1、北京市第一七一中学2019-2020学年度第一学期高二年级数学期中考试试题一、选择题1.设直线的方向向量，直线的方向向量，若，则实数m的值为（ ）A. 1B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】由可得出，然后计算即可【详解】因为，所以因为，所以解得,故选：B.【点睛】本题考查的是空间向量的坐标运算，较简单.2.椭圆的短轴长为（ ）A. 2B. 6C. 4D. 12【答案】C【解析】【分析】由椭圆标准方程求出，求出即得.【详解】由椭圆，得，所以椭圆的短轴长为为4.故选：.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题.3.设抛物线上一点到直线的距离是，则点到该抛物线焦点的距离是A. 12B.
2、 8C. 6D. 4【答案】C【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到直线x=-2的距离求得点到准线的距离，进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，从而求得答案解答：解：抛物线y2=8x的准线为x=-2，点P到直线x=-2的距离为6，点p到准线x=-2的距离是6，根据抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是6，故选C4.已知双曲线的左、右焦点分别为、，在左支上过的弦的长为5，若，那么的周长是（ ）A. 16B. 18C. 21D. 26【答案】D【解析】【分析】由双曲线的定义可得，又，可求周长.【详解】由双曲线的定义可得，又，又，周长.故选：.【点睛】
3、本题考查焦点三角形的周长，属于基础题.5.已知双曲线C： (a0，b0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据渐近线的方程可求得的关系,再根据与椭圆有公共焦点求得即可.【详解】双曲线C的渐近线方程为,可知,椭圆的焦点坐标为(3,0)和(3,0),所以a2b29,根据可知a24,b25.故选：B.【点睛】本题主要考查了双曲线与椭圆的基本量求法,属于基础题型.6.椭圆上的点到直线：的距离的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设直线与直线平行且与椭圆相切，设直线，代入椭圆方程，令，求出，两平行线间的
4、距离即为椭圆上的点到直线的距离的最小值.【详解】设直线与直线平行且与椭圆相切，且直线，由，得.令，得或（舍）.所以直线与直线的距离为，所以椭圆上的点到直线：的距离的最小值为.故选：.【点睛】本题考查与椭圆有关的最值问题，考查学生的计算能力，属于基础题.7.在椭圆上有一点P，F1、F2是椭圆的左、右焦点，F1PF2为直角三角形，这样的点P有（ ）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个【答案】C【解析】【分析】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点对、张开的角最大，可得当轴或轴时，也满足题意即可得出【详解】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点对、张开的角最大，此时这样的点P有两个；当轴或轴时，也满足题意这
5、样的点P有4个；因此为直角三角形，则这样的点有6个故选C【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（ ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分【答案】B【解析】【详解】以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 设是运动轨迹上任一点，且，则， 所以， 所以，即，即且， 所以点的运动轨迹为椭圆的一部分，故选B点睛：本题考查轨迹方程的求解问题，对于求轨迹方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用条件建立之间
6、的关系；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程(4)代入(相关点)法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程二、填空题9.直三棱柱中，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意，画出图形，利用空间向量的线性运算即可表示出.【详解】如图所示因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题.10.双曲线的离心率为_，渐近线方程为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由双曲线的标准方程求出，即求离心率和渐近线方程.【详解】由双曲线，可得，所以离心
7、率，渐近线方程.故答案为：；.【点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单性质的应用，属于基础题.11.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为_.【答案】【解析】【分析】因为双曲线过点，所以焦点在轴上，且，又渐近线方程为，求出，即可写出双曲线的标准方程.【详解】因为双曲线过点，所以焦点在轴上，且，又渐近线方程为，所以双曲线的标准方程为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线标准方程，属于基础题.12.已知ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是_【答案】【解析】试题分析：由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可
8、得ABC的周长为4a=4，所以，答案为4.考点：椭圆的定义，椭圆的几何性质点评：简单题，涉及椭圆的焦点弦时，往往要运用椭圆的定义13.如图所示，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，、分别是、的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于_.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出的坐标，写出向量的坐标，用两向量的夹角公式求出余弦值.【详解】建立空间直角坐标系，如图所示则，所以异面直线和所成角的余弦值等于.故答案为：.【点睛】本题考查异面直线所成的角，属于基础题.14.已知是抛物线：焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则_.【答案】6【解析】【分析】求出抛物线的焦点的坐标，准线方程，
9、由题意可得点的横坐标，由抛物线的定义可求，又，即求.【详解】抛物线：的焦点，准线方程，由题意可得，点的横坐标为1，由抛物线的定义可得，.故答案为：6.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题.15.已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为_【答案】【解析】【分析】由抛物线定义可得，由此可知当为与抛物线的交点时，取得最小值，进而求得点坐标.【详解】由题意得：抛物线焦点为，准线为作，垂直于准线，如下图所示：由抛物线定义知：（当且仅当三点共线时取等号）即的最小值为，此时为与抛物线的交点 故答案为【点睛】本题考查抛物线线上的点到焦点的距离与到定点距离之和最
10、小的相关问题的求解，关键是能够熟练应用抛物线定义确定最值取得的位置.16.已知椭圆：的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列三个命题：点的轨迹关于轴对称；的最小值为2；存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个，其中，所有正确命题的序号是_【答案】【解析】分析：运用椭圆的定义可得也在椭圆上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断正确；通过的变化，可得不正确.详解：椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，设，点在椭圆上，且满足，由椭圆定义可得，即有在椭圆上，对于，将换为方程不变，则点的轨迹
11、关于轴对称，故正确.；对于，由图象可得，当满足，即有，即时，取得最小值，可得时，即有取得最小值为，故正确；对于，由图象可得轨迹关于轴对称，且，则椭圆上满足条件的点有个，不存在使得椭圆上满足条件的点有个，故不正确.，故答案为.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，属于难题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.三、解答题17.已知椭圆的两焦点为，离心率.（1）求此椭圆的方程；（2）设直线：，若与此椭圆相交于、两点，求的长.
12、【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得，由离心率可得，再根据，求出，即得椭圆的方程；（2）由直线方程和椭圆方程联立，消，求出方程的两根，再由弦长公式求的长.【详解】（1）由题意可得，又离心率，所以椭圆的方程为.（2）直线的斜率，由消，可得，设方程的两根为，则，.【点睛】本题考查椭圆方程和弦长公式，属于基础题.18.已知抛物线：经过点，其焦点为.直线与抛物线相交于点、.（1）求抛物线的方程以及焦点的坐标；（2）求证：.【答案】（1）抛物线的方程为，焦点；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）把点代入抛物线：，求出，可得抛物线的方程及焦点的坐标；（2）设，将直线方程与抛物线方程
13、联立，消，利用韦达定理证明，即证.【详解】（1）抛物线：经过点，.抛物线的方程为，焦点.（2）设，由消，得，即，.【点睛】本题考查抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，属于基础题.19.如图1，在中， ， 分别为， 的中点，为的中点，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.（1）求证：；（2）求直线和平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，可证；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用向量的方法求直线和平面所成角的正弦值.【详解】（1）连接.图1中， 分别为， 的中点，即，又为的中点，.又平
14、面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，.（2）取中点，连接，则.由（1）可知平面，平面.以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，.，.设平面的法向量为，则，即，令，则，.设直线和平面所成的角为，则，所以直线和平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角，考查学生的运算能力，属于中档题.20.如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直， ，.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值； （）判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求 出的值，若不存在，说明理由【答案】（）见解析；（）；（）【解析】【分析】（）根据线线平行得线面平
15、行平面，平面，再根据线面平行得面面平行平面平面，最后由面面平行性质得结论，（）先根据面面垂直得线面垂直平面，再得线线垂直，类似可得进而建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面法向量，利用向量数量积得两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果，（）先设，再利用方程组解得平面法向量，最后根据两法向量数量积为零解得结果.【详解】（）由底面为平行四边形，知，又因为平面，平面， 所以平面.同理平面，又因为，所以平面平面.又因为平面，所以平面 （）连接,因为平面平面，平面平面，所以平面. 则.又因为， 所以平面，则. 故两两垂直，所以以所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系
16、，则， 所以,，为平面的一个法向量.设平面一个法向量为， 由，得 令，得. 所以. 如图可得二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. （）结论：线段上存在点，使得平面平面. 证明如下：设，所以. 设平面的法向量为，又因为，所以，即 令，得.若平面平面，则，即， 解得.所以线段上存在点，使得平面平面，且此时. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21.已知椭圆：（）的离心率为，的面积为1.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上一点
17、，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（）根据离心率为，即，OAB的面积为1，即，椭圆中列方程组进行求解；（）根据已知条件分别求出的值，求其乘积为定值.【详解】（）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（）由（）知，设，则.当时，直线的方程为.令，得，从而.直线的方程为.令，得，从而.所以.当时，所以.综上，为定值.【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力.【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.
