1、数学理工类评讲理数 第 页共页数学理工类一 选 择 题 本 题 共 小 题 每 小 题 分 共 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 已 知 集 合 则 命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 函 数 的 值 域 集 合 的 交 集 运 算 等 基 础 知 识 考 查 运 算 求 解 能 力 答 案 因 为 集 合 所 以 数学理工类评讲理数 第 页共页已 知 复 数 则 命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 复 数 的 概 念 复 数 的 模 复 数 的 除 法 和 加 法 运 算 等 基 础 知 识 考 查 运 算 求
2、 解 能 力 答 案 由 复 数 所 以 槡数学理工类评讲理数 第 页共页已 知 槡 则 槡 命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 两 角 和 的 正 弦 公 式 诱 导 公 式 三 角 函 数 求 值 等 基 础 知 识 考 查 运 算 求 解 能 力 答 案 槡槡槡 另 解 由 槡 得 槡 槡 所 以 则 数学理工类评讲理数 第 页共页 的 展 开 式 中 含 项 的 系 数 为命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 二 项 式 定 理 多 项 式 乘 法 展 开 式 中 项 的 系 数 等 问 题 考 查 运 算 求 解 能 力 应 用 意 识 答 案 由 的 展 开 式 中
3、含 项 为 含 的 项 为 所 以 的 展 开 式 中 含 项 是 其 系 数 为 数学理工类评讲理数 第 页共页如 图 长 方 体 中 点 分 别 是 棱 上 的 动 点 异 于 所 在 棱 的 端 点 给 出 以 下 结论 在 运 动 的 过 程 中 直 线 能 与 平 行 直 线 与 必 然 异 面 设 直 线 分 别 与 平面 相 交 于 点 则 点 可 能 在 直 线 上 其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 直 线 与 平 面 位 置 关 系 的 判 定 与 性 质 平 面 的 基 本 事 实 等 基 础 知 识 考 查 直 观
4、想 象 逻 辑 推 理 等 能 力 考查 化 归 与 转 化 特 殊 到 一 般 等 思 想 方 法 答 案 假 设 分 别 为 所 在 棱 的 中 点 即 可 判 断 正 确 错 误 数学理工类评讲理数 第 页共页设 等 差 数 列 的 前 项 和 为 且 则 取 最 小 值 时 的 值 为或 命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 等 差 数 列 的 概 念 及 性 质 通 项 公 式 前 项 和 公 式 等 基 础 知 识 考 查 运 算 求 解 能 力 方 程 思 想 和 函 数 思想 应 用 意 识 答 案 由 题 意 可 得 则 因 为 即 故 所 以 即 法 一 令 则 且
5、时 所 以 取 最 小 值 时 的 值 为 或 法 二 所 以 当 或 时 取 得 最小 值 数学理工类评讲理数 第 页共页已 知 直 线 与 相 交 于 点 过 的 直 线 与 圆 相 交 于 点 且 则 满足 条 件 的 直 线 的 条 数 为命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 两 条 直 线 的 交 点 圆 的 标 准 方 程 等 基 础 知 识 考 查 推 理 论 证 运 算 求 解 等 能 力 考 查 数 形 结 合 化 归 与 转化 等 思 想 方 法 答 案 解 方 程 组得 因 为 圆 的 半 径 为 所 以 当 且 仅 当 槡 时 等 价 于 到 直线 的 距 离 为
6、 又 圆 心 为 故 这 样 的 直 线 有 并 且 只 有 一 条 即 数学理工类评讲理数 第 页共页函 数 的 图 象 大 致 为 命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 函 数 图 象 和 性 质 导 数 等 基 本 知 识 考 查 数 形 结 合 思 想 答 案 由 题 则 为 偶 函 数 排 除 又 排 除 当 时 排 除 故 选 数学理工类评讲理数 第 页共页已 知 抛 物 线 以 坐 标 原 点 为 顶 点 以 为 焦 点 过 的 直 线 与 抛 物 线 交 于 两 点 直 线 上 的 点 满 足则 槡 槡 命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 直 线 的 斜 率 直
7、线 与 直 线 的 位 置 关 系 直 线 与 抛 物 线 的 位 置 关 系 等 基 础 知 识 考 查 运 算 求 解 推 理 论 证等 能 力 考 查 数 形 结 合 化 归 与 转 化 等 思 想 方 法 答 案 由 已 知 直 线 的 斜 率 为 则 的 斜 率 为 因 为 点 在 直 线 上 由解 得 所 以 直 线 的 方 程 为 抛 物 线 的 方 程 为 由 此 可 得 的 坐 标 分 别 为 槡 槡 槡 槡 所 以 槡 故 槡 槡槡 数学理工类评讲理数 第 页共页年 第 届 冬 季 奥 林 匹 克 运 动 会 即 年 北 京 冬 季 奥 运 会 的 成 功 举 办 展 现
8、了 中 国 作 为 一 个 大 国 的 实 力 和 担 当 一 起 向未 来 更 体 现 了 中 国 推 动 构 建 人 类 命 运 共 同 体 的 价 值 追 求 在 北 京 冬 季 奥 运 会 的 某 个 比 赛 日 某 人 欲 在 冰 壶 冰 球 花 样滑 冰 跳 台 滑 雪 自 由 式 滑 雪 雪 车 这 个 项 目 随 机 选 择 个 比 赛 项 目 现 场 观 赛 注 比 赛 项 目 后 括 号 内 为 表示 当 天 不 决 出 奖 牌 的 比 赛 表 示 当 天 会 决 出 奖 牌 的 比 赛 则 所 选 择 的 个 观 赛 项 目 中 当 天 会 决 出 奖 牌 的 项 目 数
9、 的 均 值 为命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 概 率 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 等 基 础 知 识 考 查 抽 象 概 括 运 算 求 解 等 数 学 能 力 考 查 概 率 统 计 等 数学 思 想 答 案 记 随 机 选 择 的 个 比 赛 项 目 中 会 决 出 奖 牌 的 项 目 数 为 则 的 可 能 值 为 且 则 的 均 值 数学理工类评讲理数 第 页共页已 知 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 为 直 线 槡 的 右 顶 点 坐 标 为 若 点 是 双 曲 线 右 支 上 的 动 点 点 的 坐 标为 则 的 最 小 值 为槡槡槡槡命 题 意
10、图 本 小 题 主 要 考 查 双 曲 线 的 定 义 双 曲 线 的 几 何 性 质 等 基 础 知 识 考 查 推 理 论 证 运 算 求 解 等 能 力 考 查 数 形 结 合 化 归与 转 化 函 数 与 方 程 等 思 想 方 法 答 案 由 已 知 双 曲 线 的 方 程 为 焦 点 为 离 心 率 为 所 以 槡 槡 槡 整 理 有 又 因为 槡槡 所 以 的 最 小 值 为 槡数学理工类评讲理数 第 页共页设 则 的 大 小 关 系 正 确 的 是命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 函 数 导 数 以 及 不 等 式 等 知 识 的 综 合 应 用 考 查 抽 象 概
11、括 能 力 运 算 求 解 能 力 和 创 新 能 力 考 查 化 归 与转 化 等 数 学 思 想 答 案 由 题 易 证 时 则 又 令 则 知 时 单 调 递 增 则 时 即所 以 则 即 综 上 的 大 小 关 系 为 数学理工类评讲理数 第 页共页二 填 空 题 本 题 共 小 题 每 小 题 分 共 分 如 图 在 中 两 直 角 边 点 分 别 为 斜 边 的 三 等 分 点 则 命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 平 面 向 量 的 数 量 积 向 量 的 坐 标 运 算 等 基 础 知 识 考 查 运 算 求 解 能 力 应 用 意 识 答 案 以 为 坐 标 原 点
12、 所 在 直 线 分 别 为 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 由 题 意 得 即所 以 数学理工类评讲理数 第 页共页函 数 的 图 象 向 右 平 移 后 所 得 函 数 图 象 关 于 轴 对 称 则 命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 正 弦 型 函 数 的 性 质 图 象 平 移 奇 偶 性 等 基 础 知 识 考 查 推 理 论 证 能 力 应 用 意 识 解 析 答 案 由 的 图 象 向 右 平 移 后 所 得 函 数 为 因 其 图 象关 于 轴 对 称 即 函 数 为 偶 函 数 所 以 因 为 故 此 时 数学理工类评讲理数 第 页共页造 纸 术 是 我 国
13、 古 代 四 大 发 明 之 一 现 在 我 国 纸 张 的 规 格 采 用 国 际 标 准 常 用 的 复 印 纸 是 幅 面 采 用 系 列 的 规 格 的 一 种 其 中 系 列 的 幅 面 规 格 为 规 格 的 纸 张 的 幅 宽 用 表 示 和 长 度 用 表 示 的 比 例 关 系 是 槡 将 纸 张 沿 长 度 方 向 对 开 成 两 等 分 便 成 为 规 格 将 纸 张 沿 长 度 方 向 对 开 成 两 等 分 便 成 规 格 如 此 继 续 对开 得 到 一 张 纸 的 面 积 为 则 一 张 纸 的 面 积 为 命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 等 比 数
14、列 的 通 项 公 式 等 基 础 知 识 考 查 阅 读 理 解 能 力 运 算 求 解 能 力 应 用 意 识 答 案 设 纸 的 面 积 为 根 据 题 意 纸 张 面 积 是 以 为 首 项 公 比 为 的 等 比 数 列 则 纸 的 面 积 为 解 得 数学理工类评讲理数 第 页共页已 知 都 在 同 一 个 球 面 上 平 面 平 面 是 边 长 为 的 正 方 形 当 四 棱 锥 的 体 积 最 大 时 该 球 的 半 径 为 命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 面 面 垂 直 的 性 质 棱 锥 体 积 的 计 算 和 球 面 的 性 质 等 基 础 知 识 考 查 直
15、 观 想 象 推 理 论 证 运 算 求 解 创新 等 能 力 考 查 数 形 结 合 化 归 与 转 化 等 思 想 方 法 答 案 槡 四 棱 锥 的 体 积 为 由 于 底 面 是 边 长 为 的 正 方 形 其 面 积 是 一 个 定 值 四棱 锥 的 体 积 最 大 等 价 于 取 得 最 大 值 由 已 知 为 一 个 圆 的 内 接 三 角 形 且 所 以 当 且 仅 当 为正 三 角 形 时 该 四 棱 锥 的 体 积 最 大 此 时 槡 设 正 方 形 的 中 心 为 正 三 角 形 的 中 心 为 由 题 意 球 心 为 过 且 垂 直 于 平 面 的 直 线 与 过 且
16、垂 直 于 平 面 的 直 线 的 交 点 易 知 槡 槡 所 以 球 半 径 等 于槡 槡 数学理工类评讲理数 第 页共页三 解 答 题 共 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 第 题 为 必 考 题 每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 第 题为 选 考 题 考 生 依 据 要 求 作 答 一 必 考 题 共 分 分 某 县 为 了 解 乡 村 经 济 发 展 情 况 对 全 县 乡 村 经 济 发 展 情 况 进 行 调 研 现 对 年以 来 的 乡 村 经 济 收 入 单 位 亿 元 进 行 了 统 计 分 析 制 成 如 图 所 示 的
17、散 点 图 其 中年 份 代 码 的 值 分 别 对 应 年 至 年 若 用 模 型 槡 拟 合 与 的 关 系 其 相 关 系 数 分 别 为试 判 断 哪 个 模 型 的 拟 合 效 果 更 好 根 据 中 拟 合 效 果 更 好 的 模 型 求 关 于 的 回 归 方 程 系 数 精 确 到 并估 计 该 县 年 的 乡 村 经 济 收 入 结 果 精 确 到 参 考 数 据 槡 槡 槡 槡 参 考 公 式 对 于 一 组 数 据 回 归 方 程 中 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 数学理工类评讲理数 第 页共页命 题 意 图 本 小 题 主 要
18、考 查 回 归 方 程 相 关 系 数 等 基 本 知 识 考 查 统 计 基 本 思 想 以 及 抽 象 概 括 数 据 处 理 等 能 力 和 应 用 意 识 解 析 因 为 相 关 系 数 所 以 模 型 槡 的 拟 合 效 果 最 好 分 令 槡知 与 可 用 线 性 方 程 拟 合 则 分 分 所 以 关 于 的 线 性 回 归 方 程 为 故 关 于 的 回 归 方 程 为 槡分 年 即 时 槡 亿 元 此 时 该 县 年 乡 村 经 济 收 入 的 估 计 值 为 亿 元 分 数学理工类评讲理数 第 页共页分 已 知 向 量 槡 设 函 数 求 函 数 的 单 调 递 增 区 间
19、 设 的 内 角 所 对 的 边 分 别 为 且 求 的 取 值 范 围 从 下 面 三 个 条 件 中 任 选 一 个 补 充 在 上 面 的 问 题 中 并 作 答 槡成 等 比 数 列 注 如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答 按 第 一 个 解 答 计 分 数学理工类评讲理数 第 页共页命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 平 面 向 量 的 数 量 积 三 角 函 数 的 单 调 性 正 弦 定 理 余 弦 定 理 三 角 形 内 角 和 函 数 值 域 等 基 础 知 识 考查 运 算 求 解 能 力 推 理 论 证 能 力 应 用 意 识 解 析 槡 槡 分 槡
20、分 由 解 得 所 以 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 分 数学理工类评讲理数 第 页共页选 择 由槡及 正 弦 定 理 有槡即槡分 所 以 槡 因 为 所 以 分 所 以 则 所 以 则 分 所 以 即 的 取 值 范 围 为 分 选 择 由 即 正 弦 定 理 有所 以 分 所 以 数学理工类评讲理数 第 页共页因 为 所 以 分 所 以 则 所 以 则 分 所 以 即 的 取 值 范 围 为 分 选 择 由 成 等 比 数 列 则 分 由 余 弦 定 理 得 分 当 且 仅 当 时 等 号 成 立 所 以 所 以 则 分 所 以 即 的 取 值 范 围 为 分 数学理工类评讲理数
21、 第 页共页分 如 图 已 知 是 边 长 为 的 等 边 三 角 形 点 分 别 在 上 是 线 段 的 中 点 将 沿 直 线 进 行 翻 折 翻 折 到 点 使 得 二 面 角 是 直 二 面 角 如 图 若 平 面 求 的 长 求 二 面 角 的 余 弦 值 数学理工类评讲理数 第 页共页命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 直 线 与 平 面 垂 直 的 性 质 与 判 定 平 面 与 平 面 垂 直 的 性 质 与 判 定 平 面 与 平 面 所 成 的 角 等 基 础 知 识 考查 直 观 想 象 推 理 论 证 运 算 求 解 能 力 考 查 化 归 与 转 化 数 形
22、结 合 等 思 想 方 法 解 析 设 的 中 点 为 由 已 知 因 为 二 面 角 是 直 二 面 角 所 以 平 面 平 面 所 以 平 面 则 于 是 可 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 分 设 则 可 以 得 到 槡 槡槡 槡槡所 以槡 槡 槡 槡槡 分 数学理工类评讲理数 第 页共页因 为 平 面 所 以 分 于 是 槡 槡所 以 或 舍 所 以 的 长 为 分 另 解 由 平 面 则 即 折 叠 前 如 图 设 垂 足 为 分 易 知 过 点 作 垂 足 为 则 所 以 分 因 为 所 以 因 为 所 以 而 是 线 段 的 中 点 所 以 分 数学理工类评讲
23、理数 第 页共页设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 则即 槡 槡槡令 有 槡分 显 然 平 面 的 一 个 法 向 量 为 分 所 以 槡槡 分 由 题 意 可 知 二 面 角 的 余 弦 值 为 槡 分 数学理工类评讲理数 第 页共页分 已 知 椭 圆 的 离 心 率 为 槡 点槡在 椭 圆 上 求 椭 圆 的 方 程 设 是 椭 圆 上 第 一 象 限 内 的 点 直 线 过 且 与 椭 圆 有 且 仅 有 一 个 公 共 点 求 直 线 的 方 程 用 表 示 设 为 坐 标 原 点 直 线 分 别 与 轴 轴 相 交 于 点 试 探 究 的 面 积 是 否 存 在 最 小 值 若
24、存 在 求 出 最 小 值 及 相应 的 点 的 坐 标 若 不 存 在 请 说 明 理 由 数学理工类评讲理数 第 页共页命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 直 线 的 方 程 椭 圆 标 准 方 程 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系 基 本 不 等 式 等 基 础 知 识 考 查 推 理 论 证 运 算 求解 能 力 及 创 新 能 力 考 查 化 归 与 转 化 数 形 结 合 函 数 与 方 程 等 思 想 方 法 解 析 依 题 意 有 槡 即 槡 分 将槡代 入 椭 圆 的 方 程 得 分 因 为 由 上 可 得 槡 分 所 以 椭 圆 的 方 程 为 分 由 题 知
25、 切 线 斜 率 存 在 设 直 线 联 立消 去 得 由 即 此 时 则 则 直 线 的 方 程 为 即 分 数学理工类评讲理数 第 页共页另 解 因 为 椭 圆 的 方 程 为 所 以 椭 圆 在 第 一 象 限 内 的 一 段 对 应 的 函 数 解 析 式 为 槡 槡由 题 意 直 线 为 曲 线 槡 槡在 点 处 的 切 线 易 知 直 线 的 斜 率 为 槡 分 则 直 线 的 方 程 为 即 分 令 有 令 有 分 又 由 上 可 得 槡槡 分 所 以 的 面 积 存 在 最 小 值 槡最 小 值 当 且 仅 当 时 取 得 此 时 点 的 坐 标 为槡 分 数学理工类评讲理数
26、第 页共页分 已 知 函 数 当 时 求 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程 若 为 整 数 当 时 求 的 最 小 值 命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 函 数 极 值 导 数 的 几 何 意 义 导 数 综 合 应 用 等 基 础 知 识 考 查 化 归 与 转 化 等 数 学 思 想 考 查 推 理 论 证 能力 运 算 求 解 能 力 以 及 创 新 能 力 解 析 当 时 则 分 又 则 在 点 处 的 切 线 斜 率 分 所 以 切 线 方 程 为 分 解 法 由 题 知 其 中 设 则 可 知 在 区 间上 为 增 函 数 且 则 时 为 减 函 数 时 为 增 函
27、 数 所 以 时 函 数 的 最 小 值 分 数学理工类评讲理数 第 页共页当 即 时 即 为 增 函 数 则 函 数 的 最 小 值 槡 由 于 为 整 数 所 以 时 恒 成 立 分 当 时 则 的 最 小 值 又 当 时 由 于 为 的 增 函 数 则 存 在 使 得 即 若 即 为 减 函 数 若 即 为 增 函 数 则 极 小 值 其 中 令 则 可 知 时 在 时 单 调 递 减 则 即 极 小 值 分 数学理工类评讲理数 第 页共页当 时 由 于 为 减 函 数 且 槡则 存 在 使 得 则 时 即 为 增 函 数 则 时 即 为 减 函 数 则 为 的 极 大 值 点 且 又
28、槡 所 以 时 则 也 符 合 题 意 分 当 时 由 于 为 的 增 函 数 则 存 在 实 数 且 使 得 即 故 为 减 函 数 则 当 时 故 不 符 合 题 意 舍 去 综 上 所 述 整 数 的 最 小 值 为 分 数学理工类评讲理数 第 页共页解 法 由 于 时 恒 成 立 由 所 以 或 由 得 槡 且 槡 分 当 时 则 令 则 为 区 间 上 的 增 函 数 则 的 最 小 值 则 存 在 实 数 使 得 使 得 即 故 为 上 的 减 函 数 所 以 故 不 符 合 题 意 舍 去 分 当 时 则 的 最 小 值 又 当 时 由 于 为 的 增 函 数 则 存 在 使 得
29、 即 当 时 即 为 减 函 数 当 时 即 为 增 函 数 数学理工类评讲理数 第 页共页则 极 小 值 其 中 令 则 当 时 在 时 单 调 递 减 则 即 极 小 值 分 当 时 为 减 函 数 槡则 存 在 使 得 则 时 即 为 增 函 数 则 时 即 为 减 函 数 则 为 的 极 大 值 点 且 又 槡 所 以 时 则 符 合 题 意 综 上 所 述 整 数 的 最 小 值 为 分 数学理工类评讲理数 第 页共页二 选 考 题 共 分 请 考 生 在 第 题 中 任 选 一 题 作 答 如 果 多 做 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 选 修 坐 标 系 与 参 数 方
30、程 分 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 已 知 直 线 的 参 数 方 程 为为 参 数 曲 线 的 方 程 为 以 坐 标 原 点 为 极点 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 求 直 线 及 曲 线 的 极 坐 标 方 程 设 直 线 与 曲 线 相 交 于 两 点 满 足槡 求 直 线 的 斜 率 数学理工类评讲理数 第 页共页命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 直 线 与 圆 的 极 坐 标 方 程 参 数 方 程 直 角 坐 标 方 程 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 等 基 础 知 识 考 查 推 理 论 证 运 算 求 解 能 力 考 查 化
31、归 与 转 化 数 形 结 合 方 程 等 思 想 方 法 解 析 由 直 线 的 参 数 方 程为 参 数 可 知直 线 的 极 坐 标 方 程 为 分 由 分 代 入 中 可 得 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 分 说 明 写 直 线 的 极 坐 标 方 程 时 不 必 要 求 说 明 可 以 取 负 或 加 上 数学理工类评讲理数 第 页共页联 立 直 线 和 曲 线 的 极 坐 标 方 程整 理 得 上 述 关 于 的 一 元 二 次 方 程 有 两 个 实 根 于 是 分 由 题 意 可 设 因 为槡 则 即 又 则 有 所 以 所 以 所 以 故 直 线 的 斜 率 为 槡或槡
32、 分 数学理工类评讲理数 第 页共页选 修 不 等 式 选 讲 分 已 知 函 数 若 存 在 使 得 求 实 数 的 取 值 范 围 令 的 最 小 值 为 若 正 实 数 满 足 求 证 命 题 意 图 本 小 题 主 要 考 查 绝 对 值 的 函 数 的 最 值 不 等 式 证 明 等 知 识 考 查 运 算 求 解 能 力 推 理 论 证 能 力 化 归 与 转 化 思 想 解 析 当 时 当 时 当 时 则 的 最 小 值 为 分 由 于 存 在 使 得 则 只 需 的 最 小 值 不 大 于 即 可 分 即 有 解 得 故 的 取 值 范 围 是 分 数学理工类评讲理数 第 页共页由 可 知 的 最 小 值 为 则 则 分 分 槡 槡 槡当 且 仅 当 且 取 即 取 所 以 分
