1、第二章函数、导数及其应用第1讲 函数与映射的概念 考纲要求考点分布考情风向标1.了解构成函数的要素2.会求一些简单函数的定义域和值域3.了解映射的概念4.了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，且a1)2011年大纲卷考查求反函数；2012年大纲卷考查求反函数；2013年大纲卷考查求反函数对函数概念的理解是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，不易理解，应做适量练习，通过练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误本节重点解决求函数的定义域但是也要补充反函数的概念及求法，全国卷在2011年、2012年、2013年连续三年都考查求简单函数的反函数映射的定义设A，B是两个非空集合，如果按照
2、某种对应关系f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，通常记为fAB函数的概念函数的定义设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称fAB为从集合A到集合B的一个函数，通常记为yf(x)，xA函数的三个要素定义域x的取值范围A值域函数值的集合f(x)|xA对应关系f)B1下列函数中与函数 yx 相同的是(2(2013 年江西)函数 yln(1x)的定义域为()BA(0,1)B0,1)C(0,1D0,1Ay(x)2By33xCy x2 Dyx
3、2x解析：由题意，得自变量满足x0，1x0.解得 0 x0，log2x1.解得x2.答案：C(2)(2014 年山东)函数 f(x)1log2x1的定义域为()(3)若函数 f(x)1x1，则 函 数 y ff(x)的 定 义 域 为_ 答案：x|xR，x1，且 x2解析：f(x)1x1，ff(x)11x11.要使函数有意义，应满足x10，1x110，即 x1，且 x2.故函数的定义域是x|xR，x1，且 x2【规律方法】(1)求定义域的一般步骤：写出使得函数式有意义的不等式(组)；解不等式(组)；写出函数的定义域(2)常见的一些具体函数的定义域：有分母的保证分母不为零；有开偶次方根的要保证被
4、开方 数为非负数；有对数函数的保证真数大于零，底数大于零，且 不等于 1.考点 3 反函数 例 3：(1)(2013 年大纲)函数 f(x)log211x(x0)的反函数f1(x)()A12x1(x0)B12x1(x0)C2x1(xR)D2x1(x0)答案：A解析：由 ylog211x，得 11x2y.故 x12y1.把 x 与 y互换，即得 f1(x)12x1.由 x0，得 11x1，可得 y0.故所求反函数为 f1(x)12x1(x0)答案：B(2)(2011 年大纲)函数 y2 x(x0)的反函数为()Ayx24(xR)Byx24(x0)Cy4x2(xR)Dy4x2(x0)解析：由原函数
5、反解得 xy24，又原函数的值域为 y0.所以函数 y2 x(x0)的反函数为 yx24(x0)(3)函数 f(x)2x的反函数yf1(x)的图象为()ABCD解析：指数函数 f(x)2x 的反函数为对数函数 ylog2x.故 选 A.答案：A【规律方法】本试题主要考查了反函数的求解，利用原函数反解，再互换得到结论，同时也考查了函数值域的求法；特别要注意的是教材关于反函数的内容不多，只有对数函数与指数函数互为反函数，因此本知识点要引起我们的重视易错、易混、易漏对复合函数的定义域理解不透彻例题：(1)若函数 f(x)的定义域为2,3，则 f(x1)的定义域为_；(2)若函数 f(x 1)的定义域
6、为 2,3，则 f(x)的定义域为_，f(2x1)的定义域为_；(3)若函数 f(x)的值域为2,3，则 f(x1)的值域为_，f(x)1 的值域为_正解：(1)若函数 f(x)的定义域为2,3，则对 f(x1)，有 2x13.解得 3x4，即 f(x1)的定义域为3,4(2)若函数 f(x1)的定义域为2,3，即 2x3，有 1x12，则 f(x)的定义域为1,2 而对 f(2x1)，有 12x12，解得 0 x12.即 f(2x1)的定义域为0，12.(3)f(x1)的图象是将 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度得到的，不改变值域f(x)1 的图象是将 f(x)的图象向下平移 1个单位
7、长度得到的故 f(x1)的值域为2,3，f(x)1 的值域为1,2答案：(1)3,4(2)1,20，12(3)2,31,2【失误与防范】对于求抽象的复合函数的定义域，主要理 解三种情形：已知 f(x)的定义域为a，b，求 fu(x)的定义域，只需求不等式 au(x)b 的解集即可；已知 fu(x)的定义域为a，b，求 f(x)的定义域，只需求u(x)的值域；已知 fu(x)的定义域为a，b，求 fg(x)的定义域，必须先利用第(2)小题的 方法求 f(x)的定义域，然后利用第(1)小题的方法求解1函数的三要素是定义域、值域及对应法则，判断两个函数是否相同，只需判断这两个函数的对应法则与定义域是否相同即可2对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解三种情形：(1)已知 f(x)的定义域为a，b，求 f(u(x)的定义域，只需求不等式 au(x)b 的解集即可；(2)已知 f(u(x)的定义域为a，b，求 f(x)的定义域，只需求u(x)在区间a，b内的值域；(3)已知 f(u(x)的定义域为a，b，求 f(g(x)的定义域，必须先利用题方法求 f(x)的定义域，然后利用题的方法求解
