1、河北省保定市2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）考生注意：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分考试时间120分钟2请将各题答案填写在答题卡上3本试卷主要考试内容：新教材人教A版必修第一册第一章至四章第2节第卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ）A. 大于1且小于10的实数B. 欧洲的所有国家C. 广东省的省会城市D. 早起的人【答案】D【解析】【分析】由集合的性质：确定性判断选项中描述的元素是否能构成集合即可.【详解】A：可表示为；B：所有欧洲国家；C
2、：广州都满足确定性；而D：早起的人不符合元素的确定性，不能构成集合故选：D2. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】若，则成立，即必要性成立，反之若，则不成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3. 下图中可以表示以x为自变量的函数图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x，都有唯一确定的数y与之对应.【详解】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x，都有唯一确定的数y与之对应，所以ABD选
3、项的图象不是函数图象，故排除,故选：C.4. 下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】对于A，B，C举反例可判断，对于D利用不等式的性质可判断【详解】若，则，成立，而此时，所以A错误；，B错误；，C错误；由不等式同向可加性知D正确故选：D5. 下列函数中，不能化为指数函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数概念直接判断选择.【详解】对于A，是指数函数；对于B，不是指数函数；对于C，是指数函数；对于D，是指数函数故选：B.6. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据
4、不等式的解法，以及基本不等式，分别化简两集合，再由并集和补集的概念，即可得出结果.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立；即，所以；又，所以故选：A.7. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由不等式得或，结合偶函数及已知条件确定区间单调性，即可求其解集.详解】若，则等价于，在上单调递减，有，由上，若，则等价于，由偶函数在上单调递增，则，即得，综上，的解集为故选：A8. 关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为(-3，1)，则关于x的不等式cx2+bx+a0的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题
5、意，且是ax2+bx+c=0的两根，进一步找到的关系，带入原不等式化简解不等式即可.【详解】因为不等式ax2+bx+c0的解集为(-3，1)，所以即不等式cx2+bx+a0等价于3x2-2x-10，解得或x1.故选：C二、选择题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9. 已知函数，则（ ）A. 是增函数B. 是偶函数C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据函数解析式，先分别判断单调性，以及奇偶性，再求函数值，即可得出结果.【详解】对于函数当时，显然单调递增；当时，是开口向上，对称轴为的二次函数，所
6、以在上单调递增；且，所以函数在定义域内是增函数；A正确；又，所以，故C错；对于函数，所以是偶函数，B正确；又，所以，D正确；故选：ABD.10. 下列结论不正确的是（ ）A. “xN”是“xQ”的充分不必要条件B. “xN*，x2-30”是假命题C. ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2c2”是“ABC是直角三角形”的充要条件D. 命题“x0，x2-30”的否定是“x0，x2-30”【答案】BC【解析】【分析】根据充分不必要条件的定义可判断A；举例可判断B；根据充要条件定义可判断C；全称量词命题的否定是存在量词命题可判断D.【详解】自然数一定是有理数，有理数不一定是自然数
7、，所以“xN”是“xQ”的充分不必要条件，A正确；12-30，所以“xN*，x2-30”是真命题，B错误；因为a2+b2c2，所以C90，ABC是直角三角形，但是ABC是直角三角形不一定意味着C90，所以“a2+b2c2”是“ABC是直角三角形”的充分不必要条件，C错误；全称量词命题的否定是存在量词命题，D正确.故选：BC.11. 已知实数x，y满足-1x+y3，42x-y9，则（ ）A. 1x4B. -2y1C. 24x+y15D. 【答案】AC【解析】【分析】根据不等式的基本性质同向可加性可判断AB，把和分别转化再利用不等式的性质可判断CD.【详解】因为，所以，A正确；因为，所以，解得，B
8、错误；，所以，C正确；，所以，D错误.12. 若集合A具有以下性质：集合中至少有两个元素；若，则xy，且当 时，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是（ ）A. 整数集是“紧密集合”B. 实数集是“紧密集合”C. “紧密集合”可以是有限集D. 若集合A是“紧密集合”，且x，则【答案】BC【解析】【分析】根据“紧密集合”具有性质逐一排除即可.【详解】A选项：若，而，故整数集不是“紧密集合”，A错误；B选项：根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确；C选项：集合是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；D选项：集合是“紧密集合”，当，时，D错误故选：BC.【点睛】新定义题目
9、的关键在于正确理解定义，从题意入手.第卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13. 已知集合，若，则_【答案】【解析】【分析】根据集合相等，列出方程求解，得出，从而可得出结果.【详解】因为集合，所以解得从而.故答案为：.14. 已知函数，若，则_.【答案】5【解析】【分析】先利用换元法求解出原函数的解析式，然后利用得出的值.【详解】令，则，.因为，所以，解得.故答案为：【点睛】求解复合函数的解析式时，只需用换元法，令，用含的式子表示出然后代入原函数解析式便可得出的解析式.15. 已知幂函数的图象关于轴对称，则不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】由题意得
10、，解方程可得或，由于此函数的图象关于轴对称，所以可得，从而可得不等式为，解不等式可得答案【详解】因为是幂函数，所以，解得或，又因为的图象关于y轴对称，所以，原不等式整理得，解得故答案为：16. 已知实数，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】由已知等式可得，利用配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值.【详解】由得：，又，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则
11、必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. 在一次函数的图象过，两点，关于的不等式的解集为，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.问题：已知_，求关于的不等式的解集.【答案】选择见解析；解集为.【解析】【分析】先根据所选择的条件求出的值，然后代入并求解二次不等式即可得到答案.【详解】解：若选，由题得解得将代入所求不等式整理得：，解得或，故原不等式的解集为：.若选，因为不等式的
12、解集为，所以解得将代入不等式整理得，解得或，故原不等式的解集为：.若选，若，解得，不符合条件；若，解得，则符合条件.将代入不等式整理得，解得或，故原不等式的解集为：.【点睛】本题主要考查根据集合的运算及包含关系求参数的值，考查一元二次不等式的解法，较简单.解答时，根据所选择的条件确定出参数的取值是解答的关键.18. 集合Ax|x2-ax+a2-130，Bx|x2-7x+120，Cx|x2-4x+30.（1）若ABBC，求a的值；（2）若AB，AC，求a的值.【答案】（1）a4或a-1；（2）a-3.【解析】【分析】求出集合B、C再根据元素互异性，即可求解.结合题目条件分情况讨论即可.【详解】解
13、：（1）因为B3，4，C1，3，所以BC3.又因为ABBC，所以3A，4A，即9-3a+a2-130，解得a4或a-1.当a4时，A1，3，符合题意；当a-1时，A-4，3，符合题意.故a4或a-1.（2）因为，所以3A，4A.又因为，所以1A，即1-a+a2-130，解得a4或-3.当a4时，A1，3，不符合条件；当a-3时，A1，-4，符合条件.故a-3.19. （1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；（2）已知是定义在上的奇函数，且当时，求的解析式【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据的定义域可求得，结合分式和偶次根式定义域要求可构造不等式组求得结果；（2）利用奇函数的定义
14、可求得时的解析式，又，由此可得函数解析式.【详解】（1）定义域为，解得：或，的定义域为.（2）当时，则，奇函数，又是定义域为的奇函数，.20. 某商品的日销售量（单位：千克）是销售单价（单位：元）的一次函数，且单价越高，销量越低把销量为0时的单价称为无效价格已知该商品的无效价格为150元，该商品的成本价是50元/千克，店主以高于成本价的价格出售该商品（1）若店主要获取该商品最大的日利润，则该商品的单价应定为多少元？（2）通常情况下，获取商品最大日利润只是一种“理想结果”，如果店主要获得该商品最大日利润的64%，则该商品的单价应定为多少元？【答案】（1）商品的单价应定为100元；（2）商品的单价
15、应定为70元或130元【解析】【分析】（1）先设，根据题中条件，求出，设该商品的日利润为元，由题中条件，得到，根据二次函数的性质，即可求出结果；（2）由（1），根据题中条件，可得，求解，即可得出结果.【详解】（1）依题意可设，将，代入，解得，即设该商品的日利润为元，则因为，所以当时，最大，且最大值为，故若店主要获取该商品最大的日利润，则该商品的单价应定为100元，（2）由题得，即，解得或，故若店主要获得该商品最大日利润的64%，则该商品的单价应定为70元或130元【点睛】思路点睛：求解给定函数模型的问题，一般需要根据题中条件，得出对应函数关系式，再结合函数的性质等，即可求出结果.21. 已知正
16、数x，y满足，且的最小值为k（1）求k（2）若a，b，c为正数，且，证明：【答案】（1）3；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）整体代入可得，由基本不等式可得；（2）由（1）得，再利用基本不等式直接可以得证.【详解】（1）正数x，y，且，所以，又因为，所以，当且仅当时取等号，故；（2）证明：由（1）得，因为a，b，c为正数，所以，当且仅当时取等号，同理可得，当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，+得，当且仅当时取等号【点睛】结论点睛：利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”22
17、. 已知是定义在R上的奇函数.（1）求的解析式；（2）已知，且，若对于任意，存在，使得成立，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性，代入特殊值求解即可（2）构造函数，利用函数的性质，判断出的单调性，使得成立等价于成立，进而求解【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，所以，即，解得，则.（2）令，由（1）可知.易证函数与均是上的减函数，则是上的减函数，且.令，对于任意，存在，使得成立等价于成立，即.若，则在上单调递减，故，解得；若，则在上单调递增，故，解得.综上所述，a的取值范围为.【点睛】解题关键在于，构造函数，进而利用不等式的恒成立关系得到得成立等价于成立，进而利用指数函数的单调性，可求出的范围，主要考查学生的数形结合的运用，属于中档题
