1、-1-二 圆内接四边形的性质与判定定理-2-二 圆内接四边形的性质与判定定理 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 课程目标学习脉络1.了解圆内接四边形的概念,掌握圆内接四边形的性质定理及其应用.2.理解圆内接四边形的判定定理及其推论,并能解决有关问题.3.了解反证法在证明问题中的应用.-3-二 圆内接四边形的性质与判定定理 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 1.性质定理 1 文字语言圆的内接四边形的对角互补符号语言若四
2、边形 ABCD 内接于圆 O,则有A+C=180,B+D=180图形语言作用证明两个角互补-4-二 圆内接四边形的性质与判定定理 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 2.性质定理 2 文字语言圆内接四边形的外角等于它的内角的对角符号语言四边形 ABCD 内接于O,E 为 AB 延长线上一点,则有CBE=ADC图形语言作用证明两个角相等-5-二 圆内接四边形的性质与判定定理 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 总结(1)利
3、用这两个性质定理,可以借助圆变换角的位置,得到角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明.(2)利用这两个定理可以得出一些重要结论,如内接于圆的平行四边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯形等.-6-二 圆内接四边形的性质与判定定理 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 3.圆内接四边形判定定理 文字语言如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆符号语言在四边形 ABCD 中,如果B+D=180(或A+C=180),那么 A,B,C,D 四点共圆图形语言作用证明四点共圆-7
4、-二 圆内接四边形的性质与判定定理 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 4.推论 文字语言如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆符号语言在四边形 ABCD 中,延长 AB 到 E,若CBE=ADC,则 A,B,C,D 四点共圆图形语言作用证明四点共圆-8-二 圆内接四边形的性质与判定定理 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 归纳总结性质定理 1 和判定定理互为逆定理,性质定理 2和判定定理的
5、推论互为逆定理.-9-二 圆内接四边形的性质与判定定理 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 思考 1 圆内接四边形判定定理的证明思路是什么?提示:要证明四边形 ABCD 内接于圆,就是要证明 A,B,C,D 四点在同一个圆上.根据我们的经验,若能证明这四个点到一个定点的距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来.不过,对于不在同一条直线上的三点来说,总可以确定一个圆.因此我们可以先经过 A,B,C,D 中的任意三个点,譬如 A,B,C三点作一个圆,再证明第四个点 D 也在这个圆上就可以了.但是直接证明点 D在
6、圆上很困难,所以我们采用反证法证明,也就是假设点 D 不在圆上,经过推理论证,得出错误的结论,这就说明点 D 不在圆上是错误的,因此点 D 只能在圆上.-10-二 圆内接四边形的性质与判定定理 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 由于点 D 不在圆上时,可能出现点 D 在圆外和点 D 在圆内两种情况,所以应分别加以证明,下面先讨论点 D 在圆内的情况.假设点 D 在圆内,若作出对角线 BD,设 BD 和圆交于点 D.连接 AD,CD,则 ABCD为圆内接四边形(如图),则ABC+ADC=180.另一方面,因
7、为ADB,BDC 分别是ADD 和CDD 的外角,所以有ADBADB,BDCBDC,于是有ADCADC.因为已知ABC+ADC=180,所以ABC+ADC180,这与圆内接四边形的性质定理矛盾.因此可证点 D 不能在圆内.用类似的方法也可以证明点 D 不能在圆外.因此点 D 在圆上,即四边形ABCD 内接于圆.-11-二 圆内接四边形的性质与判定定理 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 思考 2 判定四点共圆的方法有哪些?提示:(1)如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆.(2)如果一个四边形的对角互
8、补,那么这个四边形的四个顶点共圆.(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.(4)如果两个直角三角形有公共的斜边,那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等).-12-二 圆内接四边形的性质与判定定理 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 温馨提示反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后从这个假设出发,经过正确的推理,导出矛盾,从而否定假设,达到肯定原命题正确的一种方法.用反证法证明一个命题的步骤为:(1)反设,(2)归谬,(3
9、)结论.反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表达形式是有必要的,例如是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有 n 个/至多有(n-1)个;至多有一个/至少有两个等.归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,推理必须严谨,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾,与已知的公理、定义、定理、公式矛盾,与反设矛盾,自相矛盾等.-13-二 圆内接四边形的性质与判定定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 J
10、ICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究一 证明四点共圆判断四点共圆时,要根据题目特点,灵活选用判定四点共圆的方法.-14-二 圆内接四边形的性质与判定定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三【典型例题 1】如图所示,在ABC 中,AD=DB,DFAB 交 AC 于点F,AE=EC,EGAC 交 AB 于点 G.求证:(1)D,E,F,G 四点共圆;(2)G,B,C,F 四点共圆.-15-二 圆内接四边形的性质与判定定理 ZH
11、ONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 思路分析:(1)连接 GF,则易证GDF 与GEF 均为直角三角形,由直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等可得出结论.(2)连接 DE,由条件易证 DEBC,从而ADE=B,由(1)知ADE=GFE,从而GFE=B,从而得到结论.-16-二 圆内接四边形的性质与判定定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 证明:(1)连接 GF.由 DF
12、AB,EGAC,知GDF=GEF=90,GF 的中点到 D,E,F,G 四点的距离相等,D,E,F,G 四点共圆.(2)连接 DE.由 AD=DB,AE=EC,知 DEBC,ADE=B.又由(1)中 D,E,F,G 四点共圆,ADE=GFE,GFE=B,G,B,C,F 四点共圆.-17-二 圆内接四边形的性质与判定定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 规律小结判定四点共圆的方法:如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆;如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共
13、圆;如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆(如本题);与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内共圆.-18-二 圆内接四边形的性质与判定定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究二 圆内接四边形的性质的应用当已知条件中出现圆内接四边形时,常用圆内接四边形的性质来获得角相等或互补,从而为证明三角形相似或两条直线平行等问题创造条件.-19-二 圆内接四边形的性质与判定定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 J
14、ICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三【典型例题 2】两圆相交于 A,B,过 A 作两直线分别交两圆于 C,D 和E,F.若EAB=DAB,求证:CD=EF.-20-二 圆内接四边形的性质与判定定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 思路分析:连接 CB,BF,要证 CD=EF,只需证明CBDEBF 即可.从题图可以看出,BCA=BEA,D=F,因此,尚需找一条对应边相等即可.比如,能否推出 BC=BE 呢?要证 BC=BE,只
15、需CEB=ECB,有无可能呢?可以发现,ECB=1,又已知1=2,所以只需证2=CEB 即可.这时我们发现,四边形 ABEC 是圆内接四边形,根据性质定理,它的外角2 与它的内对角CEB 当然相等.至此,结论得证.-21-二 圆内接四边形的性质与判定定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 证明:连接 CB,BF.因为四边形 ABEC 为圆内接四边形,所以2=CEB.又因为1=ECB,且1=2,而2=CEB,所以CEB=ECB.所以BC=BE.在CBD 与EBF 中,BCA=BEA,
16、D=F,BC=BE,所以CBDEBF.所以 CD=EF.-22-二 圆内接四边形的性质与判定定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究三 易错辨析易错点:忽视分类讨论致误【典型例题 3】已知O 的直径 AB=4,弦 AC=2 3,AD=2 2,则DAC=.-23-二 圆内接四边形的性质与判定定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 错解:如图,AB=4,AD=2 2,B
17、AD=45.又AC=2 3,CAB=30,CAD=45-30=15.-24-二 圆内接四边形的性质与判定定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 错因分析:作图时,未能考虑全面,没有对相对位置关系进行分类讨论,致使题目答案漏解.正解:根据题意,分两种情况讨论:图-25-二 圆内接四边形的性质与判定定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三(1)当弦 AD,AC 在直径 AB
18、的同侧时,如图,由错解得,DAC=15.(2)当弦 AD,AC 在直径 AB 异侧时,如图.图则DAC=75,综上,DAC=15或 75.-26-二 圆内接四边形的性质与判定定理 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 123451.四边形 ABCD 内接于圆 O,A=25,则C 等于()A.25B.75C.115D.155解析:四边形 ABCD 内接于圆,A+C=180.又A=25,C=180-A=155.答案:D-27-二 圆内接四边形的性质与判定定理 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICH
19、U ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 123452.下列四边形的四个顶点共圆的是()A.梯形B.矩形C.平行四边形D.菱形答案:B-28-二 圆内接四边形的性质与判定定理 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 123453.如图,点 A,B,C,D 在同一个圆上,直线 AB,DC 相交于点 P,直线 AD,BC 相交于点 Q,如果A=50,P=30,那么Q=.-29-二 圆内接四边形的性质与判定定理 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识
20、 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 12345解析:A=50,P=30,QDC=A+P=80.又QCD=A=50,Q=180-80-50=50.答案:50-30-二 圆内接四边形的性质与判定定理 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 123454.如图,在圆内接四边形 ABCD 中,AB=AD,BAD=60,AC=a,则四边形ABCD 的面积为 .-31-二 圆内接四边形的性质与判定定理 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIA
21、N重点难点 12345解析:连接 BD,易知BAD=ABD=ADB=ACB=ACD=60.设CAD=,AB=AD=b,则BAC=60-,-32-二 圆内接四边形的性质与判定定理 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 12345S 四边形 ABCD=SABC+SACD=12absin(60-)+12absin=12absin(60+)=12absinABC,在ABC 中,由正弦定理可知sin=sin=sin60,-33-二 圆内接四边形的性质与判定定理 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU
22、ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 12345bsinABC=asin 60.S 四边形 ABCD=12aasin 60=34 a2.答案:34 a2-34-二 圆内接四边形的性质与判定定理 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 123455.ABCD 是圆内接四边形,过点 C 作 DB 的平行线交 AB 的延长线于 E 点,求证:BEAD=BCCD.证明:如图,连接 AC.四边形 ABCD 为圆内接四边形,-35-二 圆内接四边形的性质与判定定理 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 12345ADC=EBC.又 BDEC,CEB=DBA,且ACD=DBA,CEB=ACD.ADCCBE.=,即 BEAD=BCCD.
