1、1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算学 习 目 标核 心 素 养1了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算(重点)2掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式(难点)1通过弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养2借助角度与弧度的互化、扇形的弧长与面积的计算，培养学生的数学运算核心素养.1角度制与弧度制的定义(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制角度制规定60分等于1度，60秒等于1分(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制2角的弧度数的计算在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为 rad，则.3角度
2、与弧度的互化4一些特殊角与弧度数的对应关系角度0153045607590120135150弧度0角度180210225240270300315330360弧度2思考1：某同学表示与30角终边相同的角的集合时写成S|2k30，kZ，这种表示正确吗？为什么？提示这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，正确的表示方法应为或|k36030，kZ5扇形的弧长与面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，为其圆心角，则为度数为弧度数扇形的弧长llr扇形的面积SSlrr2思考2：在弧度制下的扇形面积公式Slr可类比哪种图形的面积公式加以记忆？提示此公式可类比三角形的面积公式来记忆11 080
3、等于()A1 080BCD6D1 0801806，所以1 080化为弧度是6.2与角终边相同的角是()AB2k(kZ)C2k(kZ)D(2k1)(kZ)C选项A中2，与角终边相同，故A项错；2k，kZ，当k1时，得0,2)之间的角为，故与有相同的终边，B项错；2k，kZ，当k2时，得0,2)之间的角为，与有相同的终边，故C项对；(2k1)，kZ，当k0时，得0,2)之间的角为，故D项错3圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为_6扇形的面积为626.弧度制的概念【例1】下列命题中，假命题是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1的角是周角的，1 rad的角是周角的C1 rad的角比1
4、的角要大D用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关思路探究由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手D根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C项均为真命题弧度制与角度制的区别与联系区别单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；定义不同联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值1下列各说法中，错误的说法是()A半圆所对的圆心角是 radB周角的大小等于2C1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D长度等于
5、半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度答案D角度制与弧度制的转换【例2】设角1570，2750，1，2.(1)将1，2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将1，2用角度制表示出来，并在7200之间找出与它们终边相同的所有角思路探究由题目可获取以下主要信息：(1)用角度制给出的两个角570，750，用弧度制给出的两个角，；(2)终边相同的角的表示解答本题(1)可先将570，750化为弧度角再将其写成2k(kZ,02)的形式，解答(2)可先将1、2用角度制表示，再将其写成k360(kZ)的形式解(1)要确定角所在的象限，只要把表示为2k0(kZ,002)的形式，由0所在象限即可判定出所在
6、的象限15704，27504.1在第二象限，2在第一象限(2)1108，设1k360(kZ)，由7200，得720108k3600，k2或k1，在7200间与1有相同终边的角是612和252.同理2420且在7200间与2有相同终边的角是60.角度制与弧度制的转换中的注意点(1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 rad180是关键.由它可以得：度数弧度数，弧度数度数.(2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记.(3)在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如2k30，kZ是不正确的写法.(4)判断角终边所在的象限时，若2，2，应首先把表示成2k，2，2的形式，然后利
7、用角终边所在的象限来确定角终边所在的象限.2用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合解因为30 rad,210 rad，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为k，kZ，而终边在y轴上的角为k，kZ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.弧长公式与扇形面积公式的应用探究问题1.用公式|求圆心角时，应注意什么问题？提示应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负2在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？提示若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错【例3】(1)设扇形的
8、周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 radB2 radC3 radD4 rad(2)已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？思路探究(1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解(1)B设扇形半径为r，弧长为l，由题意得解得则圆心角2 rad.(2)解：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.则l202r，Slr(202r)rr210r(r5)225(0r10)当半径r5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2.此时2 rad.当它的半径为5 cm，圆心角为2
9、 rad时，扇形面积最大，最大值为25 cm2. (变条件)用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l2r30，l302r，从而Slr(302r)rr215r.当半径r cm时，l30215 cm，扇形面积的最大值是 cm2，这时2 rad.当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，为 cm2.弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l|r，S和S；(这里必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式；(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数
10、求解.(教师用书独具)1释疑弧长公式及扇形的面积公式(1)公式中共四个量分别为，l，r，S，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：lr，r；Sr2，.2角度制与弧度制的比较角度制用度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“”不能省略角的正负与方向有关六十进制弧度制用弧度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“rad”可以省略角的正负与方向有关进制1把5615化为弧度是()A.B.C. D.D561556.25.2在半径为10的圆中，240的圆心角所对弧长为()A. B.C. D.A240240 rad rad，弧长lr10，选A.3将1 485化成2k(02，kZ)的形式为_10由1 4855360315，所以1 485可以表示为10.4一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数解设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为，则2rl4.由扇形的面积公式S lr，得lr1.由得r1，l2，2 rad.扇形的圆心角为2 rad.
