1、第四讲 数学归纳法证明不等式一 数学归纳法学习目标1.理解并掌握数学归纳法的概念，运用数学归纳法证明等式问题；2学会运用数学归纳法证明几何问题、证明整除性等问题 课堂互动讲练 知能优化训练 一 数学归纳法课前自主学案 学习目标 课前自主学案 1数学归纳法适用于证明一个与_有关的命题 2数学归纳法的步骤是：(1)(归纳奠基)_；(2)(归纳递推)假设当nk(kN，且kn0)时命题成立，_(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切nn0的自然数都成立无限多个正整数验证当nn0(n0为命题成立的起始自然数)时命题成立推导nk1时命题也成立思考感悟在数学归纳法中的n0是什么样的数？提示：n0是适合命题
2、的正整数中的最小值，有时是n01或n02，有时n0值也比较大，不一定是从1开始取值 用数学归纳法证明：nN时，113 13512n12n1n2n1.课堂互动讲练 用数学归纳法证明等式问题考点突破 例1【证明】(1)当 n1 时，左边 113，右边121113，左边右边，等式成立(2)假设 nk(k1)时，等式成立，即有 113 13512k12k1k2k1，则当 nk1 时，113 13512k12k112k12k3k2k112k12k3 k2k312k12k3 2k23k12k12k3 k12k3k12k11.nk1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切 nN等式都成立【名师点评】运用数
3、学归纳法证明时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是证明的归纳基础，步骤(2)是证明的主体，它反映了无限递推关系变 式 训 练 1 求 证：(n 1)(n 2)(n n)2n135(2n1)(nN)证明：(1)当n1时，等式左边2，等式右边212，等式成立(2)假设nk(kN)等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)成立 那么nk1时，(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)2k1135(2k1)2(k1)1 即nk1时等式也成立 由(1)(2)可知对任何nN等式均成立 用数学归纳法证明几何问题例2平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于两
4、点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成了f(n)n2n2部分【思路点拨】用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当nk1时比nk时分点增加了多少，区域增加了几块，本题中第k1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就得到了解决【证明】(1)当n1时，一个圆把平面分成两部分，且f(1)1122，因此，n1时命题成立(2)假设nk(k1)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)k2k2部分如果增加一个满足条件的任一个圆，则这个圆必与前k个圆交于2k个点这2k个点把这个圆分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分因此，
5、这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k部分，即有 f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.即当nk1时，f(n)n2n2也成立 根据(1)、(2)，可知n个圆把平面分成了f(n)n2n2部分【名师点评】有关诸如此类问题的论证，关键在于分析清楚nk与nk1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起f(k)与f(k1)之间的递推关系 变式训练 2 平面内有 n(nN)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这 n 条直线把平面分成 f(n)n2n22个部分证明：(1)当 n1 时，一条直线把平面分成两部分，而 f(1)121222，命
6、题成立(2)假设当 nk(k1)时命题成立，即 k 条直线把平面分成 f(k)k2k22个部分则当nk1时，即增加一条直线l，因为任何两条直线不平行，所以l与k条直线都相交,有k个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k个交点不同于k条直线的交点，且k个交点也互不相同，如此k个交点把直线l分成k1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加了k1个平面部分 f(k1)f(k)k1k2k22k1k2k22k22k12k122.当 nk1 时命题也成立由(1)(2)可知当 nN时，命题成立用数学归纳法证明整除性例3 用数学归纳法证明(x1)n1(x2)2n1(nN)能被x23x3整除【思路点拨
7、】证明多项式的整除问题，关键是在(x1)n1(x2)2n1中凑出x23x3.【证明】(1)当n1时，(x1)11(x2)211x23x3能被x23x3整除，命题成立(2)假设当nk(k1)时，(x1)k1(x2)2k1能被x23x3整除，那么(x1)(k1)1(x2)2(k1)1(x1)(x1)k1(x2)2(x2)2k1(x1)(x1)k1(x1)(x2)2k1(x1)(x2)2k1(x2)2(x2)2k1(x1)(x1)k1(x2)2k1(x23x3)(x2)2k1.因为(x1)k1(x2)2k1和x23x3都能被x23x3整除，所以上面的式子也能被x23x3整除 这就是说，当nk1时，(
8、x1)(k1)1(x2)2(k1)1也能被x23x3整除 根据(1)(2)可知，命题对任何nN都成立【名师点评】用数学归纳法证明数或式的整除性问题时，常采取加项、减项的配凑法，而配凑的方法很多，关键是凑成nk时假设的形式 变式训练3 求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除(nN)证明：(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立(2)假设当nk(k1)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1 aak1(a1)2(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由
9、归纳假设，以上两项均能被a2a1整除，故当nk1时，命题也成立 由(1)、(2)可知，对nN命题都成立 误区警示 例证明：12 122 123 12n1 12n1 12n(其中 nN)【错证】(1)当 n1 时，左边12，右边11212，等式成立(2)假设当 nk(k1)时，等式成立，就是12 122 123 12k1 12k1 12k，那么12 122 123 12k1 12k 12k112112k11121 12k1.这就是说，当 nk1 时，等式也成立根据(1)和(2)可知，等式对任何 nN都成立【错因】从形式上看，会认为以上的证明是正确的，过程甚至是完整无缺的，但实际上以上的证明却是错
10、误的错误的原因在第(2)步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当 nk1 时式子12 122 12312k1 12k 12k1的和，而没有利用“归纳假设”，这是在用数学归纳法证题时极易犯的一种错误，要引以为戒，一定要引起同学们的足够重视【自我校正】(1)当 n1 时，左边12，右边11212，等式成立(2)假设当 nk(k1)时，等式成立，就是12 122 123 12k1 12k1 12k，那么12 122 123 12k1 12k 12k11 12k 12k11212k1 1 12k1.这就是说，当 nk1 时，等式也成立根据(1)和(2)可知，等式对任何 nN都成立方法感悟 1数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步中验证n的初始值至关重要，它是递推的基础，但n的初始值不一定是1，而是n的取值范围内的最小值 2第二步证明的关键是运用归纳假设在使用归纳假设时，应分析p(k)与p(k1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发,从p(k1)中分离出p(k)再进行局部调整 3在研究探索性问题时，由特例归纳猜想的结论不一定是真命题，这时需要使用数学归纳法证明，其一般解题步骤是：归纳猜想证明
