1、数学归纳法 选修2-2 2.3.1（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法。（2）不完全归纳法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法。归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法。如何解决不完全归纳法 存在的问题呢？必须寻找一种用有限个步骤，就 能处理完无限多个对象的方法。归纳法 多米诺骨牌原理演示 在数学研究中，人们会遇到这样的情况，对于任意正整数n或不小于某个数n0 的任意正整数n，都有某种关系成立。因此多米诺原理使我们分析出一种重要的数学推理方法-数学归纳法 与正整数有关的命题 例如：14+2
2、7+310+n(3n+1)=n(n+1)2 (nN+)n22n(nN+,N5),)3)(3(21nnn我们常采用数学归纳法来证明：由不完全归纳法猜想得到的某些与正整数有关的数学命题的正确性.（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立 （2）假设当n=k(k N,k n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立。这种证明方法叫做 数学归纳法 k=2,k+1=2+1=3 k=3,k+1=3+1=4 k=10,k+1=10+1=11 数学归纳法 例:用数学归纳法证明:对一切正整数n,有 1+3+5+(2n-1)=n2 数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。主要有两个步骤
3、、一个结论:第一步：验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 第二步：假设n=k(kN，且k n0)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确 结论：由（1）、（2）得出结论正确 找准初值 用上假设 写明结论 数学归纳法主要步骤 练习:用数学归纳法证明对一切正整数n 21 明确初始值n0，验证真假。（必不可少）“假设n=k时命题正确”，写出命题形式。证明“n=k+1时”命题成立。分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项。注意用上假设 要作结论 用数学归纳法证明恒等式注意事项：（1）数学归纳法是一种完全归纳法的证明方法它适用于与正整数有关的
4、问题。（2）两个步骤，一个结论缺一不可，否则结论不能成立。（3）在证明递推步骤时，必须使用归纳假设。递推基础不可少归纳假设要用到结论写明莫忘掉归纳法完全归纳法不完全归纳法穷举法数学归纳法学习收获 思考:数学归纳法能证明所有与正整数有关的数学问题么?四色猜想 哥德巴赫猜想 费马大定理 _97531_;7531_531_;31.,)12()1(531,并加以证明的结果猜想出通过计算下面的式子nn,5,4,3,2:别 是上 面 四 个 式 子 的 结 果 分解nnnn)1()12()1(531:由此猜想:下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明.,1,1)1(即 这 时 等 式 成 立式 子 左 右 两 边 都 等 于时当n时当即时等式成立假设当1)1()12()1(531,)1()2(knkkkknkk用数学归纳法证明等式问题
