1、1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系学 习 目 标核 心 素 养1.了解命题的四种形式，能写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题(重点)2理解并掌握四种命题之间的关系及其真假性之间的关系(易混点)3能够利用命题的等价性解决有关问题(难点)借助命题的等价性解题培养数学抽象、逻辑推理素养.1四种命题的概念及结构(1)四种命题的概念对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命
2、题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题(2)四种命题结构2四种命题间的相互关系(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系思考：(1)“abc0”的否定是什么？(2)在原命题、逆命题、否命题和逆否命题四个命题中，真命题的个数会是奇数吗？提示(1)“abc0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数1命题“若m10，则m
3、2100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A原命题、否命题B原命题、逆命题C原命题、逆否命题D逆命题、否命题C原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确故选C2给出以下命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；若一个四边形的对角互补，则它内接于圆；正方形的四条边相等；圆内接四边形的对角互补；对角不互补的四边形不内接于圆；若一个四边形的四条边相等，则它是正方形其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_和，和和，和和，和互为逆命题有和，和；互为否命题有和，和；互为逆否命题有和，和.3已知命题p：若x，则cos x，则命题p的逆命题为_；
4、命题p的否命题为_；命题p的逆否命题为_答案若cos x，则x若x，则cos x若cos x，则x写出原命题的其他三种命题【例1】写出下列各个命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)若sin ，则tan ；(2)若ab是偶数，则a，b都是偶数；(3)等底等高的两个三角形是全等三角形；(4)当1x2时，x23x20；(5)若ab0，则a0或b0.解(1)逆命题：若tan ，则sin .否命题：若sin ，则tan .逆否命题：若tan ，则sin .(2)逆命题：若a，b都是偶数，则ab是偶数否命题：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数逆否命题：若a，b不都是偶数，则ab不是偶数(3)逆命题：若两个三
5、角形全等，则这两个三角形等底等高否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高(4)逆命题：若x23x20，则1x)小于(b，则ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为()A0个B1个C2个D4个(2)判断命题“若a0，则x2xa0有实根”的逆否命题的真假思路点拨(1)只需判断原命题和逆命题的真假即可(2)思路一思路二(1)C当c0时，ac2bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2bc2，则ab”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C(2)解法
6、一：原命题的逆否命题：若x2xa0无实根，则a0.x2xa0无实根，14a0，解得a0，方程x2xa0有实根，故原命题为真命题原命题与其逆否命题等价，原命题的逆否命题为真命题判断命题真假的方法(1)解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证.(2)原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可.2判断下列四个命题的真假，并说明理由(1)“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若xy，则x2y2”的逆否命题；(3)“若x3，则x2x60”的否命题；(4)“对顶角相
7、等”的逆命题解(1)命题“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题(2)令x1，y2，满足xy，但x2y，则x2y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若xy，则x2y2”的逆否命题也是假命题(3)该命题的否命题为“若x3，则x2x60”，令x4，满足x3，但x2x660，不满足x2x60，则该否命题是假命题(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角等价命题的应用探究
8、问题1命题“若x1，则x22x30”的等价命题是什么，其命题真假如何？提示：等价命题为“若x22x30，则x1”，其为假命题2当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题【例3】证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.思路点拨证明其逆否命题成立原命题成立证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”若ab0，则ab，ba.f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)
9、，f(a)f(b)f(a)f(b)即原命题的逆否命题为真命题原命题为真命题1若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题2当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集是空集，则a0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真，从而原命题为真1写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定p和结论q的否定q；(3)按照四种命题的结构写出所求命题2每一个命题都由条件和结
10、论组成，要分清条件和结论3判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础1判断正误(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”()(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题()(3)命题“若ABA，则ABB”的逆否命题是“若ABB，则ABA”()答案(1)(2)(3)2命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ()A1B2C3D4B原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a6，则a3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.3命题“若m1，则mx22x10无实根”的等价命题是_若mx22x10有实根，则m1原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx22x10有实根，则m1”4写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假(1)若ab，则ac2bc2；(2)在二次函数yax2bxc中，若b24acbc2，则ab，真命题否命题：若ab，则ac2bc2，真命题逆否命题：若ac2bc2，则ab，假命题(2)逆命题：在二次函数yax2bxc中，若图象与x轴无交点，则b24ac0，真命题否命题：在二次函数yax2bxc中，若b24ac0，则图象与x轴有交点，真命题逆否命题：在二次函数yax2bxc中，若图象与x轴有交点，则b24ac0，真命题
