1、第一章集合与常用逻辑用语 知识点一集合1常用数集及其记法常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN或N*ZQR2.集合的区间表示及几何表示设a，b是两个实数，而且ab.我们作出规定：集合区间表示区间名称几何表示x|axba，b闭区间x|axb(a，b)开区间x|axba，b)半开半闭区间x|axb(a，b半开半闭区间集合区间表示几何表示R(，)x|xaa，)x|xa(a，)x|xb(，bx|xb(，b)3.类比实数的大小关系理解集合间的关系实数集合定义ab包含两层含义：ab或abAB包含两层含义：AB或AB相等若ab，且ba，则ab若AB，BA，则AB传递性若ab，bc，则ac若AB
2、，BC，则AC若ab，bc，则ac若AB，BC，则AC4.有限集合的子集个数含有n个元素的集合有2n个子集，有(2n1)个真子集，有(2n1)个非空子集，有(2n2)个非空真子集5集合中元素的三个特性特性含义示例确定性集合的元素必须是确定的，因此，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来集合A1,2,3，则1A，4A互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，因此，集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素集合x，x2x中的x应满足xx2x，即x0且x2无序性集合中的元素可以任意排列
3、集合1,0和集合0,1是同一个集合6.的概念及性质概念不含任何元素的集合叫做空集性质1空集是任意一个集合A的子集，即A2.空集是任意一个非空集合A的真子集，即A(A)7.集合的基本运算并集的概念ABx|xA或xB并集的性质(1)A(AB)，B(AB)；AAA，AA；ABBA；(AB)CA(BC)；(2)若AB，则ABB；反之，若ABB，则AB交集的概念ABx|xA且xB交集的性质(1)(AB)A，(AB)B；AAA，A；ABBA；(AB)CA(BC)；(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)；(2)若AB，则ABA；反之，若ABA，则AB补集的概念UAx|xU且xA补集的性质(1
4、)UU，UU，U(UA)A，A(UA)U，A(UA)；(2)若AB，则UAUB；反之，若UAUB，则AB；(3)若AB，则UAUB；反之，若UAUB，则AB；(4)U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB) 知识点二常用逻辑用语1全称量词命题与存在量词命题的否定命题类型否定存在量词命题：xM，p(x)否定为全称量词命题：xM，p(x)全称量词命题：xM，q(x)否定为存在量词命题：xM，q(x)命题p命题p的否定(p)真假假真2常见的否定词语正面词语()是都是任意(所有)存在至多有1个至少有1个或且否定词语()不是不都是某个不存在至少有2个1个也没有且或3.充分条件与必要条件p与q
5、满足的关系p是q的_条件pq且qp充分不必要pq且qp必要不充分pq且qp(pq)充要pq且qp既不充分也不必要第二章等式与不等式 知识点等式与不等式1等式与不等式的性质等式的性质文字语言符号语言性质1等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立如果ab，那么对任意c，都有acbc性质2等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立如果ab，那么对任意不为零的c，都有acbc不等式的性质别名性质内容注意性质1可加性如果ab，那么acbc可逆性质2可乘性如果ab，c0，那么acbcc的符号性质3可乘性如果ab，c0，那么acbcc的符号性质4传递性如果ab，bc，那么ac同向性质5对称
6、性abba可逆推论1移项法则如果abc，那么acb可逆推论2同向可加性如果ab，cd，那么acbd同向推论3同向同正可乘性如果ab0，cd0，那么acbd同向同正推论4可乘方性如果ab0，那么anbn(nN，n1)同正推论5可开方性如果ab0，那么同正2.等式与不等式的运用比较大小的方法方法依据应用范围作差法ab0ab；ab0ab；ab0ab整式、分式的大小比较比较大小的方法作商法a0，b0，则1ab；1ab；1ab乘积式、指数式的大小比较a0，b0，则1ab；1ab；1ab乘方法a2b2，且a0，b0ab无理数(式)的大小比较十字相乘法对于二次三项式Ex2FxG，如果能找到a，b，c，d，使
7、得Eac，Gbd，且Fadbc，则Ex2FxG(axb)(cxd)一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根是x1，x2，那么x1x2，x1x23.常用结论重要不等式a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立基本不等式(a0，b0)，当且仅当ab时，等号成立基本不等式的变形(1)2(a，b同号)，2(a，b异号)；(2)(ab)4(ab0)；(3)(a，b0).说明：上述不等式均为当且仅当ab时等号成立最值定理设x，y都是正数.(1)若xyS(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值；(2)若xyP(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2.说明：应用均值不等式求最
8、值的条件为“一正、二定、三相等”第三章函数 知识点一函数的图像函数的图像变换平移变换函数yf(xa)(a0)的图像可以由函数yf(x)的图像沿x轴向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位长度得到；函数yf(x)a(a0)的图像可以由函数yf(x)的图像沿y轴向上(a0)或向下(a0)平移|a|个单位长度得到对称变换函数yf(x)的图像可由函数yf(x)的图像作关于y轴的对称变换得到；函数yf(x)的图像可由函数yf(x)的图像作关于x轴的对称变换得到；函数yf(x)的图像可由函数yf(x)的图像作关于原点的对称变换得到翻折变换作函数yf(|x|)的图像，可先作函数yf(x)的图像，保留函数y
9、f(x)的图像在y轴上及y轴右侧的部分，并将y轴左侧的图像换成y轴右侧的图像沿y轴翻折而成的图像即可；作函数y|f(x)|的图像，可先作函数yf(x)的图像，保留函数yf(x)的图像在x轴上及x轴上方的部分，并将x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方即可 知识点二函数的单调性条件一般地，设函数yf(x)的定义域为D，且ID，如果对任意x1，x2I，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)结论则称yf(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)则称yf(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)图示自左向右图像逐渐上升自左向右图像逐渐下降判断方法任取x1，x2D，x1x2，那么当x1x
10、2时，f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在区间D上单调递增；当x1x2时，f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在区间D上单调递减1常见函数的单调性函数单调性一次函数yaxb(a0)a0时，在R上单调递增；a0时，在R上单调递减反比例函数y(a0)a0时，单调递减区间是(，0)和(0，)；a0，单调递增区间是(，0)和(0，)二次函数ya(xm)2n(a0)a0时，单调递减区间是(，m，单调递增区间是m，)；a0时，单调递减区间是m，)，单调递增区间是(，m对勾函数yx(p0)单调递增区间是(，和，)，单调递减区间是，0)和(0，.2.单
11、调函数的运算性质f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)增函数增函数增函数不能确定单调性增函数减函数不能确定单调性增函数减函数减函数减函数不能确定单调性减函数增函数不能确定单调性减函数3.函数的最值最大值最小值定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0D：如果对任意xD，都有f(x)f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0D：如果对任意xD，都有f(x)f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点几何意义函数的最大值对应其图像最高点的纵坐标函数的最小值对应其图像最低点的纵坐标常
12、用结论(1)如果函数yf(x)在区间a，b上单调递增，那么函数yf(x)，xa，b在xa处取得最小值，在xb处取得最大值；(2)如果函数yf(x)在区间a，b上单调递减，那么函数yf(x)，xa，b在xa处取得最大值，在xb处取得最小值；(3)如果函数yf(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，那么函数yf(x)，xa，c在xb处取得最大值；(4)如果函数yf(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，那么函数yf(x)，xa，c在xb处取得最小值 知识点三函数的奇偶性1函数的奇偶性定义的等价式奇函数定义的等价式：f(x)f(x)f(x)f(x)0或1(f(x)0)；偶
13、函数定义的等价式：f(x)f(x)f(x)f(x)0或1(f(x)0)常用结论(1)如果一个奇函数在原点处有定义，那么一定有f(0)0.有时可以用这个结论来判定一个函数不是奇函数；(2)奇函数的图像关于原点对称，且在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数的图像关于y轴对称，且在关于原点对称的区间上有相反的单调性上述结论可简记为“奇同偶异”2.奇偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设非零函数f(x)，g(x)的定义域分别是F，G，若FG，则有下列结论：f(x)g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)f(x)g(x)fg(x)偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定奇偶性奇函数
14、偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数注意：上述表格中不考虑f(x)g(x)0；fg(x)中，需xG，g(x)F.3函数图像的对称性轴对称函数yf(x)在定义域内恒满足的条件函数yf(x)的图像的对称轴f(ax)f(ax)直线xaf(x)f(ax)直线xf(ax)f(bx)直线x中心对称函数yf(x)在定义域内恒满足的条件函数yf(x)图像的对称中心f(ax)f(ax)2b点(a，b)f(x)f(ax)b点f(ax)f(bx)c点 知识点四函数与方程、不等式之间的关系零点的意义方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点函数零点存在定理
15、如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数yf(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即x0(a，b)，f(x0)0二分法二分法的解题原理是函数零点存在定理. 通过二分法使有解区间逐步缩小，体现“无限逼近思想”1二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系000二次函数yax2bxc(a0)的图像一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个相异的实数根x1，x2有两个相等的实数根x1x2没有实数根一元二次不等式的解集ax2bxc0(a0)x|xx1或xx2xR|xRax2bxc0(a0)x|x1xx22.不等式恒成立问题的解法(1)a0时，ax2bxc0(0)对任意实数x恒成立的条件是()(2)对于参数较易分离且分离后函数的最值易求的问题都可以采用分离参数法，其常用的结论是：g(a)f(x)(g(a)f(x)恒成立等价于g(a)f(x)max(g(a)f(x)min)3方程f(x)0(f(x)ax2bxc，a0)的根的分布问题根的分布图像所需条件x1x2kkx1x2x1kx2f(k)0x1，x2(k1，k2)x1，x2中有且仅有一个在(k1，k2)内f(k1)f(k2)0或f(k1)0，k1或f(k2)0，k2
