1、第2课时不等式的证明学 习 任 务核 心 素 养1掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能灵活选用综合法、分析法证明简单问题(重点、难点)2了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点，掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题(难点、易错点)1通过综合法、分析法的证明，提升逻辑推理能力2通过反证法的学习，提升数学抽象、逻辑推理能力.知识点一综合法从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法综合法最重要的推理形式为pq，其中p是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论知识点二分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使
2、它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止分析法最重要的推理形式为pq，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件知识点三反证法首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立这种得到数学结论的方法通常称为反证法1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法是从结论向已知的逆推证法()(2)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程分析法的推理过程实际上是寻求使结论成立的充分条件的过程()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假
3、设矛盾()答案(1)(2)(3)(4)2.将下面用分析法证明ab的步骤补充完整：要证ab，只需证a2b22ab，也就是证_，即证_，由于_显然成立，因此原不等式成立a2b22ab0(ab)20(ab)20用分析法证明ab的步骤为：要证ab成立，只需证a2b22ab，也就是证a2b22ab0，即证(ab)20.由于(ab)20显然成立，所以原不等式成立 类型1综合法的应用综合法证明不等式的基本思路是什么？提示从已知条件出发，综合利用各种结果，经逐步推导，最后得出结论【例1】若ab0，cd0，e0，求证：.思路点拨可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果证明cd0，cd
4、0.又ab0，acbd0.(ac)2(bd)20.两边同乘以，得.又e0，.本例条件不变的情况下，求证：.证明cd0，cd0.ab0，acbd0，0.又e0，.综合法证明不等式综合法证明不等式就是从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，它是顺推的证法或由因导果1若bcad0，bd0，求证：.证明bcad0，adbc，bd0，11，. 类型2分析法的应用【例2】已知a0，证明：a2.证明要证a2，只需证(2)因为a0，所以(2)0，所以只需证2，即2(2)84，只需证a2.因为a0，所以a20，所以a2显然成立(当a1时等号成立)，所以要证的不等式成立
5、分析法证明不等式分析法证明命题时，就是从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，这是一种执果索因的思考和证明方法2若a，b(1，)，证明：.证明要证，只需证()2()2，只需证ab1ab0，即证(a1)(1b)0.因为a1，b1，所以a10,1b0，即(a1)(1b)0成立，所以原不等式成立 类型3反证法的应用【例3】已知xR，ax2，b2x，cx2x1，试证明a，b，c至少有一个不小于1证明假设a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，则有abc3，而abc(2x)(x2x1)2x22x233.这与abc3矛盾，假设不成立，故a，b，c至少有一个
6、不小于1反证法证明问题的一般步骤3若x0，y0，且xy2，求证：与至少有一个小于2.证明假设与都不小于2，即2，2.x0，y0，1y2x,1x2y，两式相加得2(xy)2(xy)xy2，这与已知中xy2矛盾假设不成立，原命题成立故与至少有一个小于2.1用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是()A自然数a，b，c中至少有两个偶数B自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C自然数a，b，c都是奇数D自然数a，b，c都是偶数B反证法证明命题时，反设是设结论的反面成立，即否定结论，故B正确2求证：1.证明：要证1，只需证1，即证7251121，即证，3511，原不
7、等式成立以上证明应用了()A分析法B综合法C分析法与综合法配合使用D反证法A证明过程用的是分析法3(多选题)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用()A结论的反设B已知条件C定义、公理、定理等D原结论ABC反证法推矛盾的过程中，可以把结论的反设，已知条件，定义、定理、公理等作为已知条件使用，故选ABC4(多选题)下列命题中，不正确的是()A若ab0，则B若acbc，则abC若，则abD若ab，cd，则acbdABD由不等式的性质可知选项ABD不正确5甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是_答案甲回顾本节知识，自我完成以下问题：证明不等式的常用方法有哪些？提示证明不等式常用的方法有：作差(商)比较法、综合法、分析法、反证法.
