1、-1-2 复数的四则运算-2-2 复数的四则运算 学习目标导航 JICHUZHISHI基础知识 ZHONGDIANNANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 1.理解并掌握复数代数形式的加、减运算.2.掌握复数代数形式的乘、除运算法则,理解互为共轭复数的概念.-3-2 复数的四则运算 JICHUZHISHI基础知识 ZHONGDIANNANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 学习目标导航 1.复数的加法与减法设 a+bi 和 c+di 是任意两个复数,我们定义复数加法、减法如下:(a+bi
2、)(c+di)=(ac)+(bd)i.也就是说,两个复数的和(或差)仍然是一个复数.它的实部是原来两个复数的实部的和(或差),它的虚部是原来两个复数的虚部的和(或差).【做一做 1】设 a,bR,(5+bi)+(b-3i)-(2+ai)=0,那么复数 a+bi 的模为()A.0B.6C.3 5D.2 3解析:a,bR,且(5+bi)+(b-3i)-(2+ai)=(5+b-2)+(b-3-a)i=0,5+-2=0,-3-=0.a=-6,b=-3.|a+bi|=(-6)2+(-3)2=3 5.答案:C-4-2 复数的四则运算 JICHUZHISHI基础知识 ZHONGDIANNANDIAN重点难点
3、 SUITANG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 学习目标导航 2.复数的乘法设 a+bi 与 c+di 分别是任意两个复数,我们定义复数的乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.也就是说,两个复数的积仍然是一个复数.复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但在运算过程中,用 i2=-1 进行化简,然后把实部与虚部分别合并.【做一做 2】复数(2+i)i 的虚部为 .答案:2-5-2 复数的四则运算 JICHUZHISHI基础知识 ZHONGDIANNANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 学习目
4、标导航 2.复数的有关概念(1)复数相等.两个复数 a+bi 与 c+di 相等,当且仅当它们的实部与虚部分别相等,记作 a+bi=c+di.即 a+bi=c+di 当且仅当 a=c,且 b=d.(2)实轴、虚轴.当用直角坐标平面内的点来表示复数时,我们称这个直角坐标平面为复平面,x 轴称为实轴,y 轴称为虚轴.(3)几何意义.任一个复数 z=a+bi 与复平面内的点 Z(a,b)是一一对应的.这是复数的一个几何意义.一个复数 z=a+bi 与复平面内的向量 =(a,b)是一一对应的.-6-2 复数的四则运算 JICHUZHISHI基础知识 ZHONGDIANNANDIAN重点难点 SUITA
5、NG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 学习目标导航 3.复数的除法(1)共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这样的两个复数叫作互为共轭复数.复数 z 的共轭复数用来表示,也就是当 z=a+bi时,=a-bi.于是 z=a2+b2=|z|2.(2)除法算法:给出两个复数 a+bi,c+di(c+di0),我们把满足等式(c+di)(x+yi)=a+bi 的复数 x+yi 叫作复数 a+bi 除以 c+di 所得的商,记作(a+bi)(c+di)或者+i+i,+i+i=(+i)(-i)(+i)(-i)=(+)+(-)i2+2.【做一做 3】i 是虚数单位,则2
6、i31-i等于()A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i解析:2i31-i=-2i(1+i)(1-i)(1+i)=-2i(1+i)2=-i-i2=1-i.答案:C-7-2 复数的四则运算 JICHUZHISHI基础知识 ZIHONGDIANNANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 学习目标导航 1 2 1.复数的除法如何进行简便运算?剖析:在实际进行的复数除法运算中,每次都按乘法的逆运算将十分麻烦.我们可以用简便方法操作:先把两个复数相除写成分式形式,然后把分子与分母同乘分母的共轭复数,使分母“实数化”,最后再化简.-8-2 复数的四
7、则运算 JICHUZHISHI基础知识 ZIHONGDIANNANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 学习目标导航 1 2 2.如何在复数范围内求一元二次方程的根?剖析:这里需要分成实系数一元二次方程与复系数一元二次方程两种类型考虑.(1)对于实系数的一元二次方程,我们可以用求根公式直接求出;(2)对于复系数的一元二次方程,通常设出根,代入方程,然后解方程组求得.-9-2 复数的四则运算 JICHUZHISHI基础知识 ZHONGDIANNANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 学习目标
8、导航 题型一 题型二 题型三 题型一复数的加减运算【例 1】设 mR,复数 z1=(3m+2)+(m-2)i,z2=-2+3+2+(m2-4m-2)i,若 z1+z2 为虚数,求 m 的取值范围.分析:先求得 z1+z2,再根据复数为虚数这个条件求出 m 的取值范围.解:z1+z2=(3m+2)+(m-2)i+-2+3+2+(m2-4m-2)i=3+2+-2+3+2 +(m2-3m-4)i=32+6m+7+2+(m2-3m-4)i.因为 z1+z2 为虚数,则 2-3m-4 0,+2 0,解得 m4,且 m-1,且 m-2.所以 m 的取值范围是m|mR,且 m4,且 m-2,且 m-1.-1
9、0-2 复数的四则运算 JICHUZHISHI基础知识 ZHONGDIANNANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 学习目标导航 题型一 题型二 题型三 复数的加、减法运算,就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减,实部与实部相加减作实部,虚部与虚部相加减作虚部.同时,还要弄清复数的有关概念.-11-2 复数的四则运算 JICHUZHISHI基础知识 ZHONGDIANNANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 学习目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二复数的乘除运算【例 2】计算:(1)
10、(5-29 5i)(7-3 5i);(2)2+2i(1-i)2+21+i 2 016.解:(1)原式=5-29 5i7-3 5i=(5-29 5i)(7+3 5i)(7-3 5i)(7+3 5i)=470-188 5i94=5-2 5i.(2)2+2i(1-i)2+21+i 2 016=2+2i-2i+21 008(2i)1 008=i(1+i)+1i1 008=-1+i+1(i4)252=-1+i+1=i.-12-2 复数的四则运算 JICHUZHISHI基础知识 ZHONGDIANNANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 学习目标导航
11、题型一 题型二 题型三(1)在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)(c+di)写成+i+i的形式,再把分子与分母都乘以复数(c-di),并进行化简整理.(2)注意(1i)2=2i 及 i 的指数幂的周期性在解题中的应用.-13-2 复数的四则运算 JICHUZHISHI基础知识 ZHONGDIANNANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 学习目标导航 题型一 题型二 题型三 题型三共轭复数的求法【例 3】设复数 z 满足|z|=5,且(3+4i)z 是纯虚数,求.解:设 z=a+bi(a,bR).|z|=5,2+2=5.又(3+4i)z
12、=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(4a+3b)i 是纯虚数,3-4=0,4+3 0.解得 b=34a.代入,得 a2+34 a 2=25,解得 a=4.-14-2 复数的四则运算 JICHUZHISHI基础知识 ZHONGDIANNANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 学习目标导航 题型一 题型二 题型三 =4,=3 或 =-4,=-3.故 z=4+3i 或 z=-4-3i,=4-3i 或=-4+3i.将复数问题转化为实数问题是解复数题常用的、重要的方法.-15-2 复数的四则运算 JICHUZHISHI基础知识 ZHONGD
13、IANNANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 学习目标导航 1 2 3 4 51(2013湖南高考)复数z=i(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=i+i2=-1+i,对应点为(-1,1),故在第二象限,选 B.答案:B-16-2 复数的四则运算 JICHUZHISHI基础知识 ZHONGDIANNANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 学习目标导航 1 2 3 4 52(2013浙江高考)已知 i 是虚数单位,
14、则(-1+i)(2-i)=()A.-3+iB.-1+3iC.-3+3iD.-1+i解析:(-1+i)(2-i)=-2+i+2i-i2=-1+3i,故选 B.答案:B-17-2 复数的四则运算 JICHUZHISHI基础知识 ZHONGDIANNANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 学习目标导航 1 2 3 4 53i 是虚数单位,1+i1-i 4等于()A.iB.-iC.1D.-1解析:1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=2i2=i,又 i4=1,故选 C.答案:C-18-2 复数的四则运算 JICHUZHISHI基础知识 Z
15、HONGDIANNANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 学习目标导航 1 2 3 4 54 若复数 z 满足 z=i(2-z)(i 是虚数单位),则 z=.解析:设 z=a+bi(a,bR),则 a+bi=i(2-a-bi)=b+(2-a)i,由复数相等,得 =,=2-.于是 a=b=1,即 z=1+i.答案:1+i-19-2 复数的四则运算 JICHUZHISHI基础知识 ZHONGDIANNANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 DIANXINGLITI典型例题 学习目标导航 1 2 3 4 55 已知复数 z 是复数 z1=1+2i 的共轭复数,试计算 zz1.解:由题意得 z=1=1-2i,则 zz1=(1-2i)(1+2i)=1+2i-2i-4i2=1+4=5.
