01)，(，0)(，0,0)(，0)且mn，即(，0)(mm，
8、m，n)，解得存在点G，当AGAB时，BC平面PEG注：本题也可用几何法求解，或求平面PEG的法向量n，利用n0nBC平面PEG判断解答名师点拨 (1)建立空间直角坐标时尽可能地利用图形中的垂直关系，要准确写出相关点的坐标，进而确定向量的坐标(2)用向量法证平行问题的类型及常用方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示面面平行证明两平面的法向量平行(即为共线向量)转化为线面平行、线线平行问题(3)利用向量法证垂直问题的类型及常用方法线线垂直问题证明两
9、直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直变式训练1如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点(1)求证：平面A1B1D平面ABD；(2)求证：平面EGF平面ABD证明以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0
10、,0,3)，F(0,1,4)设BAa，则A(a,0,0)，G(，1,4)，A1(a，0,4)(1)因为(a,0,0)，(0,2,2)，(0,2，2)，所以0，0所以，即B1DBA，B1DBD又BABDB，所以B1D平面ABD因为B1D平面A1B1D，所以平面A1B1D平面ABD(2)因为(，1,1)，(0,1,1)，(0,2，2)，所以0，0所以B1DEG，B1DEF因为EGEFE，所以B1D平面EGF又由(1)知B1D平面ABD，所以平面EGF平面ABD考点二利用向量求空间的角多维探究角度1向量法求异面直线所成的角例2(2019豫南豫北精英对抗赛)在四面体ABCD中，CACBCDBD2，AB
11、AD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(B)A B C D解析取BD的中点O，连AO，OC，由CACBCDBD2，ABAD，得AOBD，COBD，且OC，AO1.在AOC中，AC2AO2OC2，故AOOC，又知BDOCO，因此AO平面BCD，以OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，0)，D(1,0,0)，(1,0，1)，(1，0)，设异面直线AB与CD所成角为，则cos ，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为，故选B名师点拨 (1)求异面直线所成角的思路：选好基底或建立空间直角坐标系；求出两直线的方向向量v
12、1，v2；代入公式|cosv1，v2|求解(2)两异面直线所成角的关注点：两异面直线所成角的范围是(0，两向量的夹角的范围是0，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角角度2向量法求线面角例3(2019湖北八校调研)如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FAFC，且DABDBF60(1)求证：AC平面BDEF；(2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值解析(1)设AC与BD相交于点O，连接FO，四边形ABCD为菱形，ACBD，且O为AC中点，FAFC，ACFO，又FOBDO，AC平面BDEF(2)连接DF
13、，四边形BDEF为菱形，且DBF60，DBF为等边三角形，O为BD的中点，FOBD，又ACFO，FO平面ABCDOA，OB，OF两两垂直，如图建立空间直角坐标系Oxyz，设AB2，四边形为ABCD为菱形，DAB60，BD2，AC2DBF为等边三角形，OFA(，0,0)，B(0,1,0)，D(0，1,0)，F(0,0，)，(，1,0)，(，0，)，(，1,0)设平面ABF的法向量为n(x，y，z)，则取x1，得n(1，1)设直线AD与平面ABF所成角为，则sin |cos，n|名师点拨 向量法求线面角的两大途径(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其
14、补角)(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角提醒：在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则垂线上取两个点可构成一个法向量角度3向量法求二面角例4(2019课标)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值解析(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C又因为N为A1D的中点，所以NDA1D由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME
15、綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE(2)由已知可得DEDA以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，2)，N(1,0,2)，(0,0，4)，(1，2)，(1,0，2)，(0，0)设m(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m(，1,0)设n(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n(2,0，1)于是cosm，n，所以二面角AMA1N的正弦值为名师点拨 利用向量法确定二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，
16、然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小变式训练2(1)(角度1)(2018江苏高考题改编)在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点则异面直线BP与AC1所成角的余弦值为(2)(角度2)(2020广东中山期末)如图，在三棱台ABCDEF中，二面角BADC是直二面角，ABAC，AB3，ADDFFCAC1求证：AB平面ACFD；求二面角FBED的平面角的余弦值(3)(角度3)(201
17、9广东省肇庆市统测)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，BAA160，E是棱BB1的中点，CACB，F在线段AC上，且AF2FC证明：CB1平面A1EF；若CACB，平面CAB平面ABB1A1，求二面角FA1EA的余弦值解析(1)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OBOC，OO1OC，OO1OB，以，为基底，建立空间直角坐标系Oxyz因为ABAA12，所以A(0，1,0)，B(，0,0)，C1(0,1,2)因为P为A1B1的中点，所以P(，2)从而(，2)，(0,2,2)故|cos，|因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为
18、(2)连结CD，过D作DGAC交AC于点G，如图所示，ADDFFCAC1，且DFAC，ACFD为等腰梯形，AG，DG，CG，CD，AD2CD2AC2，CDAD又二面角BADC是直二面角，CD平面ACFD，CD平面ABED，又AB平面ABED，ABCD，ABAC，ACCDC，AC，CD平面ACFD，AB平面ACFD在平面ACFD中，过点A作AHAC，由可知ABAH，因为AB平面ACFD，故以A为原点，的方向为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz则B(3,0,0)，D(0，)，F(0，)，C(0,2,0)，(3,2,0)，(0，)，设n(x，y，z)是平面FBE的一个法向量，则
19、，取x2，则y3，z，即n(2,3，)，由(1)可知CD平面BED，(0，)是平面BDE的一个法向量，cosn，又二面角FBED的平面角为锐角，二面角FBED的平面角的余弦值为(3)连接AB1交A1E于点G，连接FG因为AGA1B1GE，所以2，又因为2，所以，所以FGCB1，又CB1平面A1EF，FG平面A1EF，所以CB1平面A1EF过C作COAB于O，因为CACB，所以O是线段AB的中点，因为平面CAB平面ABB1A1，平面CAB平面ABB1A1AB，所以CO平面ABA1连接OA1，因为ABA1是等边三角形，O是线段AB的中点，所以OA1AB如图以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向
20、建立空间直角坐标系不妨设AB2，则A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0,1)，B(1，0,0)，F(，0，)，由，得B1(2，0)，BB1的中点E(，0)，(，0)，(，)设平面A1FE的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则，即，不妨取y1，则n1(1，5)，又平面ABA1的一个法向量为n2(0,0,1)，记二面角FA1EA的大小为，由图可知cos cosn1，n2所以二面角FA1EA的余弦值为考点三利用向量求空间的距离师生共研例5(2019广东广州模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD的边长为2的菱形，BAD60，APD90，且PAPD，ADPB(1)求证：ADPB；(2
21、)求点A到平面PBC的距离解析(1)证明：取AD的中点O，连结OP，OB，BD，因为底面ABCD为菱形，BAD60，所以ADABBD因为O为AD的中点，所以BOAD在PAD中，PAPD，O为AD的中点，所以POAD因为BOPOO，所以AD平面POB因为PB平面POB，所以ADPB(2)由题意及(1)易知OP1，BO，PB2，OP2BO2PB2，OPOB，OP、OA、OB两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(2，0)，P(0,0,1)，(1,0,1)，(0，1)，(2，1)，设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则，不妨取y1，则n(0,1，)，点A到平面PB
22、C的距离d名师点拨 求点到平面距离的方法有：直接作出点到面的垂线段，再计算；平行转移法即通过线面平行，转化为其它点到平面的距离；等体积法；向量法即已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离为|cos，n|变式训练3(2019河南中原名校、大连市、赤峰市联考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PAPD，PAAB，N是棱AD的中点(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)设ABADAP2，求点N到平面PAC的距离解析(1)ABCD是矩形，ABAD，又ABPA，AB平面PAD，又AB平面PAB，平面PAB平面PAD(2)AB平面PAD，又AB平面ABCD，平面PAD平
23、面ABCD，又PAPD，N为AD的中点，PNAD，PN平面ABCD，取BC的中点M，则NP、NA、NM两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则P(0,0，)，A(1,0,0)，C(1,2,0)，N(0,0,0)，从而(0,0，)，(1,0，)，(2,2,0)，设平面PAC的法向量为n(x，y，z)，则即不妨取x，则n(，1)点N到平面PAC的距离dMING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升 利用向量法解答立体几何中的探究型问题例6(2019河南省开封市模拟)如图所示，ABCD是边长为2的正方形，AE平面BCE，且AE1(1)求证：平面ABCD平面ABE；
24、(2)线段AD上是否存在一点F，使二面角ABFE所成角的余弦值为？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由解析(1)AE平面BCE，BE平面BCE，BC平面BCE，AEBE，AEBC，又BCAB，AEABA，BC平面ABE，又BC平面ABCD，平面ABCD平面ABE(2)如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，AE1，AB2，AEBE，BE假设线段AD上存在一点F满足题意，E(，0)，B(0,2,0)，F(0,0，h)，(0h2)，易知：平面ABF的一个法向量为m(1,0,0)，(，0)，(0，2，h)，设平面BEF的一个法向量为n(x，y，z)，由，得，取y1，得n(，1，)，则cosm
25、，n，h1点F为线段AD的中点时，二面角ABFE所成角的余弦值为名师点拨 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”变式训练4(2019广东汕头模拟)如图所示，四棱锥PABCD中，PA菱形ABCD所在的平面，ABC60，E是BC中点，F是PC上的点(1)求证：平面AEF平面PAD(2)若M是PD的中点，当ABAP时，是否存在点F，使直线EM与平面AEF的所成角的正弦值？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由解析(1)连接AC
26、，因为底面ABCD为菱形，ABC60，所以ABC是正三角形，E是BC的中点，AEBC，又ADBC，AEAD，PA平面ABCD，AE平面ABCD，PAAE，又PAADA，AE平面PAD，又AE平面AEF，所以平面AEF平面PAD(2)以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设ABAP2，则AE，则A(0,0,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，M(0,1,1)，设(，1，2)，则(0,0,2)(，1，2)(，22)，又(，0,0)，设n(x，y，z)是平面AEF的一个法向量，则，取z，得n(0,22，)，设直线EM与平面AEF所成角为，由(，1,1)，得：sin |cos，n化简得：1021340，解得或，故存在点F满足题意，此时或
