1、第15讲导数与函数的单调性【课程要求】了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间及参数的范围对应学生用书p41【基础检测】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()答案 (1)(2)2选修22p32A组T4如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下面判断正确的是()A在区间(2，1)上，f(x)是增函数B在区间(1，3)上，f(x)是减函数C在区间(4，5)上，f(x)是增函数D当x2时，f(x
2、)取到极小值解析 在(4，5)上f(x)0恒成立，f(x)是增函数答案 C3选修22p24例2函数f(x)x36x2的单调递减区间为_解析 f(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0，得0xf(3)f() Bf(3)f(2)f()Cf(2)f()f(3) Df()f(3)f(2)解析 f(x)1xsin x，则f(x)1cos x0，则函数f(x)为增函数23f(3)f(2)答案 D6已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)3，且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)2(xR)，则不等式f(x)2x1的解集为_解析 令g(x)f(x)2x1，g(x)f(x)20，g(x)在R上为减
3、函数，g(1)f(1)210.由g(x)1.不等式的解集为(1，)答案 (1，)【知识要点】1函数的单调性：在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0(f(x)0)，当f(x)0时，解得x，即函数的单调递增区间为；当f(x)0时，解得0x0的解集为_解析 由题图可知不等式(x22x3)f(x)0等价于或解得x(，1)(1，1)(3，)答案 (，1)(1，1)(3，)小结确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求f(x). (3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间. (4)解不等式f(x)0，则其在
4、区间(，)上的解集为，即f(x)的单调递增区间为，.答案 ，2已知函数f(x)x22cos x，若f(x)是f(x)的导函数，则函数f(x)的图象大致是()解析 设g(x)f(x)2x2sin x，g(x)22cos x0，所以函数f(x)在R上单调递增答案 A含参数的函数的单调性例2已知函数f(x)ex(exa)a2x，讨论f(x)的单调性解析 函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，则f(x)e2x在(，)上单调递增若a0，则由f(x)0，得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a
5、)上单调递减，在(ln a，)上单调递增若a0，则由f(x)0，得xln.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增综上，当a0时，f(x)在(，)上单调递增；当a0时，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，当a0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增小结根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，
6、否则漏解(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题3已知g(x)x22aln x在1，2上是减函数，则实数a的取值范围是_解析 g(x)2x，由已知得g(x)0在1，2上恒成立，可得ax2在1，2上恒成立又当x1，2时，4.a.答案 4已知函数f(x)x24x3ln x在区间t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析 由题意知f(x)x4，由f(x)0，得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t3.答案 (0，1)(2，3)函数单调性的应用问题例3(1)定义在区间(0，)
7、上的函数yf(x)使不等式2f(x)xf(x)0，yf(x)为yf(x)的导函数，则()A816 B48C34 D20，x0，0，y在(0，)上单调递增，又f(x)0，4.xf(x)3f(x)0，0，y在(0，)上单调递减，0，8. 综上，41，f(0)4，则不等式exf(x)ex3(其中e为自然对数的底数)的解集为()A(0，) B(，0)(3，)C(，0)(0，) D(3，)解析 令g(x)exf(x)ex，g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1，f(x)f(x)1，g(x)0，yg(x)在定义域上单调递增，exf(x)ex3，g(x)3，g(0)3，g(x)g(0)，
8、x0，故选A.答案 A小结1.构造函数，应用导数求解函数值的比较大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解2构造函数，应用导数求解不等式解集时，先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x)f(h(x)的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)h(x)(或g(x)h(x)5已知定义在上的函数f(x)的导函数为f(x)，且对于任意的x，都有f(x)sin xf Bff(1)C.ff D.ff解析 令g(x)，则g(x)，由已知g(x)g，即，ff.答案 A6已知函数f(x)x32x
9、ex，其中e是自然对数的底数若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是_解析 由f(x)x32xex，得f(x)x32xexf(x)，所以f(x)是R上的奇函数又f(x)3x22ex3x2223x20，当且仅当x0时取等号，所以f(x)在其定义域内单调递增因为f(a1)f(2a2)0，所以f(a1)f(2a2)f(2a2)，所以a12a2，解得1a，故实数a的取值范围是.答案 函数单调性的综合应用问题例4已知函数f(x)x3xcos xax2sin x2acos x，g2xcos xx22sin x3acos x(a为常数，aR)(1)讨论函数f的单调性；(2)设函数h(x)f(x)g(
10、x)，证明：当0a0时，h(x)0.解析 (1)f(x)x2cos xxsin x2axcos x2asin x(x2a)(xsin x), 令(x)xsin x，则(x)1cos x0，故(x)在R上单调递增，又(0)0，故x(，0)时(x)0，则令f(x)0，x12a，x20.()当a0，f(x)单调递增；x(2a，0)时，f(x)0时，有x(，0)与x(2a，)时，f(x)0，f(x)单调递增；x(0，2a)时，f(x)0，f(x)单调递减；()当a0时，有xR时，f(x)0，f(x)单调递增. (2)h(x)f(x)g(x)x3xcos xx2sin xacos x(0a0)，h(x)
11、x2cos xxsin xaxcos xasin x(xa)(xsin x)，令t(x)xsin x(x0)，则t(x)1cos x0，故t(x)在(0，)上单调递增，又t(0)0，故t(x)0，令h(x)0xa，且x(0，a)时，h(x)0，h(x)单调递增；所以h(x)minh(a)a3acos aa3sin aacos aa3sin a，令m(a)a3sin a(0a1)，则m(a)a2cos a，m(a)asin a0(0acos 0，m(a)0，m(a)在(0，1)上单调递增，又m(0)0，m(a)0在(0，1)上恒成立，所以当0a0时，h(x)0. 小结利用导数证明不等式的常用方法
12、：证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，利用F(x)的单调性证明7已知函数f(x)axln x(aR)(1)讨论f(x)的单调区间(2)若函数f(x)图象的一条切线为x轴，且函数g(x)，若存在不相等的两个实数x1，x2满足g(x1)g(x2)，求证：x1x20，f(x)ax，显然：当a0时，f(x)0时，0x，f(x)，f(x)0，故有：a0时，f(x)在区间(0，)上递减；a0时，f(x)在区间上递减，在区间上递增(2)设切点坐标为(x0，0)，g(x)，令h(x)ln x，h(x)，显然：x1时，h(x)0，又h(x)，0x0，x(0，)上，h(x)0
13、，故h(x)在(0，)上递增，而h(1)0，x(0，1)时，h(x)0，g(x)且g(x)在(0，1)上递减，在(1，)上递增，g(1)0.当x1时，00，故：G(x)在(1，)上单调递增，故G(x)G(1)0，g(x)g.设0x11g，而01，由g(x)在(0，1)上单调递减，故：x1，x1x21.对应学生用书p43(2018全国卷理)已知函数f(x)xaln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：2，令f(x)0得，x或x.当x时，f(x)0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增(2)由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设x11.由于1a2a2a，所以a2等价于x22ln x20.设函数g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上单调递减，又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0.所以x22ln x20，即a2.
