1、2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2抛物线的参数方程2.3.3双曲线的参数方程学习目标：1.了解双曲线、抛物线的参数方程.2.理解椭圆的参数方程及其应用(重点)3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题(难点)1椭圆的参数方程(1)椭圆1的参数方程为， 0t2.(2)若椭圆的中心不在原点而在点M0(x0，y0)，相应的椭圆的参数方程为， 0t2.2双曲线的参数方程双曲线1的参数方程为.3抛物线的参数方程抛物线y22px的参数方程是(tR，t为参数)思考1：椭圆的参数方程中，参数是OM的旋转角吗？提示椭圆的参数方程(为参数)中的参数不是动点M(x，y)的旋转角
2、，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角思考2：双曲线的参数方程中，参数的三角函数sec 的意义是什么？提示sec ，其中0,2)且，.思考3：类比y22px(p0)，你能得到x22py(p0)的参数方程吗？提示(p0，t为参数，tR)1参数方程(为参数)化为普通方程为()Ax21 Bx21 Cy21 Dy21解析易知sin x，cos ，x21.答案A2方程(为参数，ab0)表示的曲线是()A圆B椭圆C双曲线D双曲线的一部分解析由cos xa，cos ，代入ybcos ，得xyab，又由ybcos 知，y|b|，|b|，曲线应为双曲线的一部分答案D3已知
3、点M(3，m)在以F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|MF|等于()A1 B2 C3D4解析由得，即y24x，p2.|MF|3314.答案D4点P(x，y)在椭圆y21上，则xy的最大值为_解析由已知可得椭圆的参数方程为(为参数)，则xy2cos sin sin()(tan 2)，(xy)max.答案椭圆的参数方程及应用【例1】将参数方程(为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标思路探究根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质解由得两式平方相加，得1.a5，b3，c4.因此方程表示焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为F1(4,0)和F2(4,0)椭圆的
4、参数方程(为参数，a，b为常数，且ab0)中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上1若本例的参数方程为(为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？解将化为，两式平方相加，得1.其中a5，b3，c4.所以方程的曲线表示焦点为F1(0，4)与F2(0,4)的椭圆【例2】已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：1.(1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x2y70距离的最小值思路探究(1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数表示出点M的坐标，根据点到直线的距离公
5、式得到关于的函数，转化为求函数的最值解(1)由，得，曲线C1：(x4)2(y3)21，C1表示圆心是(4,3)，半径是1的圆曲线C2：1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆其参数方程为(为参数)(2)依题设，当t时，P(4,4)；且Q(8cos ，3sin )，故M(24cos ，2sin )又C3为直线x2y70，M到C3的距离d|4cos 3sin 13|5cos()13|，从而当cos ，sin 时，d取得最小值.1从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性本题易错点主要有：一是在第(1)问中，不能将圆的参数方程化为普通方程；二是在第(2)问中对绝对
6、值的函数形式变形不对或认为cos()1时取最小值，从而得出错误结论2第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M的轨迹上的点到直线C3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数的函数的最小值2(2019全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值解(1)因为11，且x21，所以C的直角坐标方程为x21(x1)l的直角坐标方程为2xy110.(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数，)C上的点到l的距离为.当时，4cos1
7、1取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.双曲线参数方程的应用【例3】求证：双曲线1(a0，b0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值思路探究设出双曲线上任一点的坐标，若注意到三角函数有利于三角变换，可利用双曲线的参数方程简化运算解由双曲线1，得两条渐近线的方程是：bxay0，bxay0，设双曲线上任一点的坐标为(asec ，btan )，它到两渐近线的距离分别是d1和d2，则d1d2(定值)在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2 tan2 1的应用3已知圆C：x2(y2)21
8、上一点P，与双曲线x2y21上一点Q，求P，Q两点距离的最小值解双曲线x2y21的参数方程为则Q(sec ，tan )，又圆心C(0,2)，则|CQ|2sec2 (tan 2)2(tan2 1)(tan 2)22(tan 1)23，当tan 1，即时，|CQ|2取最小值3，此时有|CQ|min.又因为|PC|1，所以|PQ|min1.抛物线的参数方程【例4】设抛物线y22px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQl于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程思路探究解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可解设P点的坐标为(2pt2,2pt)(t为
9、参数)，当t0时，直线OP的方程为yx，QF的方程为y2t(x)，它们的交点M(x，y)由方程组确定，两式相乘，消去t，得y22x(x)，点M的轨迹方程为2x2pxy20(x0)当t0时，M(0,0)满足题意，且适合方程2x2pxy20.故所求的轨迹方程为2x2pxy20.1抛物线y22px(p0)的参数方程为(t为参数)，参数t为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数2用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程4已知抛物线y22px过顶点两弦OAOB，求以OA、O
10、B为直径的两圆的另一交点Q的轨迹解设A(2pt，2pt1)，B(2pt，2pt2)，则以OA为直径的圆的方程为x2y22ptx2pt1y0，以OB为直径的圆方程为x2y22ptx2pt2y0，t1，t2为方程2pxt22ptyx2y20的两根t1t2.又OAOB，t1t21，x2y22px0.另一交点Q的轨迹是以(p,0)为圆心，p为半径的圆(教材P46习题23T1)设直线的参数方程为它与椭圆1的交点为A和B，求线段AB的长在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(为参数)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长命题意图知识：考查直线与椭圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及直线与椭圆的位置关系等能力：通过参数方程与普通方程的互化及求线段AB长的过程，考查了运算求解能力试题难度：中解椭圆C的普通方程为x21.将直线l的参数方程代入x21，得21，即7t216t0，解得t10，t2.所以AB|t1t2|.
