1、单元检测十三推理与证明、算法、复数考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共4页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间120分钟，满分150分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若复数(ai)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是()A1 B1C. D2用反证法证明命题：“已知a，b，c，dR，若ab1，cd1，且acbd1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时应假设()Aa，
2、b，c，d中至少有一个正数Ba，b，c，d全为正数Ca，b，c，d全都大于等于0Da，b，c，d中至多有一个负数3执行如图所示的算法框图，若输出的值是13，则判断框内应为()Ak6 Bk6Ck7 Dk74观察下列等式2335,337911,4313151719,532123252729，类比上面各式将m3分拆所得到的等式右边的最后一个数是109，则正整数m等于()A9 B10 C11 D125(2017衡水联考)欧拉在1748年给出了著名公式eicos isin (欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e2.718 28，根据欧拉公式eicos isin ，任何一个复数zr(cos i
3、sin )，都可以表示成zrei的形式，我们把这种形式叫作复数的指数形式，若复数z1，z2，则复数z在复平面内对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限6(2018安徽十校联考)在平面直角坐标系xOy中，满足x2y21，x0，y0的点P(x，y)的集合对应的平面图形的面积为；类似地，在空间直角坐标系Oxyz中，满足x2y2z21，x0，y0，z0的点P(x，y，z)的集合对应的空间几何体的体积为()A. B. C. D.7下列程序语句是求函数y|x4|1的函数值，则处为()Ay3x Byx5Cy5x Dyx38要证：a2b21a2b20，只要证明()A2ab1a2b20Ba2b
4、210C.1a2b20D(a21)(b21)09定义运算a*b为执行如图所示的算法框图输出的S值，则*的值为()A. B.C. D.10(2017福州模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a，b，c，dN)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值我们知道3.141 59，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为()A. B.C. D.11若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为Nn(mod m)，例如104(mo
5、d 6)如图所示的算法框图的算法源于我国古代的“中国剩余定理”执行该算法框图，则输出的n等于()A17 B16 C15 D1312小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率已答对题目数已答题目总数)小明依次共答了10道题，设正确率依次相应为a1，a2，a3，a10.现有三种说法：若a1a2a3a10，则必是第一题答错，其余题均答对；若a1a2a3a10，则必是第一题答对，其余题均答错；有可能a52a10.其中正确的个数是()A1 B0 C3 D2第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13
6、定义：若z2abi(a，bR，i为虚数单位)，则称复数z是复数abi的平方根根据定义，则复数34i的平方根是_14定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和已知数列an是等和数列，且a12，公和为5，那么a18_，这个数列的前n项和Sn的计算公式为_15凸函数的性质定理如下：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，xn，有f.已知函数ysin x在区间(0，)上是凸函数，则在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值为_16如图，n2(n4)个正数排成n行n列方阵，符号aij(1
7、in,1jn，i，jN)表示位于第i行第j列的数，已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q，若a11，a241，a32，则aij_.a11a12a13a1na21a22a23a2nan1an2an3ann三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)(2018乐山调研)已知复数z1sin 2xti，z2m(mcos 2x)i，i为虚数单位，t，m，xR，且z1z2.(1)若t0且0x0)的图像与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且当0x0.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明c.19(12分)等差
8、数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列20.(12分)设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素(a，b)，(c，d)，规定：(adbc，bdac)(1)计算：(2,3)(1,4)；(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；(3)若IA，且对任意A，都有I，求元素I.21(12分)已知定义在R上的函数f(x)ax3bx2cx(abc)在x1处取得极值，且在函数f(x)图像上的一点处的切线的斜率为a.(1)求证：01；(2)若
9、f(x)在区间(s，t)上为增函数，求证：2st1.22(12分)(2018大庆模拟)设a11，an1b(nN)(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；(2)若b1，是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN恒成立？证明你的结论答案精析1B因为复数(ai)2(a21)2ai，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a21,2a)又因为该点在y轴负半轴上，所以有解得a1.2C“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”，故应假设a，b，c，d全都大于等于0.3A依题意，执行题中的算法框图，进行第一次循环时，k1，c2，a1，b2；进行第二次循环时，k2，c3，a
10、2，b3；进行第三次循环时，k3，c5，a3，b5；进行第四次循环时，k4，c8，a5，b8；进行第五次循环时，k5，c13，a8，b13；进行第六次循环时，k6，因此当输出的值是13时，判断框内应为k6.4B由题意可得，第n个等式的左边是m3，右边是m个连续奇数的和，且mn1.设第n个等式的最后一个数为an，则有a2a11156124，a3a219118224，a4a3291910324，anan1(n1)24，以上(n1)个式子相加可得ana12123(n1)4(n1)n23n4，故ann23n1，令n23n1109，解得n9(n12舍去)故m10.5D因为z12ei21i，z2eicos
11、 isin i，所以zi.复数z在复平面内对应的点为Z(，1)，点Z在第四象限，故选D.6B所求的空间几何体是以原点为球心，1为半径的球位于第一卦限的部分，体积为13，故选B.7C由题意知y|x4|1故选C.8D要证a2b21a2b20，即证a2b2a2b210，只要证(a21)(b21)0.9C由题意，得该算法框图的功能是求函数Sa*b的值，因为cos ，则*sin cos sin sin .10A由题意知，第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，第二次用“调日法”后得是的更为精确的不足近似值，即，第三次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，第四次用“调日法”后得是的更为
12、精确的过剩近似值，即10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数为17.12C对于，若第一题答对，则a11，a1a2，与题意不符，所以第一题答错，若剩余的9道题有答错的，不妨设第k(k2)道题答错，则akak1，与题意不符，所以剩余的题均答对，正确；对于，若第一道题答错，则a10，a1a2，与题意不符，所以第一题答对，若剩余的9道题有答对的，不妨设第k(k2)道题答对，则akak1，与题意不符，所以剩余的题均答错，正确；对于，设前5道题答对x道题，后5道题答对y道题，则由a52a10得2，解得y0，即当后5道题均答错时，a52a10，正确综上所述，正确结论的个数为3，故选C.1312i或12i解
13、析设(xyi)234i(x，yR)，则解得或所以其平方根是12i或12i.143Sn解析由等和数列的定义，anan15，且a12，公和为5，易知a2n12，a2n3(nN)，故a183.当n为偶数时，Snn；当n为奇数时，Snn.15.解析f(x)sin x在区间(0，)上是凸函数，且A，B，C(0，)，ff，即sin Asin Bsin C3sin ，sin Asin Bsin C的最大值为.16.解析设第i行公差为di，a21q，a22a21d2qd2，a24a213d23d21，d2，又a32a22qq，q，q(舍负)d2，a22a21d2qd2，又a22a12q，a121，d1，又a3
14、1q2，d3，猜想：di，又ai1qi1，aij(j1).17解(1)因为z1z2，所以所以tsin 2xcos 2x，又t0，所以sin 2xcos 2x0，得tan 2x.因为0x，所以02x2，所以2x或2x，所以x或x.(2)由(1)知，tf(x)sin 2xcos 2x2sin.因为当x时，t，所以2sin，即sin，所以cos，即cos，所以coscos 22cos21221.18证明(1)因为f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，所以f(x)0有两个不等实根x1，x2，因为f(c)0，所以x1c是f(x)0的根，又x1x2，所以x2，所以是f(x)0的另一个根，即是函数f(x)的
15、一个零点(2)假设0，由当0x0，知f0，与f0矛盾，所以c，又因为c，所以c.19(1)解由已知得所以d2，故an2n1(nN)，Snn(n)(nN)(2)证明由(1)得bnn(nN)假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，所以(q2pr)(2qpr)0.因为p，q，rN，所以所以2pr，(pr)20.所以pr，这与pr矛盾，所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列20解(1)(2,3)(1,4)(243(1)，342(1)(5,14)(2)交换律：.证明如下：设(a，b)，(c，d)，则(adbc，bdac)，(
16、c，d)(a，b)(cbda，dbca)(adbc，bdac).(3)设A中的元素I(x，y)，(a，b)，由题意得(x，y)(a，b)(a，b)，即(bxay，byax)(a，b)则即对任意a，bR恒成立，解得当对任意A都有I成立时，I(0,1)21证明(1)由f(x)ax3bx2cx，得f(x)ax2bxc.函数f(x)在x1处取得极值，f(1)abc0.又abc，a0，b，且1.函数f(x)图像上的一点处的切线的斜率为a，方程ax2bxca有实数根，b24a(ac)0，即b24a(b)0，整理得240，解得0或4.综上，可得01.(2)若f(x)在区间(s，t)上为增函数，则f(x)ax
17、2bxc0在区间(s，t)上恒成立a0，b24ac0，故方程f(x)0必有两个不相等的实数根，设这两个实数根为x1，x2，且x1x2.二次函数f(x)ax2bxc的图像的对称轴方程为x，由(1)得0，而f(1)abc0，x21.又f(2)4a2bc4a2bab3(ab)2.若f(x)0在区间(s，t)上恒成立，则有x1stx2，2st1.22解(1)由题意得a22，a31.因为a11，a21，a31.所以猜想an1(nN)下面用数学归纳法证明上式成立当n1时，结论显然成立假设当nk(nN)时结论成立，即ak1，则ak11111，即当nk1时结论也成立综上可知an1(nN)(2)设f(x)1，则an1f(an)令cf(c)，即c1，解得c.下面用数学归纳法证明命题a2na2n11.当n1时，a2f(1)0，a3f(0)1，所以a2a31，结论成立假设当nk(nN)时结论成立，即a2ka2k1f(a2k1)f(1)a2，即1a2k2a2.再由f(x)在(，1上为减函数，得ff(a2k2)f(a2)a31，故a2k31，因此a2(k1)ca2(k1)11，即当nk1时结论也成立综上可知，存在c，使a2nca2n1对所有nN恒成立
