1、江苏省南通市启东中学2019-2020学年高二数学下学期期初试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一元二次不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】确定相应一元二次方程的解，根据二次函数性质确定不等式的解集.【详解】原不等式可化为，解得，或.故选：A【点睛】本题考查解一元二次不等式，属于简单题.2.在等差数列中，则的前8项和为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】由等差数列的下标性质求出和，则，再利用等差数列前项和公式求解即可.【详解】由等差数列的下标性质可
2、得，所以，所以，所以，所以数列的前项和.故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的下标性质和等差数列的前项和公式，属于基础题.3.已知点，向量，则点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设点，由点和点表示出向量，构造等式求解即可.【详解】设点，则向量，所以，所以点.故选：D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，属于简单题.4.“”是“一元二次方程有实数解”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】略5.已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 【
3、答案】B【解析】【分析】当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由此可得到关于的不等式，从而可得结果.【详解】当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值椭圆上存在点使得是钝角，中， 中，椭圆离心率的取值范围是，故选B【点睛】本题主要考查利用椭圆简单性质求椭圆的离心率范围，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之
4、间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.6.在直三棱柱中，点是线段中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出直三棱柱的图像，将异面直线的夹角转化成平面的两直线的夹角，找出和，即即异面直线与所成角，再利用余弦定理求解即可.【详解】由题意画出直三棱柱，如图所示，设、中点分别为、，连接、和，由图知，且，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又，所以即异面直线与所成角，设，则,，在中，由余弦定理得，即即异面直线与所成角的余弦值为.故选：D【点睛】本题考查异面直线所成角
5、的计算，通过平移直线，选择合适的三角形求解，还考查了余弦定理，考查学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题.7.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m若水面下降1m，则水面宽度为（ ）A. mB. mC. mD. 12 m【答案】B【解析】【分析】以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程并求出，最后求解当时的值即可求出水面宽度.【详解】由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程，由题意知，抛物线经过点和点，代入抛物线方程解得，所以抛物线方程，水面下降米，即，解得，所以此时水面宽度.故
6、选：B【点睛】本题主要考查通过建模解决实际问题和抛物线的性质，属于基础题.8.九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈匹尺，一丈尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，数列为等差数列，利用和求出公差和通项公式，利用等差数列的性质化简，求解即可.
7、【详解】由题意，数列为等差数列，设数列公差为，由等差数列前项和公式，解得，所以，所以.故选：C【点睛】本题主要考查利用等差数列前项和公式求解通项公式和等差数列性质的应用，熟练掌握等差数列相关公式是求解的关键，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.在平面直角坐标系中，已知双曲线，则（ ）A. 实轴长2B. 渐近线方程为C. 离心率为2D. 一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3【答案】BC【解析】【分析】由双曲线方程得到、和的值，分别求
8、出实轴长、渐近线方程、离心率和一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离，即可得到答案.【详解】由双曲线方程，得，所以实轴长，故选项A错误；渐近线方程为，故选项B正确；离心率，故选项C正确；准线方程，取其中一条准线，与的交点， 点到直线的距离，故选项D错误.故选：BC【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，包括求实轴长、离心率、渐近线方程和准线方程，属于基础题.10.已知数列的前n项和为Sn，若存在两项，使得，则（ ）A. 数列为等差数列B. 数列为等比数列C. D. 为定值【答案】BD【解析】【分析】由和的关系求出数列为等比数列，所以选项A错误，选项B正确；利用等比数列前项和公式，求出 ，故选
9、项C错误，由等比数列的通项公式得到，所以选项D正确.【详解】由题意，当时，解得，当时，所以，所以，数列是以首项，公比的等比数列，故选项A错误，选项B正确；数列是以首项，公比的等比数列，所以，故选项C错误；，所以定值，故选项D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查由和的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前项和公式的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题.11.在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（ ）A. =B. C. 三棱锥的体积为D. 与平面BBCC所成的角为【答案】AC【解析】【分析】画出正三棱柱，对选项A，由向量的线性运算表示出；对选项B，判断是否为直角三角形；对选项C，
10、用棱锥体积公式计算；对选项D，利用线面垂直，得出即与平面BBCC所成的角，放在直角中求解.【详解】由题意，画出正三棱柱如图所示，向量，故选项A正确；在中，所以和不垂直，故选项B错误；在三棱锥中，点到平面的距离即中边上的高，所以，所以，故选项C正确；设中点为，所以，又三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即与平面BBCC所成的角，所以，故选项D错误.故选：AC【点睛】本题主要考查向量的线性运算、求棱锥的体积和线面角的求法，考查学生的数形结合能力和计算能力，属于中档题.12.已知函数，给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ）A. 若，使得成立，则B. 若，使得恒成立，则C. 若，使得恒成立，则D. 若，
11、使得成立，则【答案】ACD【解析】【分析】对选项A，在上的最小值小于即可；对选项B，的最小值大于即可；对选项C，在上的最小值大于的最大值即可；对选项D，即可.【详解】对选项A，只需在上的最小值小于，在上单调递增，所以，所以，故正确；对选项B，只需的最小值大于，因为，所以，所以，故错误；对选项C，只需在上的最小值大于的最大值，即，故正确；对选项D，只需，所以，时，所以在上单调递减，所以，由题意，故正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查不等式恒成立和存在性问题，考查学生的分析转化能力，注意恒成立问题和存在性问题条件的转化，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填
12、写在答题卡相应位置上.13.命题“，”，此命题的否定是_（用符号表示）【答案】，【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题，并将结论否定.【详解】将全称命题化为特称命题，并将结论否定，.故答案为：，【点睛】本题考查全称命题的否定，属于简单题.14.已知等比数列的前n项为Sn，公比若，则_【答案】100【解析】【分析】先由等比数列前项和公式表示出，再表示出，找到共同的量，再计算最后答案即可.【详解】由等比数列前项和公式，得，由题意，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.故答案为：100【点睛】本题主要考查等比数列的性质和前项和公式的应用，考查学生的分析转化能力，属于中档题.15.设，则的最小值为
13、_，此时_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】原式展开并化简得到，利用基本不等式求得最小值，再由等号成立的条件、和确定的值.【详解】由题意，由基本不等式，当且仅当，即时等号成立，因为，所以，解得或，又，所以.故答案为：；【点睛】本题考查利用基本不等式求最值和取等号时的条件，考查学生的转化能力，属于基础题.16.已知抛物线，AB是过焦点F的一条弦，AA1准线l于A1点，BB1准线l于B1点，N是A1B1中点，若AA14，BB12，则线段NF的长为_【答案】【解析】【分析】设点和点的坐标，由抛物线的定义分别表示出点的横坐标，点的横坐标，设直线的方程代入抛物线方程，利用韦达定理求得，解得，
14、从而可以求得焦点的坐标和点的坐标，利用两点间距离公式求解的长即可.【详解】由抛物线的对称性，设点，点，由抛物线的定义，直线的斜率存在，设直线：，代入抛物线方程并整理得，由韦达定理，所以，解得，所以焦点坐标，所以，所以点，由两点间距离公式，.故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系和两点间距离公式，注意韦达定理的应用，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若关于的不等式的解集为A，不等式的解集为B（1）求集合A；（2）已知B是A的必要不充分条件，求实数a
15、的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用十字相乘法将原不等式化为，利用一元二次函数的性质即可求出集合；（2）先利用分式不等式的解法求出集合，根据条件判断出，再列不等式组求出的范围.【详解】（1）原不等式可化为：，解得，所以集合；（2）不等式可化为：，等价于，解得，所以集合，因为是的必要不充分条件，所以，故，解得.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分式不等式的解法、必要不充分条件的应用和真子集的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于基础题.18.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于一点（1）求值；（2）若双曲线上一点Q到左焦点的距离为3，求它到双曲线右准线的
16、距离【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由双曲线方程判断焦点在轴上，利用相同焦点和交点，列方程组求解即可；（2）由（1）知双曲线方程，先判断点在双曲线左支上，利用双曲线第二定义求出点到左准线的距离，再求解点到右准线的距离即可.【详解】（1）由双曲线方程可知，焦点在轴上，椭圆和双曲线有相同的焦点，可得，又交于点，所以，联立，解得，；（2）由（1）知，双曲线，所以，所以左焦点，左准线，右准线，双曲线右支上一点到左焦点最小距离，所以点在双曲线的左支上，设点到左准线的距离为，由双曲线第二定义，所以，所以点到右准线的距离.【点睛】本题主要考查求解椭圆和双曲线标准方程、双曲线的几何性质和第二定义
17、的应用，考查学生分析转化能力，属于基础题.19.已知各项均为正数的等比数列满足，数列的前n项和为Sn，且，N（1）求数列的通项公式；（2）证明数列是等差数列，并求数列的前n项和Tn【答案】（1）；（2）证明见解析，【解析】【分析】（1）由和分别表示出等式中的、和，解方程组求出和，再由等比数列的通项公式表示出即可；（2）时，求出，时，由和的关系得到，进而求出，用定义证明数列是等差数列即可，分别求出数列和的前项和，从而求出.【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为，所以.（2）由题意，当时，又，所以，当时，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以数列是以首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，数列
18、的前项和为，所以数列的前项和.【点睛】本题主要考查求等比数列和等差数列的通项公式和前项和公式，考查分组求和的计算方法，属于中档题.20.某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯的C点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE如图所示，广告牌底部点E正好为DC的中点，电梯AC的坡度某人在扶梯上点P处(异于点C)观察广告牌的视角当人在A点时，观测到视角DAE的正切值为（1）求扶梯AC的长（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求CP的长【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设，用分别表示出和，利用两角和正切公式求出，再根据的范围求解出答案；（2）作且交于点，设，用分别表示出和，利用两角差的正切公
19、式表示出，利用基本不等式求出的最大值，此时即取最大值，利用基本不等式取最值的条件求出，再求出即可.【详解】（1）由题意，为的中点，,所以，设，则，在中，在中，由两角和的正切公式，所以，解得，或，因为，所以，所以扶梯AC的长为米；（2）作且交于点，如图所示，设，则，由（1）知，当取最大值时，即取最大值，当且仅当，即时等式成立，所以此时.【点睛】本题主要考查两角和差正切公式的应用，考查学生分析转化能力、方程思想和计算能力，属于中档题.21.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，且AA1AD（1）求直线EF与平面ABCD所成角的大小；（2）若EFAB，求二面角BA
20、1CD的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）作平面，连接，即直线与平面所成的角，求出和，利用，然后再利用正切值求出即可；（2）设,则，利用，求出，再建立空间直角坐标系，用向量法求解二面角的余弦值.【详解】（1）如图，作平面，所以,又点是的中点，所以，是的中位线，所以点是的中点，连接，则即直线与平面所成的角，所以，即直线与平面所成的角为；（2）设,则，由（1）知，又，所以，以点为原点，以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系，如图，则，设平面的法向量，则，令，则，所以，设平面的法向量，则，令，则，所以，所以向量和的夹角即二面角，即二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查线面角的求法、利用
21、向量法求解二面角以及向量的数量积的应用，考查学生的计算能力，属于中档题.22.已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，F为椭圆C的右焦点，A是右准线与x轴的交点，且AF1（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C上顶点B的直线l交椭圆另一点D，交x轴于点M，若，求直线l的方程；（3）设点，过点F且斜率不为零的直线m与椭圆C交于S，T两点，直线TQ与直线x2交于点S1，试问是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由【答案】（1）；（2），或；（3）定值为0，理由见解析【解析】【分析】（1）由，得到，再由离心率，即可求出、和，然后写出椭圆方程即可；（2）由点坐标设直线方程，求出点坐标，再由直线方程代
22、入椭圆方程，利用韦达定理，求解出点横坐标，再根据，求出，即可得到直线的方程；（3）设直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出和；再利用点和点设直线方程，求出点，即可求出为定值.【详解】（1）由题意，椭圆右准线方程：，点，焦点，因为，所以，又，解得，所以，所以椭圆方程为：；（2）由（1）知，点，所以设直线方程：，时，所以点，直线方程代入椭圆方程并整理得，设点，由韦达定理，又，所以，解得，所以直线：，或；（3）由（1）知，点，点，所以设直线：，代入椭圆方程并整理得，设点，点，由韦达定理，所以，设直线：，当时，又，所以点，即为定值，定值为.【点睛】本题主要考查利用离心率和准线求椭圆方程、直线的方程和韦达定理的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题.
