1、5.5 三角恒等变换5.5.2 简单的三角恒等变换 复习导入 学习了和(差)角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.()=.()()=.()()=.()=，=，=.()()()新知探索&例析 例7.试以 表示2 2，2 2，2 2.(提示：与2有什么关系？)解：是2的二倍角.在倍角公式 2=1 22中，以代替2，以2代替，得：=1 22 2，2 2=1 2.在倍角公式 2=22 1中，以代替2，以2代替，得：=22 2 1，2 2=1+2.将两个等式的左右两边分别相除，得：2 2=1 1+.新知探索&例析 例7的结果还可以表示为
2、：2=1 2，2=1+2，2=1 1+，并称之为半角公式，符号由2所在象限决定.因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式.这是三角恒等变换的一个重要特点.新知探索&例析 例8.求证：(1)=12(+)+()；(2)+=2+2 2.证明：(1)因为(+)=+，()=，将以上两式的左右两边分别相加，得：(+)+()=2 ，即 =12(+)+().思考1：这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？新知探索&例析 例8.求证：(1)=12(+
3、)+()；(2)+=2+2 2.证明(证法一)：(2)由(1)可得(+)+()=2 .设+=，=，那么=+2，=2.把，的值代入，即得 +=2+2 2.思考2：如果不用(1)的结果，如何证明？新知探索&例析 例8.求证：(2)+=2+2 2.证法二：=+2+2，=+22.+=(+2+2)+(+22)=(+2 2+2 2)+(+2 2+2 2)=2+2 2.新知探索&例析 例8.求证：(1)=12(+)+()；积化和差(2)+=2+2 2.和差化积 例8的证明用到了换元的方法.如把+看作，看作，从而把包含，的三角函数式转化成，的三角函数式.或者，把 看作，看作，把等式看作，的方程，则原问题转化为
4、解方程(组)求.它们都体现了化归思想.新知探索&例析 辨析1：判断正误.(1)存在 ，使得2=12 .()(2)对于任意 ，2=12 都不成立.()(3)若是第一象限角，则2=1 1+.()答案：，.新知探索&例析 例9.求下列函数的周期，最大值和最小值：(1)=+3；(2)=3 +4.解：(1)=+3 =2(12 +32 )=2(3+3)=2(+3).因此，所求周期为2，最大值为2，最小值为2.思考3：你能说一说这一步变形的理由吗？辅助角公式：+=2+2(+)(0)，其中 =，所在象限由和的符号确定.新知探索&例析 例9.求下列函数的周期，最大值和最小值：(1)=+3；(2)=3 +4.解：
5、(2)设3 +4 =(+)，则 3 +4 =+.于是 =3，=4，于是22+22=25，所以2=25.取=5，则 =35，=45.由=5(+)可知，所求周期为2，最大值为5，最小值为5.新知探索&例析 例10.如图，已知是半径为1，圆心角为3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.即=，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.解：在中，=，=.在中，=60=3.所以=33 =33 =33 ，=33 .设矩形ABCD的面积为S，则=(33 )=33 2=12 2 36(1 2)新知探索&例析 例10.如图，已知是半径为1，圆心角为3的扇形，C是扇形弧上的动点，A
6、BCD是扇形的内接矩形.即=，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.解：=12 2 36(1 2)=12 2+36 2 36 =13(32 2+12 2)36=13(2+6)36.由0 3，得6 2+6 56，所以当2+6=2，即=6时，=13 36=36.因此，当=6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为36.由例9、例10可以看到，通过三角恒等变换，我们把=+转化为=(+)的形式，这个过程蕴含了化归思想.练习 例1.(1)已知 =817，且 32，求 2，2，2的值；解：=817，且 32，=1517.又2 2 34，2=1 2=1+15172=4 1717；2=1+
7、2=115172=1717；2=22=4.题型一：化简、求值问题 练习 例1.(2)化简：(1 )(2+2)22(0).解：原式=(22 22 2 2)(2+2)222 2=2 2(2 2)(2+2)2|2|=2(2 2 2)|2|=2|2|.0，2 2 0.2 0，原式=2|2|=.练习 例2.(1)求证：1+22 2=2；(2)2 (+1)(+1)=1+.证：(1)左边=1+22 (22 1)=2=右边.(2)左边=2 (2 2 2222)(2 2 2+222)=2 422(2222)=222=2 2=2222 2 2=1+=右边.题型二：三角恒等式的证明 练习 变2.求证：21 2 2=
8、14 2.证:左边=2 2 2 2 2=222 22=2 22=2 2=12 =14 2=右边.练习 方法技巧：三角恒等式证明的5种常用方法 执果索因法 证明的形式一般化繁为简 左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子 拼凑法 针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异为同 比较法 设法证明“左边右边=0”或“左边/右边=1”分析法 从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立 练习 例3.已知函数()=()22 2.(1)求函数()的最小正周期与单调递减区间；解：(1)()=()22 2=1 2 2 1
9、 22=2 2=2(2+4)，函数()的最小正周期为=22=.又函数=的单调减区间为2,+2，；令2 2+4 +2，；解得 8 +38，；()的单调递减区间为 8,+38().题型三：三角恒等变换的综合应用 练习 例3.已知函数()=()22 2.(2)若(0)=1，且0 (,2)，求0的值.解：(2)若(0)=1，则：2(20+4)=1，即(20+4)=22，再由0 (,2)，可得：20+4 (74，34)；20+4=54，解得0=34.练习 变3.已知函数()=2 2 3 2+3.(1)求()的最小正周期和对称中心；解：(1)()=2 2 3 2+3=2 32=2(2 3).()的最小正周
10、期为=22=.由2 3=，可得=2+6.()的对称中心为(2+6,0)().练习 变3.已知函数()=2 2 3 2+3.(2)求()的单调递减区间；(3)当 2,时，求函数()的最大值及取得最大值时的值.解：(2)又函数=的单调减区间为2+2,32+2，；令2+2 2 3 32+2，；解得+512 +1112，；()的单调递减区间为+512,+1112，.(3)当 2,时，2 3 23,53，当2 3=23，即=2时，函数()有最大值，最大值为 3.练习 方法技巧：应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 运用和、差、倍角公式化简 统一化成()=+的形式 利用辅助角公式化为()=(+)+的形式
11、，研究其性质 练习 例4.如图所示，要把半径为的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使的周长最大？解：设=，的周长为，则：=，=.=+=+=(+)+=2(+4)+.0 2，4 +4 34，的最大值为 2+=(2+1)，此时，+4=2，即=4.当=4时，的周长最大.题型四：三角函数的实际应用 练习 变4.如图所示，要把半径为的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使的面积最大？解：设=，由题意可得 0 2，则：=，=.设矩形的面积为，=2 =2 =22=22，0 2，0 2 .因此当2=2，即=4时，=2.当=4时，的面积最大.练习 方法技巧：应用三角函数解决实际问题的方法及注意点 方法 解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解 注意点 充分借助平面几何性质，寻找数量关系注意实际问题中变量的范围重视三角函数有界性的影响 课堂小结&作业 课堂小结：(1)理解记忆倍角公式及其变形；(2)理解并记忆辅助角公式；(3)了解和差化积、积化和差公式的证明.作业：(1)整理本节课的题型；(2)课本P228的练习12题；(3)课本习题5.5P228229的16题.
