1、2016年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1复数z满足z（1+i）=|1+i|，则z等于（）A1iB1CiDi2有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的数据如下：估计数据落在31.5，43.5的概率是（） 分组11.5，15.5）15.5，19.5）19.5，23.5）23.5，27.5） 频数 2 4 9 18 分组27.5，31.5）31.5，35.5）35.5，39.5）39.5，43.5） 频数 11 12 73 A B C D3已知集合A=1，2，3，平面内以（x，y）为坐标的点集合B=（x，y）|xA，yA，x+yA，则B的子集
2、个数为（）A3B4C7D84设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn+2Sn=36，则n=（）A5B6C7D85若某程序框图如图所示，则输出的P的值是（）A22B27C31D566在ABC中，AB=2，AC=3， =1，则BC=（）A B C2D7等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，则C的实轴长为（）A B C4D88一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A64+8B48+12C48+8D48+129已知sin=，则cos（2）=（）ABC D10已知a，bR，下列四个条件中，使1成立的必要不充分条件是（）Aab
3、1Bab+1C|a|b|D（）a（）b11已知实数a，b满足a2+b24a+3=0，函数f（x）=asinx+bcosx+1的最大值记为（a，b），则（a，b）的最小值为（）A1B2C D312已知函数f（x）= 的图象上有两对关于坐标原点对称的点，则实数k的取值范围是（）A（0，1）B（0，）C（0，+）D（0，e）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13设随机变量X满足正态分布XN（1，2），若P（3x1）=0.4，则P（3x1）=14若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围15如图，半径为4的球O中有一内接圆往，则圆柱的侧面积最大值是16对于函数f（x）
4、，若存在区间M=a，b，使得y|y=f（x）；xM=M，则称函数f（x）具有性质p，给出下列3个函数：f（x）=sinxf（x）=x33xf（x）=lgx+3其中具有性质p的函数是（填入所有满足条件函数的序号）三、解答题（共5小题，满分60分）17等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=3（）求数列an的通项公式；（）设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn18本着健康、低碳的生活理念，湛江市区采用公共自行车的人越来越多，使用年租卡租车的收费标准是每车每次不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）假设甲、乙两人相互独立地
5、用年租卡每天租车一次已知甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时（）分别求出甲、乙两人某一天在三小时以上且不超过四小时还车的概率（）记甲、乙两人一天所付的租车费用之和为，求的分布列及数学期望19如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AD=PD=2，PB=AB=6，点P在底面的正投影在DC上（I）证明：BDPA；（）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值20如图，已知椭圆C1： +=1（ab0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c、0），（0，b）的直线的距离为c（0，1），垂直于x轴的直线l与椭圆C1及圆C2：x2+y2
6、=a2均有两个交点，这四个交点按其坐标从大到小分别为A、B、C、D（）当=时，求的值；（）设N（a，0），若存在直线l使得BOAN，证明：021设函数f（x）=（ax+1）ex（aR）（）当a0时，求f（x）的单调递增区间；（）对任意x0，+），f（x）x+1恒成立，求实数a的取值范围选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22如图，AE是O的直径，ABC内接于O，AB=BC，ADBC，垂足为D（）求证：AEAD=ACBC；（）过点C作O的切线交BA的延长线于F，若AF=4，CF=6，求AC的长选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数），在极坐标系
7、（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为sin（+）=2（）求圆C的极坐标方程；（）设圆C与直线l交于点A，B，求|AB|选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2|（1）解不等式xf（x）+30；（2）对于任意的x（3，3），不等式f（x）m|x|恒成立，求m的取值范围2016年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1复数z满足z（1+i）=|1+i|，则z等于（）A1iB1CiDi【考点】复数求模【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可【解答】解：
8、复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，z=1故选：A2有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的数据如下：估计数据落在31.5，43.5的概率是（） 分组11.5，15.5）15.5，19.5）19.5，23.5）23.5，27.5） 频数 2 4 9 18 分组27.5，31.5）31.5，35.5）35.5，39.5）39.5，43.5） 频数 11 12 73 A B C D【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】根据频率分布表，利用频率=，计算频率即可【解答】解：数据落在31.5，43.5的频数是12+7+3=22，所以数据落在31.5，43.5的概率是P
9、=故选：B3已知集合A=1，2，3，平面内以（x，y）为坐标的点集合B=（x，y）|xA，yA，x+yA，则B的子集个数为（）A3B4C7D8【考点】子集与真子集【分析】先求出B=（1，1），（1，2），（2，1），由此能求出B的子集个数【解答】解：集合A=1，2，3，平面内以（x，y）为坐标的点集合B=（x，y）|xA，yA，x+yA，B=（1，1），（1，2），（2，1），B的子集个数为：23=8个故选：D4设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn+2Sn=36，则n=（）A5B6C7D8【考点】等差数列的性质【分析】由Sn+2Sn=36，得an+1+an+2=36，代
10、入等差数列的通项公式求解n【解答】解：由Sn+2Sn=36，得：an+1+an+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，2+2n+2（n+1）=36解得：n=8故选：D5若某程序框图如图所示，则输出的P的值是（）A22B27C31D56【考点】程序框图【分析】根据流程图，先进行判定条件，不满足条件则运行循环体，一直执行到满足条件即跳出循环体，输出结果即可【解答】解：第一次运行得：n=0，p=1，不满足p20，则继续运行第二次运行得：n=1，p=2，不满足p20，则继续运行第三次运行得：n=2，p=6，不满足p20，则继续运行第四次运行得：n=3，p=15，不满足p
11、20，则继续运行第五次运行得：n=4，p=31，满足p20，则停止运行输出p=31故选C6在ABC中，AB=2，AC=3， =1，则BC=（）A B C2D【考点】解三角形；向量在几何中的应用【分析】设B=，由=1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，表示出cos，再利用余弦定理表示出cos，两者相等列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：=1，设B=，AB=2，2BCcos（）=1，即cos=，又根据余弦定理得：cos=，=，即BC2=3，则BC=故选A7等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两
12、点，则C的实轴长为（）A B C4D8【考点】圆锥曲线的综合【分析】设等轴双曲线C：x2y2=a2（a0），y2=16x的准线l：x=4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，能求出C的实轴长【解答】解：设等轴双曲线C：x2y2=a2（a0），y2=16x的准线l：x=4，C与抛物线y2=16x的准线l：x=4交于A，B两点，A（4，2），B（4，2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，a=2，2a=4故选C8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A64+8B48+12C48+8D48+12【考点】由三视图求面积、体积【分析】该几何体为棱柱与圆柱的组合体，几何体的表面积为棱
13、柱的表面积加上圆柱的侧面积【解答】解：由三视图可知该几何体的下部分是底面为边长是4，高是2的四棱柱，上部分是底面直径为4，高为2的圆柱，S=442+442+42=64+8故选A9已知sin=，则cos（2）=（）ABC D【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值【分析】先根据诱导公式求得cos（2a）=cos2a进而根据二倍角公式把sin的值代入即可求得答案【解答】解：sina=，cos（2a）=cos2a=（12sin2a）=故选B10已知a，bR，下列四个条件中，使1成立的必要不充分条件是（）Aab1Bab+1C|a|b|D（）a（）b【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】对
14、于1，当b0时，ab0；当b0时，ab0，ab0，可得1|a|b|，反之不成立即可判断出结论【解答】解：对于1，b（ab）0当b0时，ab0；当b0时，ab0，ab0，1|a|b|，反之不成立，例如：取a=2，b=1|a|b|是使1成立的必要不充分条件故选：C11已知实数a，b满足a2+b24a+3=0，函数f（x）=asinx+bcosx+1的最大值记为（a，b），则（a，b）的最小值为（）A1B2C D3【考点】三角函数的最值【分析】点（a，b）在圆 （a2）2+b2 =1 上，函数f（x）=asinx+bcosx+1 的最大值为（a，b）=+1，表示原点到点（a，b）的距离加1，求出圆上
15、的点到原点的距离的最小值为1，从而求得（a，b）的最小值【解答】解：实数a，b满足a2+b24a+3=0，（a2）2+b2 =1，表示以（2，0）为圆心，以1为半径的圆函数f（x）=asinx+bcosx+1 的最大值为（a，b）=+1，它的几何意义为原点到点（a，b）的距离加1再由点（a，b）在圆a2+b24a+3=0上，原点到圆心（2，0）的距离等于2，故圆上的点到原点的距离的最小值为1，所以（a，b）的最小值为2，故选B12已知函数f（x）= 的图象上有两对关于坐标原点对称的点，则实数k的取值范围是（）A（0，1）B（0，）C（0，+）D（0，e）【考点】分段函数的应用【分析】求出x0时
16、关于原点对称的函数g（x）=lnx，由题意可得g（x）的图象和y=kx2（x0）的图象有两个交点设出直线y=kx2与y=g（x）相切的切点为（m，lnm），求出g（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得切点和k的值，由图象即可得到所求范围【解答】解：当x0时，f（x）=ln（x），由f（x）的图象关于原点对称，可得g（x）=lnx（x0），由题意可得g（x）的图象和y=kx2（x0）的图象有两个交点设直线y=kx2与y=g（x）相切的切点为（m，lnm），由g（x）的导数为g（x）=，即有切线的斜率为=k，又lnm=km2，解得m=，k=e，由图象可得0ke时，有两个交点故选：D二、填空题（共
17、4小题，每小题5分，满分20分）13设随机变量X满足正态分布XN（1，2），若P（3x1）=0.4，则P（3x1）=0.8【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据正态分布曲线关于x=1对称，可得P（3x1）=P（1x1），即可得出结论【解答】解：由正态分布曲线的对称性得：P（3x1）=P（1x1），P（3x1）=2P（3x1）=0.8故答案为：0.814若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围（，1【考点】简单线性规划【分析】先根据，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则m1，由此可得结论【解答】解：由题意，由，可求得
18、交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示可得m1则实数m的取值范围 （，1故答案为：（，115如图，半径为4的球O中有一内接圆往，则圆柱的侧面积最大值是32【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值【解答】解：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为，则r=4cos，圆柱的高为8sin，圆柱的侧面积为：32sin2，当且仅当=时，sin2=1，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积的最大值为：32故答案为：3216对于函数f（x），若存在区间M=a，b，使得y|y=f（x）；x
19、M=M，则称函数f（x）具有性质p，给出下列3个函数：f（x）=sinxf（x）=x33xf（x）=lgx+3其中具有性质p的函数是（填入所有满足条件函数的序号）【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】对于函数f（x）=sinx，根据其在，上是单调增函数，通过分析方程sinx=x在，上仅有一解，判断即可；通过对已知函数求导，分析出函数的单调区间，找到极大值点和极小值点，并求出极大值b和极小值a，而求得的f（a）与f（b）在a，b范围内，满足性质P；根据“性质P”的定义，函数存在“区间M”，只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“区间P”，判断即可【解答】解：对于函数f（x）=si
20、nx，若正弦函数存在等值区间a，b，则在区间a，b上有sina=a，sinb=b，由正弦函数的值域知道a，b1，1，但在区间1，1上仅有sin0=0，所以函数f（x）=sinx不具有性质P；对于函数f（x）=x33x，f（x）=3x23=3（x1）（x+1）当x（1，1）时，f（x）0所以函数f（x）=x33x的增区间是（，1），（1，+），减区间是（1，1）取M=2，2，此时f（2）=2，f（1）=2，f（1）=2，f（2）=2所以函数f（x）=x33x在M=2，2上的值域也为2，2，则具有性质P；对于 f（x）=lgx+3，若存在“稳定区间”a，b，由于函数是定义域内的增函数，故有，即方程
21、lgx+3=x有两个解，这与y=lgx+3和y=x的图象相切相矛盾故不具有性质P故答案为：三、解答题（共5小题，满分60分）17等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=3（）求数列an的通项公式；（）设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式【分析】（）由等比数列通项公式列出方程组求出首项和公比，由此能求出数列an的通项公式（）先出Sn=，从而bn=2（），由此利用裂项求和法能求出数列bn的前n项和【解答】解：（）等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=3，解得，数列an的通项公式（）Sn为数列an
22、的前n项和，=，bn=2（），数列bn的前n项和：Tn=2（+）=2（）=18本着健康、低碳的生活理念，湛江市区采用公共自行车的人越来越多，使用年租卡租车的收费标准是每车每次不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）假设甲、乙两人相互独立地用年租卡每天租车一次已知甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时（）分别求出甲、乙两人某一天在三小时以上且不超过四小时还车的概率（）记甲、乙两人一天所付的租车费用之和为，求的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【
23、分析】（）根据题意，由全部基本事件的概率之和为1，利用对立事件概率计算公式求解即可（）由题意的可能取值为0，2，4，6，8，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望【解答】解：（）甲在三小时以上且不超过四小时还车的概率为1=，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率为1=（）由已知得的可能取值为0，2，4，6，8，P（=0）=，P（=2）=，P（=4）=，P（=6）=+=，P（=8）=（1）（1）=，的分布列为： 0 2 4 6 8 PE=+8=19如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AD=PD=2，PB=AB=6，点P在底面的正投影在DC上（I）证明：BDPA；（）求直线AP
24、与平面PBC所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质【分析】（）取AP中点O，连结DO、BO，推导出PA平面BDO，由此能证明BDPA（）过P作PE平面ABCD，交DC于E，以E为原点，过E作DA的平行线为x轴，EC为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AP与平面PBC所成角的正弦值【解答】证明：（）取AP中点O，连结DO、BO，AD=PD=2，PB=AB=6，DOPA，BOPA，又DOBO=O，PA平面BDO，BD平面BDO，BDPA解：（）底面ABCD为矩形，AD=PD=2，PB=AB=6，点P在底面的正投影在DC上过P作PE平面ABCD，交DC
25、于E，PC=2，PD2+PC2=CD2，PDPC，PE=2，DE=2，CE=62=4，以E为原点，过E作DA的平行线为x轴，EC为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，2，0），P（0，0，2），B（2，4，0），C（0，4，0），=（2，2，2），=（2，4，2），=（0，4，2），设面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=，得=（0，1，），设直线AP与平面PBC所成角为，则sin=直线AP与平面PBC所成角的正弦值为20如图，已知椭圆C1： +=1（ab0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c、0），（0，b）的直线的距离为c（0，1），垂直于x轴的直线l与椭圆C1及圆C2：x
26、2+y2=a2均有两个交点，这四个交点按其坐标从大到小分别为A、B、C、D（）当=时，求的值；（）设N（a，0），若存在直线l使得BOAN，证明：0【考点】椭圆的简单性质【分析】（）求出过两点（c、0），（0，b）的直线方程，由点到直线的距离公式可得b=a，取=，求得椭圆方程，然后分别联立直线x=m（ama）与椭圆与圆方程，求出点的坐标，则的值可求；（）联立直线方程和椭圆方程、直线方程和圆的方程，求出A，B的坐标，由斜率相等可得，结合am0即可证得0【解答】（）解：过两点（c、0），（0，b）的直线方程为，即bx+cybc=0，由原点O到直线bx+cybc=0的距离为c（0，1），得，即b=a
27、，当=时，b=，此时椭圆方程为设直线l的方程为x=m（ama），联立，解得B（m，），C（m，），联立，解得A（m，），D（m，），=；（）证明：如图，由（）得，A（m，），联立，得B（m，），又N（a，0），而，由BOAN，得，m=（ma），即am0，即，解得：1（舍）或，又（0，1），021设函数f（x）=（ax+1）ex（aR）（）当a0时，求f（x）的单调递增区间；（）对任意x0，+），f（x）x+1恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求导，当a0时，令f（x）0，解得函数的单调递增区间；（）x0，+），由题意可知将f（x
28、）x+1恒成立，转化为aex+，x0，+）恒成立，构造辅助函数F（x）=ex+，g（x）=，求导，F（x）在x0，+）上单调递增，由在x=0处极限， =1，可求得F（x）的最小值，求得a的取值范围；【解答】解：（）f（x）=（ax+1）ex（aR）定义域为R，f（x）=ex（ax+a1），令f（x）=0，解得：x=1，f（x）0，解得x1，当a0时，求f（x）的单调递增区间；（，1）；（）由x0，+），f（x）x+1恒成立，即（ax+1）exx+1，可转化为aex+，x0，+）恒成立，设F（x）=ex+，g（x）=，则g（x）=，令h（x）=（x1）ex+1，则h（x）=ex+ex（x1）=x
29、ex，当x0时，h（x）=xex0，h（x）是上的增函数，h（x）h（0）=0，g（x）=0，即函数g（x）是（0，+）上的增函数F（x）在（0，+）上的增函数F（x）在x=0处取最小值，即（ex+）=1+，由洛必达法则可知： =1，故F（x）的最小值为2，a2，实数a的取值范围（，+2选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22如图，AE是O的直径，ABC内接于O，AB=BC，ADBC，垂足为D（）求证：AEAD=ACBC；（）过点C作O的切线交BA的延长线于F，若AF=4，CF=6，求AC的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（）连接BE，由直径所对圆周角为直角得到ABE=90，由
30、三角形相似的条件得到ACDAEB，再由相似三角形对应边成比例得AEAD=ACBC；（）由切割弦定理可得CF2=AFBF，然后再由三角形相似求得AC的值【解答】（）证明：连接BE，AE为圆O的直径，ABE=90，ADBC，ADC=90，ABE=ADC，又ACD=AEB，ACDAEB，又AB=BC，AEED=ACBC；（）解：CF是圆O的切线，CF2=AFBF，又AF=4，CF=6，BF=9，AB=BFAF=5，又ACF=FBC，F为公共角，AFCCFB，AC=选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，以原点O
31、为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为sin（+）=2（）求圆C的极坐标方程；（）设圆C与直线l交于点A，B，求|AB|【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（I）利用cos2+sin2=1可把圆C的参数方程化为普通方程，再利用化为极坐标方程（II）直线l的方程为sin（+）=2，展开可得直角坐标方程求出圆心C到直线l的距离d，利用弦长公式|AB|=2即可得出【解答】解：（I）圆C的参数方程为（为参数），化为（x2）2+y2=4，即x2+y24x=0，化为极坐标方程：24cos=0，即=4cos（II）直线l的方程为sin（+）=2，展开化为：（sin+cos）=2
32、，可得直角坐标方程：y+x4=0由（I）可知：圆C的圆心C（2，0），半径r=2圆心C到直线l的距离d=，|AB|=2=2选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2|（1）解不等式xf（x）+30；（2）对于任意的x（3，3），不等式f（x）m|x|恒成立，求m的取值范围【考点】函数恒成立问题【分析】（1）把f（x）的解析式代入xf（x）+30，去绝对值后化为不等式组，求解不等式组得答案；（2）把f（x）m|x|，分离变量m后构造分段函数，求解分段函数的最大值，从而得到m的取值范围【解答】解：（1）f（x）=|x2|，xf（x）+30x|x2|+30或，解得：1x2，解得x2，不等式xf（x）+30的解集为：（1，+）；（2）f（x）m|x|f（x）+|x|m，即|x2|+|x|m，设g（x）=|x2|+|x|（3x3），则，g（x）在（3，0上单调递减，2g（x）8；g（x）在（2，3）上单调递增，2g（x）4在（3，3）上有2g（x）8，故m8时不等式f（x）m|x|在（3，3）上恒成立2016年7月15日
