1、第七章推理与证明第3课时数学归纳法(对应学生用书(理)9798页)考情分析考点新知理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1. 若f(n)1(nN)，则n1时，f(n)_.答案：1解析：当n1时，f(1)1.2. (选修22P88练习题3改编)用数学归纳法证明不等式“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取为_答案：5解析：当n4时，2nn21；当n5时，253252126，所以n0应取为5.3. 设f(n)1(nN*)，则f(k1)f(k)_.答案：解析：f(k1)f(k)1.4. 用
2、数学归纳法证明“当n为正偶数时xnyn能被xy整除”第一步应验证n_时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成_答案：2当n2k(kN*)时结论成立，x2ky2k能被xy整除解析：因为n为正偶数，故取第一个值n2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n2k，故假设当n2k(kN*)时结论成立，x2ky2k能被xy整除5. 已知a1，an1，则a2，a3，a4，a5的值分别为_，由此猜想an_答案：、解析：a2，同理a3，a4，a5，猜想an.1. 由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法2. 对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第1个值
3、n0时，命题成立；然后假设当nk(kN，kn0)时命题成立；证明当nk1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：(1) 归纳奠基：证明凡取第一个自然数n0时命题成立；(2) 归纳递推：假设nk(kN，kn0)时命题成立，证明当nk1时，命题成立；(3) 由(1)(2)得出结论备课札记题型1证明等式例1用数学归纳法证明：1(nN)证明： 当n1时，等式左边1右边，等式成立 假设当nk(kN)时，等式成立，即1，那么，当nk1时，有1，上式表明当nk1时，等式也成立由知，等式对任何nN均成立当n1，nN*时，(1) 求证：C2Cx3Cx2
4、(n1)Cxn2nCxn1n(1x)n1；(2) 求和：12C22C32C(n1)2Cn2C.(1) 证明：设f(x)(1x)nCCxCx2Cxn1Cxn，式两边求导得n(1x)n1C2Cx3Cx2(n1)Cxn2nCxn1.式等于式，故等式成立(2) 解：两边同乘x得nx(1x)n1Cx2Cx23Cx3(n1)Cxn1nCxn.式两边求导得n(1x)n1n(n1)x(1x)n2C22Cx32Cx2(n1)2Cxn2n2Cxn1.在中令x1，则12C22C32C(n1)2Cn2Cn2n1n(n1)2n22n2(2nn2n)2n2n(n1)题型2证明不等式例2(选修2-2P91习题6改编)设nN
5、*，f(n)1，试比较f(n)与的大小解：当n1，2时f(n).下面用数学归纳法证明： 当n3时，显然成立； 假设当nk(k3，kN)时，即f(k)，那么，当nk1时，f(k1)，即nk1时，不等式也成立由知，对任何n3，nN不等式成立用数学归纳法证明an1(a1)2n1能被a2a1整除(nN*)证明： 当n1时，a2(a1)a2a1可被a2a1整除 假设nk(kN*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由假设可知aak1(
6、a1)2k1能被a2a1整除，(a2a1)(a1)2k1也能被a2a1整除， ak2(a1)2k1能被a2a1整除，即nk1时命题也成立， 对任意nN*原命题成立题型3证明整除例3用数学归纳法证明：f(n)(2n7)3n9(nN*)能被36整除证明： 当n1时，f(1)(217)3936，能被36整除 假设nk时，f(k)能被36整除，则当nk1时，f(k1)2(k1)73k193(2k7)3k918(3k11)，由归纳假设3(2k7)3k9能被36整除，而3k11是偶数，所以18(3k11)能被36整除所以nk1时，f(n)能被36整除由知，对任何nN，f(n)能被36整除已知数列bn是等差
7、数列，b11，b1b2b10145.(1) 求数列bn的通项公式bn；(2) 设数列an的通项anloga(其中a0且a1)记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与logabn1的大小，并证明你的结论. 解：(1) 设数列bn的公差为d，由题意得 bn3n2.(2) 由bn3n2，知Snloga(11)logalogaloga而logabn1loga，于是，比较Sn与logabn1的大小比较(11)与的大小 .取n1，有11，取n2，有(11).推测 (11)，(*) 当n1时，已验证(*)式成立； 假设nk(k1)时(*)式成立，即(11)，则当nk1时，(11). ()30， (3k2)，
8、从而(11)，即当nk1时，(*)式成立由知(*)式对任意正整数n都成立于是，当a1时，Snlogabn1，当 0a1时，Snlogabn1.题型4归纳、猜想与证明例4已知数列an满足a11，且4an1anan12an9(nN)(1) 求a2，a3，a4的值；(2) 由(1) 猜想an的通项公式，并给出证明解：(1) 由4an1anan12an9，得an12，求得a2，a3，a4.(2) 猜想an.证明：当n1时，猜想成立设当nk时(kN*)时，猜想成立，即ak，则当nk1时，有ak122，所以当nk1时猜想也成立综合，猜想对任何nN*都成立已知f(n)1(nN)，g(n)2(1)(nN)(1
9、) 当n1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)；(2) 由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论解：(1) 当n1时，f(1)g(1)；当n2时，f(2)g(2)；当n3时，f(3)g(3)(2) 猜想：f(n)g(n)(nN*)，即12(1)(nN*)下面用数学归纳法证明：当n1时，f(1)1，g(1)2(1)，f(1)g(1)假设当nk时，猜想成立，即12(1)则当nk1时，f(k1)12(1)22，而g(k1)2(1)22，下面转化为证明：22.只要证：2(k1)12k32，需证：(2k3)24(k2)(k1)，即证：4k212k94k212k8，
10、此式显然成立所以，当nk1时猜想也成立综上可知：对nN*，猜想都成立，即12(1)(nN*)成立1. 用数学归纳法证明11且nN*，在验证n2时，式子的左边等于_答案：1解析：当n2时，式子的左边等于11.2. 用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN*)”时，第一步验证的表达式为_答案：2111212(或224或44也算对)解析：当n1时，2111212.3. 用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是_答案：假设n2k1(kN*)时正确，再推n2k1(kN*)正确解析：因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题先假设n2k1(kN
11、*)正确，再推第k1个正奇数，即n2k1(kN*)正确4. (2013广东理)设数列an的前n项和为Sn.已知a11，an1n2n，nN*.(1) 求a2的值；(2) 求数列an的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n，有.(1) 解： an1n2n，nN*. 当n1时，2a12S1a21a22.又a11， a24.(2) 解： an1n2n，nN*. 2Snnan1n3n2nnan1， 当n2时，2Sn1(n1)an， 由，得 2Sn2Sn1nan1(n1)ann(n1) 2an2Sn2Sn1， 2annan1(n1)ann(n1)， 1. 数列是以首项为1，公差为1的等差数列. 11(n1
12、)n，ann2(n2)，当n1时，上式显然成立 ann2，nN* .(3) 证明：由(2)知，ann2，nN* ， 当n1时，1， 原不等式成立. 当n2时， 1(n1)(n1)， ， 1 1() 1()1， 当n3时，原不等式亦成立. 综上，对一切正整数n，有1不等式均成立，原命题得证3. 设函数f(x)xxlnx，数列an满足0a11，an1f(an)求证：(1) 函数f(x)在区间(0，1)是增函数；(2) anan11.证明：(1) f(x)xxlnx，f(x)lnx，当x(0，1)时，f(x)lnx0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数(2) (用数学归纳法)当n1时，0a11
13、，a1ln a10，a2f(a1)a1a1lna1a1.由函数f(x)在区间(0，1)是增函数，且f(1)1，得f(x)在区间(0，1)是增函数，a2f(a1)a1a1lna1f(1)1，即a1a21成立假设当nk(kN*)时，akak11成立，即0a1akak11，那么当nk1时，由f(x)在区间(0，1上是增函数，得0a1akak11，得f(ak)f(ak1)f(1)，而an1f(an)，则ak1f(ak)，ak2f(ak1)，即ak1ak21，也就是说当nk1时，anan11也成立由可得对任意的正整数n，anan11恒成立4. (2013江苏改编)设数列an：1，2，2，3，3，3，4，
14、4，4，4，(1)k1k，(1)，即当n(kN*)时，an(1)k1k，记Sna1a2an(nN*)，用数学归纳法证明Si(2i1)i(2i1)(iN*)证明：当i1时，Si(2i1)S31(21)3，故原式成立假设当im时，等式成立，即Sm(2m1)m(2m1)则当im1时， S(m1)2(m1)1S(m1)(2m3)Sm(2m1)(2m1)2(2m2)2m(2m1)(2m1)2(2m2)2 (2m25m3)(m1)(2m3)，故原式成立综合得：Si(2i1)i(2i1)1. 数学归纳法是专门证明与整数有关命题的一种方法，他分两步，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两步缺一不可2. 运用数学归纳法时易犯的错误对项数估算的错误，特别是寻找nk与nk1的关系时，项数发生什么变化被弄错；没有利用归纳假设；关键步骤含糊不清，“假设nk时结论成立，利用此假设证明nk1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性和规范性备课札记
