1、椭圆的简单几何性质（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013安阳高二检测)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.2.(2013汝阳高二检测)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,一个焦点的坐标是(3,0),则椭圆的标准方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=13.若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为,则m等于()A.B.C.D.4. (2013新课标全国卷)设椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2F1F2,PF1F2=30,则C的离心率为()A. B. C. D
2、.5.设椭圆+=1(ab0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在()A.圆x2+y2=2上B.圆x2+y2=2内C.圆x2+y2=2外D.以上三种情况都有可能二、填空题(每小题8分,共24分)6.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为.7.(2013沧州高二检测)椭圆的焦点在y轴上,一个焦点到长轴的两端点的距离之比是14,短轴长为8,则椭圆的标准方程为.8.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知椭圆
3、x2+(m+3)y2=m(m0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.10.已知椭圆+=1(ab0),若椭圆的离心率e满足e,且+=2,求椭圆长轴长的取值范围.11.(能力挑战题)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,F1PF2=60.(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.答案解析1.【解析】选B.由条件知2a+2c=22b,a+c=2b,从而(a+c)2=4b2=4(a2-c2),解得e=.2.【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在x轴上,且解得a=5,b=4,方程为+=1.【变式备选】(2013北京高二检测)离心率为
4、,且过点(4,0)的椭圆的标准方程是()A.+=1B.+=1或+=1C.x2+4y2=1D.+=1或+=1【解析】选D.由条件知,(4,0)为椭圆的一个顶点.若a=4且=,则b2=4,方程为+=1.若b=4且=,则a2=64,方程为+=1.3.【解析】选B.椭圆的焦点在x轴上,且e=,=,解得m=.【举一反三】若把题中“焦点在x轴上”去掉,结果会怎样?【解析】当椭圆焦点在x轴上时,由=得m=.当椭圆焦点在y轴上时,由=得m=.m的值是或.4.【解题指南】利用已知条件解直角三角形,将PF1,PF2用半焦距c表示出来,然后借助椭圆的定义,可得a,c的关系,从而得离心率.【解析】选D.因为PF2F1
5、F2,PF1F2=30,所以PF2=2ctan 30=c,PF1=c.又PF1+PF2=2c=2a,所以=,即椭圆的离心率为.5.【解题指南】判断点P(x1,x2)与圆的位置关系,就是判断点P与圆心(0,0)的距离与半径的大小关系,利用根与系数的关系表示成关于离心率的关系式,再判断位置关系.【解析】选B.由题意e=,+=(x1+x2)2-2x1x2=+=+1=2-=0,方程可化为x2+=1.椭圆的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,2=221,解得m=.答案:7.【解析】由条件知,=且2b=8,解得a2=25,b2=16.又椭圆的焦点在y轴上,所求的椭圆的标准方程为+=1.答案:+=18.【解
6、题指南】设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得=3(1-),因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3(1-)=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2x02,所以当x0=2时,取得最大值+2+3=6.答案:6【误区警示】解题中容易不考虑x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.9.【解题指南】解决本题的关键是确定m的值,应先将椭圆方程化为标准形式,根据分母的大小确定焦点的位置.用m表示a,b,c,再由e=求出m的值.
7、【解析】椭圆方程可化为+=1,m-=0,m,即a2=m,b2=,c=.由e=得=,m=1.椭圆的标准方程为x2+=1.a=1,b=,c=.椭圆的长轴长为2,短轴长为1;两焦点坐标分别为(-,0),(,0);四个顶点坐标分别为(-1,0),(1,0),(0,-),(0,).10.【解题指南】由+=2把b2用a2表示,代入关于离心率的不等式组中,求出2a的范围.【解析】由+=2得b2=,e2=1-,又e,1-,结合b2=可得,a2,a,即2a,故长轴长的取值范围是,.11.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(ab0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60=(m+n)2-3mn=4a2-3mn4a2-3()2=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).,即e.又0e1,e的取值范围是,1).(2)由(1)知mn=b2,=mnsin60=b2,即PF1F2的面积只与短轴长有关.
