1、广东省湛江市第二十一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 时间:120分钟 满分150分学校:_姓名:_班级:_考号:_一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.)1已知集合,则( )ABCD2复数z满足,则( )ABCD3国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开,这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告,其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的必须是奥运宣传广告,且2个奥运宣传广告不能相邻播放,则不同的播放方式有( )A120
2、种B48种C36种D18种4在等差数列中,则( )ABCD5函数的图像大致是( )ABCD6“”是“函数在上为单调函数”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7直线l与双曲线的一条渐近线平行,且l过抛物线的焦点,交C于A,B两点,若,则E的离心率为( )A2BCD8已知是定义在上的奇函数,是的导函数,且满足,则不等式的解集为( )A B C D 二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分, 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9已知圆锥曲线:,若三个数1,7成等差数列,则的离心率为( )A B
3、 C D10下列说法中正确的是( )A设随机变量X服从二项分布,则B已知随机变量X服从正态分布且,则C;D已知随机变量满足,若,则随着x的增大而减小,随着x的增大而增大11函数的图象如图,把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度,可得到函数的图象,下列结论正确的是( )AB函数的最小正周期为C函数在区间上单调递增 D函数关于点中心对称12关于函数,下列判断正确的是( )A是的极大值点 B函数有且只有1个零点C存在正实数,使得成立D对两个不相等的正实数,若,则.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13已知m,n均为正数,且,则的最小值为_.14的展开式中的系数为_.15一个口袋中有
4、7个大小相同的球,其中红球3个,黄球2个,绿球2个.现从该口袋中任取3个球,设取出红球的个数为,则_.16已知是椭圆的两个顶点,直线与直线相交于点,与椭圆相交于两点,若,则斜率的值为_四、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,本大题共6小题,共70分)17.(本题满分10分)的内角的对边分别为已知(1)求;(2)若,当的周长最大时,求它的面积18(本题满分12分)已知数列满足(,),且,(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的前项和19(本题满分12分)如图,在等腰梯形中,将沿着翻折,使得点到点,且(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成角的余弦值20(本题满分12分)某市教育
5、科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握,提高命题质量,对该市高三联考理综试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的考生中随机抽取了100名考生的理综成绩,将数据分成7组:160,180),180,200),200,220),220,240),240,260),260,280),280,300.并整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,求直方图中x的值;(2)用频率估计概率,从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取3个,记理综成绩位于区间220,260)内的个数为y,求y的分布列及数学期望E(y);(3) 若变量S满足P(S+)0.6827,且P(2S+2 )0.954
6、5,则称S近似服从正态分布N(,2),若该市高三考生的理综成绩近似服从正态分布N(225,225),则给予这套试卷好评,否则差评,试问:这套试卷得到好评还是差评?21(本题满分12分)已知椭圆:()的左焦点为,且椭圆经过点,直线与椭圆交于,两点(异于点)(1)求椭圆的方程;(2)证明:直线与直线的斜率之和为定值,并求出该定值22(本题满分12分)已知函数.(1)若存在极值,求的取值范围;(2)当时,求证:.参考答案一、单项选择题1A2B3C4C5B6A7B8D8【详解】,在为减函数,而,在上,;在上,;而,在上,又函数为奇函数,在上.不等式等价于或,.故选:D.二、多项选择题9BC10ABD1
7、1BC12BD12、【详解】A.函数的定义域为,函数的导数,在上,函数单调递减,上,函数单调递增,是的极小值点,即A错误;B.,函数在上单调递减,且,函数有且只有1个零点,即B正确;C.若,可得,令,则,令,则,在上,函数单调递增,上函数单调递减,在上函数单调递减,函数无最小值,不存在正实数,使得恒成立,即C不正确;D.令,则,令,则,在上单调递减,则,令,由,得,则,当时,显然成立,对任意两个正实数,且,若,则,所以.故D正确.故选:BD.三、填空题13、4 14、40 15、 16、或16【详解】由题可知,该椭圆的方程为,直线,的方程分别为,设,其中,联立方程,故,由,知,由点D在直线AB
8、上,则,所以或故答案为:或四、 解答题17、【详解】(1)由正弦定理得:,2分,4分,;5分;(2)由余弦定理得:,6分(当且仅当时取等号),8分,当时,周长取得最大值,9分此时.10分18、()证明:当时,1分 2分,3分数列是以2为首项,公比为2的等比数列 4分()解: 5分, 7分, 8分:, 10分12分19、(1)证明:由等腰梯形,得又,所以1分又,则,所以2分又,所以平面,3分所以平面平面4分(2)如图,取的中点,连接,由四边形为菱形,且,得,记垂足为,5分由(1)知,平面平面,又,所以平面6分同理,平面,所以OA,两两垂直, 如图,建立以,为,轴正方向的空间直角坐标系则,所以,所
9、以,8设平面的法向量为,所以,即,不妨设,得所以平面的一个法向量为10分设直线与平面所成角为,11分12分20、(1)由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)201,1分解得x0.0075;2分(2)用频率估计概率,可得从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取1个,理综成绩位于220,260)内的概率为(0.0125+0.0075)200.4,3分所以随机变量y服从二项分布B(3,0.4),4分故P(yk)C3k0.4k0.63k,k0,1,2,3,故y的分布列为 y0123 P0.216 0.4320.2880.0647分则E(y)30.41.2;
10、8分(3)记该市高三考生的理综成绩为z,由题意可知,P(210z240)P(200z240)20(0.011+0.0125)0.470.6827,10分P(195z255)P(180z260)20(0.0095+0.011+0.0125+0.0075)0.810.9545,11分所以z不近似服从正态分布N(225,225),所以这套试卷得到差评.12分21、(1)由题意得:,2分则,3分椭圆C的方程为4分(2)设,联立5分化简可得:,6分因为直线与椭圆交于两点7分化简得:,解得,由根与系数的关系得:,8分记直线PA,PB的斜率为,9分10分11分所以直线的斜率之和为定值112分22、(1)函数的定义域为,1分当时,对任意的,故在上单调递增,无极值;2分当时,当时,单调递增;3分当时,单调递减.4分故在处取得极大值,无极小值.综上所述,若存在极值,则的取值范围为.5分(2)当时,.设,其定义域为,则证明即可.6分,设,则,7分故函数在上单调递增.,.有唯一的实根,且,8分.当时,;当时,9分故函数的最小值为.11分.12分