1、2015-2016学年天津市红桥区高一（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1在ABC中，a=3，b=，A=120，则B等于（）A120B60C45D302已知等差数列an满足a3+a4=12，3a2=a5，则a5=（）A3B6C9D113某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人现采用分层抽取容量为30的样本，则抽取的初级职称的人数为（）A30B18C9D34等差数列an的前n项和为Sn，a5=11，S12=186，则a8=（）A18B20C21D225若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=4，BC=2，则质点落在
2、以AB为直径的半圆外的空白处的概率是（）A1BC1D6已知等比数列an的前n项和为Sn，且S2+a2，S1+2a2，S3+a3，成等差数列，则数列an的公比为（）A2BC2D7在ABC中，A=60，AC=2，BC=，则AB等于（）A1B2C3D8某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出如图所示的频率分布直方图，但由于不慎丢失了部分数据已知得分在50，60）的有8人，在90，100）的有2人，由此推
3、测频率分布直方图中的x=（）A0.04B0.03C0.02D0.01二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）9在数列an中，a1=1，an=1（n2），则a3=10若等比数列an满足a1+a4=10，a2+a5=20，则q=11在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出2个数字，则2个数字之中至少有一个偶数的概率是12如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB=45，CAB=105后，则A，B两点的距离为 m13已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2ann=0（nN+），则数列an1的通项公式为三、解答题（共4小题，满
4、分48分）14在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bsinA=a（1）求角B的大小；（2）若a+c=5，且ac，b=，求边a，c15甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由；（2）求在乙同学的6次预赛成绩中，从不小于70分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽出的2个成绩均大于80分的概率16等差数列an满足：a1=1，a2+a6=14；正项等比数列bn满足：b1=2，b3=8（1
5、）求数列an，bn的通项公式an，bn；（2）求数列（an+1）bn的前n项和Tn17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA，sinC，sinB成等比数列，且b=2a（1）求cosC的值；（2）若ABC的面积为2sinAsinB，求sinA及c的值2015-2016学年天津市红桥区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1在ABC中，a=3，b=，A=120，则B等于（）A120B60C45D30【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形【分析】由已知利用正弦定理可求sinB的值，利用大边对大角可得B为锐角，从而
6、得解【解答】解：在ABC中，a=3，b=，A=120，由，可得：sinB=，ba，B为锐角，B=30故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，大边对大角等知识在解三角形中的应用，属于基础题2已知等差数列an满足a3+a4=12，3a2=a5，则a5=（）A3B6C9D11【考点】等差数列的通项公式【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由题意和等差数列的性质可得a2和a5的方程组，解方程组可得【解答】解：等差数列an满足a3+a4=12，3a2=a5，a2+a5=a3+a4=12，3a2=a5，联立消去a2可得a5=9故选：C【点评】本题考查等差数列的通项公式和等
7、差数列的性质，属基础题3某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人现采用分层抽取容量为30的样本，则抽取的初级职称的人数为（）A30B18C9D3【考点】分层抽样方法【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用初级职称的人数乘以每个个体被抽到的概率，即得初级职称应抽取人数【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，由于初级职称90人人，故初级职称90人应抽取的人数为 90=18，故选：B【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题4等差数列an的前n项和为Sn
8、，a5=11，S12=186，则a8=（）A18B20C21D22【考点】等差数列的通项公式【专题】计算题【分析】由数列的性质得a1+a12=a5+a8又因为（a1+a12）=186所以a1+a12=a5+a8=31所以a8=20【解答】解：由数列的性质得a1+a12=a5+a8又因为（a1+a12）=186所以a1+a12=a5+a8=31因为a5=11所以a8=20故选B【点评】本题主要考查数列的性质即若m+n=l+k则am+an=al+ak5若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=4，BC=2，则质点落在以AB为直径的半圆外的空白处的概率是（）A1BC1D【考点】几何概
9、型【专题】分析法；概率与统计【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论【解答】解：解：AB=2BC=4，AB=4，BC=2，长方体的ABCD的面积S=42=8，圆的半径r=2，半圆的面积=22=2，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是=，半圆外的空白处的概率是1，故答案选：A【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，是基础题6已知等比数列an的前n项和为Sn，且S2+a2，S1+2a2，S3+a3，成等差数列，则数列an的公比为（）A2BC2D【考点】等比数列的前n项和【专题】方程思想；转化思想；
10、等差数列与等比数列【分析】设等比数列an的公比为q，由于S2+a2，S1+2a2，S3+a3，成等差数列，可得2（S1+2a2）=S3+a3+S2+a2，代入化简解出即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q，S2+a2，S1+2a2，S3+a3，成等差数列，2（S1+2a2）=S3+a3+S2+a2，化为：2a1（1+2q）=2a1+3a2+2a3=a1（2+3q+2q2），化为：2q2+q=0，q0则数列an的公比为故选：B【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7在ABC中，A=60，AC=2，BC=，则AB等于（）A1B2C3D【考点】正弦
11、定理【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形【分析】由AC，BC以及cosA的值，利用余弦定理即可求出AB的值【解答】解：在ABC中，A=60，AC=2，BC=，由余弦定理得：BC2=AC2+AB22ACABcosA=4+AB2+22AB=7，则解得：AB=1或3（舍去）故选：A【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题8某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照50，60），60，70），70，80），80，90），90
12、，100的分组作出如图所示的频率分布直方图，但由于不慎丢失了部分数据已知得分在50，60）的有8人，在90，100）的有2人，由此推测频率分布直方图中的x=（）A0.04B0.03C0.02D0.01【考点】频率分布直方图【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】由已知条件结合频率分布直方图的性质，得y=0.004，再由频率分布直方图的性质能求出x的值【解答】解：得分在50，60）的有8人，在90，100）的有2人，由频率分布直方图，得：y=0.004，由频率分布直方图的性质得：（0.004+0.010+0.016+x+0.040）10=1，解得x=0.03故选：B【点评】本题考查频
13、率分布直方图中的x的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）9在数列an中，a1=1，an=1（n2），则a3=【考点】数列递推式【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】通过对an=1（n2）两边同时取倒数，进而构造首项、公差均为1的等差数列，代入计算即得结论【解答】解：an=1=（n2），=1+（n2），=1，数列是首项、公差均为1的等差数列，=n，an=，故答案为：【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题10若等比数列an满足a1+a4=10，
14、a2+a5=20，则q=2【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由已知条件，利用等比数列的通项公式得到a2+a5=q（a1+a4），由此能求出公式q【解答】解：等比数列an满足a1+a4=10，a2+a5=20，a2+a5=q（a1+a4）=10q=20，解得q=2故答案为：2【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用11在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出2个数字，则2个数字之中至少有一个偶数的概率是【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计
15、【分析】先求出基本事件总数，再由2个数字之中至少有一个偶数的对立事件是2个数字都是奇数，利用对立事件概率计算公式能求出2个数字之中至少有一个偶数的概率【解答】解：在五个数字1，2，3，4，5中，随机取出2个数字，基本事件总数n=10，2个数字之中至少有一个偶数的对立事件是2个数字都是奇数，2个数字之中至少有一个偶数的概率是：p=1=故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用12如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB=45，CAB=105后，则A，B两点的距离为50 m
16、【考点】解三角形的实际应用【专题】计算题【分析】先利用三角形的内角和求出B=30，再利用正弦定理，即可得出结论【解答】解：在ABC中，ACB=45，CAB=105B=30由正弦定理可得：=50m故答案为：50【点评】本题考查解三角形的实际应用，解题的关键是利用正弦定理，求三角形的边，属于基础题13已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2ann=0（nN+），则数列an1的通项公式为2n【考点】数列递推式【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】通过Sn2ann=0（nN+）与Sn12an1n+1=0（n2）作差、变形可知an1=2（an11），进而计算即得结论【解答】解：S
17、n2ann=0（nN+），Sn12an1n+1=0（n2），两式相减得：an=2an11，变形可得：an1=2（an11），又a1=2a1+1，即a11=12=2，数列an1是首项为2、公比为2的等比数列，数列an1=22n1=2n，故答案为：2n【点评】本题考查数列的通项，构造数列是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题三、解答题（共4小题，满分48分）14在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bsinA=a（1）求角B的大小；（2）若a+c=5，且ac，b=，求边a，c【考点】余弦定理；正弦定理【专题】方程思想；转化思想；解三角形【分析】（1）由2bsin
18、A=a，利用正弦定理可得：2sinBsinA=sinA，sinA0，化简整理即可得出（2）由余弦定理可得：b2=a2+c22accosB，代入化简解出即可【解答】解：（1）在锐角ABC中，2bsinA=a，2sinBsinA=sinA，sinA0，sinB=，B（0，），B=（2）由余弦定理可得：b2=a2+c22accosB，7=（a+c）22ac2accos，化为：ac=6，与a+c=5，ac，联立解得：a=3，c=2【点评】本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次得到甲、乙
19、两位学生成绩的茎叶图（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由；（2）求在乙同学的6次预赛成绩中，从不小于70分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽出的2个成绩均大于80分的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（1）分别求出，由=，得到甲学生的成绩更稳定（2）在乙同学的6次预赛成绩中，从不小于70分的成绩中随机抽取2个成绩，利用列举法能列出所有结果，并能求出抽出的2个成绩均大于80分的概率【解答】解：（1）=（6
20、9+78+79+79+88+87）=80，= （6980）2+（7880）2+（7980）2+（7980）2+（8880）2+（8780）2=40=（65+77+79+82+88+89）=80，= （6580）2+（7780）2+（7980）2+（8280）2+（8880）2+（8980）2=64=，甲学生的成绩更稳定（2）在乙同学的6次预赛成绩中，从不小于70分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果为：（77，79），（77，82），（77，88），（77，89），（79，82），（79，88），（79，89），（82，88），（82，89），（88，89），共10个，2个成绩均大于80分的
21、基本事件有：（82，88），（82，89），（88，89），共3个，抽出的2个成绩均大于80分的概率p=【点评】本题考查平均数、方差的计算及应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用16等差数列an满足：a1=1，a2+a6=14；正项等比数列bn满足：b1=2，b3=8（1）求数列an，bn的通项公式an，bn；（2）求数列（an+1）bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）（an+1）bn=2n2n=n2n+1利用“错位相减法”与等比数列的前n项和
22、公式即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，a1=1，a2+a6=14；21+6d=14，解得d=2an=1+2（n1）=2n1设正项等比数列bn的公比为q0，b1=2，b3=82q2=8，解得q=2bn=22n1=2n（2）（an+1）bn=2n2n=n2n+1数列（an+1）bn的前n项和Tn=22+223+324+n2n+1，2Tn=23+224+（n1）2n+1+n2n+2，Tn=22+23+2n+1n2n+2=n2n+2=（1n）2n+24，Tn=（n1）2n+2+4【点评】本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题1
23、7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA，sinC，sinB成等比数列，且b=2a（1）求cosC的值；（2）若ABC的面积为2sinAsinB，求sinA及c的值【考点】正弦定理；余弦定理【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形【分析】（1）利用 sinA，sinC，sinB成等比数列，且b=2a，可得a，b，c的关系，利用余弦定理求cosC的值；（2）若ABC的面积为2sinAsinB，结合面积公式，即可求sinA及c的值【解答】解：在ABC中，sinA，sinC，sinB成等比数列，sin2C=sinAsinB，c2=ab，b=2a，c=a，cosC=；（2）由（1）可得，sin2C=ABC的面积为2sinAsinB，ABC的面积为2sin2C=，=，=，a=，b=，c=，sinA=，sinA=【点评】本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查等比数列的性质，正确转化是关键
