1、选修44坐标系与参数方程第1讲坐标系与简单曲线的极坐标方程基础巩固1.在极坐标系中,点到圆=2cos 的圆心的距离为()A.2B.C.D.【答案】 D【解析】 圆=2cos 在直角坐标系中的方程为(x-1)2+y2=1,点的直角坐标为(1,),圆心 (1,0)与(1,)的距离为d=.2.在极坐标系中,直线sin=2被圆=4截得的弦长为.【答案】 4【解析】 直线sin=2可化为x+y-2=0,圆=4可化为x2+y2=16,由圆中的弦长公式可得所求弦长为2=2=4.3.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y=sin x的方程变为.【答案】 y=3sin 2x【解析】 代入y
2、=sin x得y=3sin 2x.4.在极坐标系中,已知两点A,B的极坐标分别为,则AOB(其中O为极点)的面积为.【答案】 3【解析】 结合图形(图略),可知AOB的面积S=OAOBsin=3.5.在极坐标系中,直线=截圆=2cos(R)所得的弦长是.【答案】 2【解析】 把直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别为y=x和=1.显然圆心在直线y=x上.故所求的弦长等于圆的直径的大小,即为2.6.若直线2x+3y-1=0经过变换可以化为6x+6y-1=0,则坐标变换公式是.【答案】 【解析】 设直线2x+3y-1=0上任一点的坐标为(x,y),经变换后其对应点的坐标为(x,y),设坐标变换公
3、式为则有将其代入直线方程2x+3y-1=0,得x+y-1=0,将其与6x+6y-1=0比较得k=,h=.故所求的坐标变换公式为7.(2012陕西卷,15C)直线2cos =1与圆=2cos 相交的弦长为.【答案】 【解析】 直线2cos =1即为2x=1,圆=2cos 即为(x-1)2+y2=1,由此可求得弦长为.8.在极坐标系(,)(00,cos 0.从而可知,22.因此2=,=.故=,所求交点为.9.(2012安徽卷,13)在极坐标系中,圆=4sin 的圆心到直线=(R)的距离是.【答案】 【解析】 因为由极坐标下圆的方程=4sin 可得2=4sin ,所以x2+y2=4y,即x2+(y-
4、2)2=4,表示以(0,2)为圆心,2为半径的圆.又=(R)表示直线y=x,所以由点到直线的距离公式可得d=.10.把极坐标方程=化成直角坐标方程.【解】 =,2-cos =4,即2=4+cos .于是42=(cos +4)2.故4x2+4y2=(x+4)2=x2+8x+16,即3x2-8x+4y2=16.11.将直角坐标方程x2+(y-2)2=4化成极坐标方程.【解】 x2+(y-2)2=4,x2+y2=4y,把x=cos ,y=sin 代入x2+y2=4y,得2-4sin =0,即=4sin .12.在极坐标系中,求点P到直线l:sin=1的距离.【解】 点P的直角坐标为,将直线l:sin
5、=1化为直角坐标方程为sin cos-cos siny-=1,即x-y+2=0,d=+1.13.在极坐标系中,求点M关于直线=的对称点的坐标.【解】 设点M关于直线=的对称点为M(,),线段MM交直线=于点A,则MOA=MOA=,于是点M的极角=.又点M,M的极半径相等,=4.故点M的极坐标为.拓展延伸14.在极坐标系中,极点为O.已知一条封闭的曲线C由三段圆弧组成:=2cos ,=2sin ,=2.(1)求曲线C围成的区域的面积;(2)若直线l:sin=k(kR)与曲线C恰有两个公共点,求实数k的取值范围.【解】 (1)如下图,设两段小圆弧所在圆的圆心分别为A,C,它们的衔接点为B,则四边形
6、OABC是边长为1的正方形.曲线C围成的区域面积S=22+11+12=1+.(2)如图,以极点为原点,以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,其中点M为圆A与x轴正半轴的交点,点N为圆C与y轴正半轴的交点,则小圆弧所在的圆的方程分别为(x-1)2+y2=1,x2+(y-1)2=1,大圆弧所在的圆方程为x2+y2=4.直线l:sin=k在直角坐标系下的方程为x+y=k.当l与圆弧相切时,l的方程为y=-x-2;当l过M,B,N三点时,l的方程为y=-x+2;当l与圆弧都相切时,记l与曲线C的切点分别为E,F,且与x轴的交点为D.因为在等腰直角三角形AED中,AE=1,AD=,所以OD=1+.此时l的方程为y=-x+1+.因此,要使l与曲线C恰有两个公共点,必须-2k2或k=1+,即-2k或k=1+.
