1、3.2三角变换与解三角形专项练必备知识精要梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()=sin cos cos sin ;cos()=cos cos sin sin ;tan()=tantan1tantan.2.二倍角公式sin 2=2sin cos ;cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;tan 2=2tan1-tan2.3.降幂公式cos2=1+cos22;sin2=1-cos22;sin cos =sin22.4.正弦、余弦定理(1)正弦定理:asinA=bsinB=csinC=2R(R为三角形外接圆的半径).(2)余弦定理:a2=b2+c2-2bccos
2、 A,cos A=b2+c2-a22bc等.考向训练限时通关考向一两角和与差的公式的应用1.(2020全国,理9)已知2tan -tan+4=7,则tan =()A.-2B.-1C.1D.22.(2020全国,文5)已知sin +sin+3=1,则sin+6=()A.12B.33C.23D.223.(2020湖南师大附中一模,理7)已知为锐角,且cos (1+3tan 10)=1,则的值为()A.20B.40C.50D.704.(2020全国,理9)已知(0,),且3cos 2-8cos =5,则sin =()A.53B.23C.13D.595.(2020山东模考卷,14)已知cos+6-si
3、n =435,则sin+116=.考向二三角函数与三角变换的综合6.已知函数f(x)=asin x+bcos x(xR),若x=x0是函数f(x)图象的一条对称轴,且tan x0=3,则a,b应满足的表达式是()A.a=-3bB.b=-3aC.a=3bD.b=3a7.已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则()A.f(x)的最小正周期为,最大值为3B.f(x)的最小正周期为,最大值为4C.f(x)的最小正周期为2,最大值为3D.f(x)的最小正周期为2,最大值为48.(多选)(2020山东潍坊临朐模拟二,10)已知函数f(x)=sin xsinx+3-14的定义域为m,n(mB,则s
4、in Asin BC.若a=8,c=10,B=60,则符合条件的ABC有两个D.若sin2A+sin2Bsin2C,则ABC是钝角三角形12.(多选)(2020山东烟台模拟,11)在ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cosCDB=-55,则()A.sinCDB=310B.ABC的面积为8C.ABC的周长为8+45D.ABC为钝角三角形13.(多选)在ABC中,下列命题正确的有()A.若A=30,b=4,a=5,则ABC有两解B.若0tan Atan BB,则ab,由正弦定理得sinAsinB成立,故B正确;对于C,由余弦定理可得b=82+102-281012=84
5、,只有一解,故C不正确;对于D,若sin2A+sin2Bsin2C,由正弦定理得a2+b2c2,cosC=a2+b2-c22ab0,C为钝角,ABC是钝角三角形,故D正确.故选BD.12.BCD解析因为cosCDB=-55,所以sinCDB=1-cos2CDB=255,故A错误;设CD=a,则BC=2a,在BCD中,BC2=CD2+BD2-2CDBDcosCDB,解得a=5,所以SDBC=12BDCDsinCDB=1235255=3,所以SABC=3+53SDBC=8,故B正确;因为ADC=-CDB,所以cosADC=cos(-CDB)=-cosCDB=55,在ADC中,AC2=AD2+CD2
6、-2ADDCcosADC,解得AC=25,ABC的周长=AB+AC+BC=(3+5)+25+25=8+45,故C正确;因为AB=8为最大边,所以cosC=BC2+AC2-AB22BCAC=-350,即C为钝角,所以ABC为钝角三角形,故D正确.故选BCD.13.BCD解析因为A=30,b=4,a=5,所以由正弦定理得sinB=bsinAa=25,ba,所以角B只有一个解,故A错误;0tanAtanB1,即0sinAsinBcosAcosB0,即cos(A+B)0,所以A+B2.故ABC一定是钝角三角形,故B正确;因为cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,所以cos(A-B)=c
7、os(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C=60,故C正确;因为a-b=ccosB-ccosA,所以sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA,所以sinA-sinCcosB=sinB-sinCcosA.又因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinBcosC=sinAcosC,所以sinA=sinB或cosC=0,所以A=B或C=2,所以ABC是等腰或直角三角形,故D正确.故选BCD.14.-14解析由题意得BD=2AB=6,BC=AC2+AB2=2.D,E,F重合于一点P
8、,AE=AD=3,BF=BD=6,在ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2ACAEcosCAE=12+(3)2-213cos30=1,CE=CF=1.在BCF中,由余弦定理,得cosFCB=BC2+CF2-BF22BCCF=22+12-(6)2221=-14.15.150解析在ABC中,BAC=45,ABC=90,BC=100m,AC=100sin45=1002(m).在AMC中,MAC=75,MCA=60,AMC=45,AMsinACM=ACsinAMC,即AMsin60=1002sin45,解得AM=1003(m).在RtAMN中,MN=AMsinMAN=1003sin60=150(m).16.52+4解析作OMCG交CG于点M,APOH交OH于点P,AQCG交CG于点Q,图略.设OM=3x,则DM=5x,OP=MQ=7-5x,AP=7-2-3x=5-3x,tanAOP=APOP=5-3x7-5x.又AOP=HAP,tanHAP=QGAQ=12-77-2=1=tanAOP,5-3x7-5x=1,解得x=1.AOP=4,AP=2,OA=22,S阴=S扇AOB+SAOH-1212=12-4(22)2+122222-12=3+4-2=52+4.
