1、江苏省南通市海门市包场高级中学2019-2020学年高二数学下学期第一次适应性考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题首先可联立方程与并求得交点坐标，然后根据交集的相关性质即可得出结果.【详解】联立方程与方程，即，解得交点坐标为和，故，故选：C.【点睛】本题考查交集的相关性质，能否明确集合中所包含的元素是解决本题的关键，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.2.已知是的共轭复数，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘方和除法法
2、则将复数表示为一般形式，结合共轭复数的定义可求得、的值，由此可得出的值.【详解】，由题意可得，因此，.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法和乘方运算，同时也考查了共轭复数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.3.设向量，且，则（ ）.A. B. 5C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】本题首先可以设，然后根据得出以及，再然后根据向量的坐标运算得出，最后根据即可联立方程并通过计算得出结果.【详解】设因为，所以，即，所以，因为，所以，解得，故选：A.【点睛】本题考查向量垂直的相关性质以及向量的坐标运算，若两向量垂直，则向量的乘积为，考查计算能力，体现了基础性，是中档题.4.温度对许多化学反应的反
3、应速率有非常大的影响.一般来说，温度每升高，化学反应的反应速率大约增加倍.瑞典科学家总结了大量化学反应的反应速率与温度之间关系的实验数据，得出一个结论：化学反应的速率常数与温度之间呈指数关系，并提出了相应的公式：，式中为碰撞频率因子，为自然对数的底数，为活化能，为气体常数.通过公式，我们可以获得不同温度下化学反应的速率常数之间的关系.已知温度为时，化学反应的速率常数为；温度为时，化学反应的速率常数为.则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】根据公式得，计算出，然后利用对数的运算性质化简可得结果.【详解】根据公式可得，上述两个等式相除得，因此，.故选：D.【点睛】本题考查指数与对
4、数的运算，解答的关键在于求得的表达式，考查计算能力，属于基础题.5.的展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为（ ）A. 405B. -313C. 223D. 146【答案】A【解析】【分析】通过对二项式中的赋值1得到各项系数和，则可求，进而求出其通项，令幂指数为0，即可求出常数项【详解】中，令得到展开式的各项系数和为解得，其通项公式为；令；其常数项为故选：A.【点睛】本题主要考查二项式展开式各项的系数和，考查展开式指定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个
5、平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为、，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为、，则命题：“、相等”是命题“、总相等”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可.【详解】由祖暅原理可知，若、总相等，则、相等，即必要性成立；假设夹在两平行平面间的底面积为的棱柱和底面积为的棱锥，它们的体积分别为、，则，这两个几何体被平行于这
6、两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为、，但与不总相等，即充分性不成立.因此，命题是命题的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合祖暅原理是解本题的关键，考查推理能力，属于中等题.7.在同一直角坐标系下，已知双曲线的离心率为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数的图象向右平移单位后得到曲线，点，分别在双曲线的下支和曲线上，则线段长度的最小值为（ ）A. 2B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】显然双曲线是等轴双曲线，结合焦点到渐近线的距离求出系数，再画出曲线的图象和双曲线的图象，观察图象可得解【详解】解：因为离心率为，所以该双曲线是等轴
7、双曲线，可设方程为所以，故焦点为，渐近线，取到的距离为2，得，解得所以双曲线方程为函数的图象向右平移单位后得到曲线的方程为：同一坐标系做出曲线、的图象：由图可知，当点为与轴的交点，点为双曲线的下顶点时，最小为1故选：【点睛】本题考查了双曲线方程的求法和三角函数的图象变换同时考查了利用数形结合解决问题的能力属于中档题8.某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答已知某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利
8、用次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率【详解】解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：故选：A【点睛】本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴
9、阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O：，则下列说法中正确的是( )A. 函数是圆O的一个太极函数B. 圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数C. 函数是圆O的一个太极函数D. 函数的图象关于原点对称是为圆O的太极函数的充要条件【答案】AC【解析】【分析】根据题中所给定义对四个选项逐一判断即可.【详解】选项A：因为，所以函数是奇函数，它的图象关于原点对称，如下图所示：所以函数是圆O的一个太极函数，故本说法正确；选项B：如下图所示：函数是偶函数，也是圆O的一个太极函数，故本说法不正确；选项C：
10、因为是奇函数，所以它图象关于原点对称，而圆也关于原点对称，如下图所示：因此函数是圆O的一个太极函数，故本说法是正确的；选项D：根据选项B的分析，圆O的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故本说法不正确.故选：AC【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了函数对称性的应用和圆的对称性的应用，属于中档题.10.已知函数的最大值为，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列结论正确的是（ ）.A. 函数的图像关于直线对称B. 当时，函数的最小值为C. 若，则的值为D. 要得到函数的图像，只需要将的图像向右平移个单位【答案】BD【解析】【分析】首先根据函数的最大值得到，根据图像相邻
11、的两条对称轴之间的距离得到，再根据的图像关于点对称得到，从而得到.对选项A，因为，故A错误.对选项B，根据题意得到，从而得到的最小值， 故B正确.对选项C，根据得到，再计算的值即可判断B错误.对选项D，将的图像向右平移个单位，得到，即可判断D正确.【详解】由题知：函数的最大值为，所以.因为函数图像相邻的两条对称轴之间的距离为，所以，.又因为的图像关于点对称，所以，.所以，.因，所以.即.对选项A，故A错误.对选项B，当时，取得最小值， 故B正确.对选项C，得到.因为，故C错误.对选项D，的图像向右平移个单位得到，故D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查的图象性质，同时图象的平移变换，属于中档题
12、.11.如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA平面ABC，ABC90，ABPA6，BC8，则（ ）A. 三棱锥D-BEF的体积为6B. 直线PB与直线DF垂直C. 平面DEF截三棱锥P-ABC所得的截面面积为12D. 点P与点A到平面BDE的距离相等【答案】ACD【解析】【分析】A.根据PA平面ABC，ABC90，ABPA6，BC8，先求得V三棱锥P-ABC，再根据D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，得到V三棱锥D-BEF ；B. 假设直线PB与直线DF垂直，利用线面垂直的判定定理得到平面DEF， 与平面DEF矛盾；C.根据 D，E，F分别为棱PC，A
13、C，AB的中点，则截面与PB相交，交点为中点，论证其形状再求解；D. 论证平面DEF即可.【详解】A.因为PA平面ABC，ABC90，ABPA6，BC8，所以V三棱锥P-ABC，又因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，所以，所以V三棱锥D-BEF ，故正确；B. 若直线PB与直线DF垂直，因为PA平面ABC，所以，又 ，所以平面PAB，所以 ，又 ，所以 平面PAB，所以 ，所以 平面DEF，易知 平面DEF，矛盾，故错误；C.如图所示： 取PB的中点G，连接GD，GF，则，所以，所以平面DEF截三棱锥P-ABC所得的截面为矩形GFED，其面积为，故正确；D. 因为， 平面DEF，平面
14、DEF，所以平面DEF，所以点P与点A到平面BDE的距离相等，故正确.故选：ACD【点睛】本题主要考查几何体体积的求法，线面垂直的判定，线面平行的判定以及截面的面积问题，还考查了逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ）.A. 当时，B. 函数在上有且仅有三个零点C. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是D. ，【答案】BD【解析】【分析】根据函数的性质结合图象，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】令，则，所以，得，所以选项A错误；观察在时的图象，令，得，可知在上单调递减，在上递增，且在上，在上，由此可判断在仅有一个零点，由函数的对
15、称性可知在上也有一个零点，又因为，故该函数有三个零点，所以选项B正确；由图可知，若关于的方程有解，则，所以选项C错误；由图可知，的值域为，所以对，恒成立，所以选项D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查函数的性质和导数在研究函数中的应用，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.三、填空题：13.盒子里有3个分别标有号码1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次.则取得小球标号最大值是3的取法有_种.（用数字作答）【答案】19【解析】【分析】本题可通过题意列出所有满足标号最大值是的取法，然后计算出数目即可得出结果.【详解】由题意可知，满足标号最大值是3的取法有：、，共种，故
16、答案为.【点睛】本题考查学生对题意的理解，能否根据题意列出所有满足题意的取法是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.14.已知a，bR，给出下面三个论断：ab；a0且b0以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_【答案】若ab，a0且b0，则（或若，a0且b0，则ab）【解析】【分析】直接利用不等式性质得到答案.【详解】若ab，a0且b0，则，证明：，故；，故，则，故.故答案为：若ab，a0且b0，则.【点睛】本题考查了不等式性质，属于简单题.15.已知抛物线的焦点为，是抛物线在第一象限的一点，且点到抛物线的对称轴和准线的距离相等，则点的坐标为_；为坐标原点，交
17、抛物线的准线于点，则三角形内切圆的面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据题意求点的坐标，再求直线的方程，得到点的坐标，根据三角形内切圆的性质及三角形的面积公式即可求得结论.【详解】抛物线的标准方程为，焦点坐标为准线方程为，对称轴为轴，设，点到抛物线的对称轴和准线的距离相等，所以，解得，所以可得，,因为，所以,所以直线的方程为即，又因为抛物线的准线方程为，所以可得，由两点间的距离公式求得,设三角形内切圆半径为，所以，解得，所以三角形内切圆面积.故答案为：；【点睛】本题考查直线和抛物线的关系，利用抛物线的定义解决问题的方法：灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离相等这
18、一性质“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径,属于中档题.16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切.已知直线l过点O.（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为_；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则_.【答案】 (1). 3 (2). 【解析】【分析】圆与圆关于原点对称，直线过原点，只要与一个圆相切，必与另一圆相切求出圆与圆的圆心坐标，（1）求出切线方程后，求出到切线的距离后由勾股定理
19、得弦长（2）设出直线方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长【详解】由题意圆与圆关于原点对称，设，则，即，（1）设方程为，即，由得，由对称性不妨取，方程为，圆心到的距离为，弦长为；（2）同（1）设直线方程为，点到直线的距离为，直线截圆得弦长为，点到直线的距离为，直线截圆得弦长为，由题意，解得，故答案为：3；【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为已知，（1）求，的通项公式；（2）是否存在正整数，使得且？若存在，求出的
20、值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在满足题意【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，在等差数列中，由已知求解公差，进一步求得首项，可得等差数列的通项公式；由求得，结合已知求得，可得等比数列的公比，则等比数列的通项公式可求；（2）由（1）知，由解得范围，再由，解得范围，即可判断出结论【详解】解：（1）设数列的为，在数列中，又因为，所以从而，所以由得：因为，设数列的公比为所以，所以（2）由（1）知：所以，整理得，解得又因为所以，即，解得所以【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.在中，分别为内角，的对边，（
21、1）求角；（2）若，为中点，在下列两个条件中任选一个，求的长度条件：的面积且；条件：【答案】（1）；（2）选择条件，【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得；化为，再利用正弦定理、和差公式即可得出（2）选择条件，可得利用诱导公式可得，由正弦定理可得：在中，由余弦定理可得【详解】解：（1）在中，由余弦定理知：，所以，所以又由正弦定理知：，得所以即：所以因为，所以，所以又因为，所以（2）选择条件：因为，所以因为由正弦定理知：，所以在中，由余弦定理知：解得：【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.如图，在边长为的菱形中，现沿对角线把翻折到的位置得到四面
22、体，如图所示.已知.（1）求证：平面平面；（2）若是线段上的点，且，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，推导出、，利用线面垂直的判定定理得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；（2）推导出、两两垂直，以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出向量的坐标，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【详解】（1）在三棱锥中，取的中点，连接、，得到，四边形是菱形，又，又，又，、平面，平面，又平面，平面平面；（2），为中点，、两两垂直，以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、，设平面的
23、法向量，由，即，解得，取，则，易知平面的一个法向量为，.由图可知二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，分成6组，其频率分布直方图如图所示.（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握
24、认为“网购迷与性别有关系”；男女合计网购迷20非网购迷45合计100（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲80401624乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.附：观测值公式：临界值表：0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1) 中位数估计为17.5千元. (2)
25、见解析；(3) 【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图的中位数公式求解即可(2) 由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，得“网购迷”共有35人，列出列联表计算即可得出结论；(3) 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，据题意得，计算，由，即可求解【详解】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为， 后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内.设直方图的面积平分线为，则，得，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人.所以补全的列联表如
26、下：男女合计网购迷152035非网购迷452065合计6040100因为，查表得，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为，.设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，据题意，.所以，.因为，则，所以数学期望为.【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布，熟记公式准确计算是关键，是中档题21.椭圆（）的离心率是，点在短轴上，且（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【详解】（1）由已知，点C，
27、D的坐标分别为（0，b），（0，b）又点P的坐标为（0，1），且1于是，解得a2，b所以椭圆E方程为.（2）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）联立，得（2k21）x24kx20其判别式（4k）28（2k21）0所以从而x1x2y1y2x1x2（y11）（y21）（1）（1k2）x1x2k（x1x2）1所以，当1时，3，此时，3为定值.当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD此时213故存在常数1，使得为定值3.考点：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化
28、、特殊与一般、分类与整合等数学思想.22.已知函数，.（1）设，求在上的最大值；（2）设，若的极大值恒小于0，求证：.【答案】（1）最大值（2）证明见解析【解析】【分析】对函数求导得，得到的单调区间，分类讨论即可得最大值，的极大值恒小于0可得，从而得到的最大值，构造函数即可证明【详解】由已知，当时，当时，从而的单调递增区间是，单调递减区间是，从而，于是当时，所以当时，所以；综上所得依题意，则，因为存在极大值，则关于x的方程有两个不等的正根，不妨，则，则，且，设列设表如下：x0000单调递增极大值单调递减极小值单调递增从而，又，从而对恒成立，设，则，所以在上递增，从而，所以，设，则，又，若，若，从而，即【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值，利用导数研究存在或恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题
