1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.2空间向量基本定理学 习 任 务核 心 素 养1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解(难点)3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法(重点、难点)1.通过基底概念的学习，培养数学抽象素养.2.通过用空间向量基本定理，解决简单的立体几何问题，发展直观想象、数学运算、逻辑推理等素养.平面向量基本定理表明，在给定的平面内，当向量a与b不共线时，任意一个向量c都可以写成a与b的线性运算，而且表达式唯一空间向量有没有类似的结论？如果有，尝试归纳出来，如果没有说明理由知识点1空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面
2、，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc.其中a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底对于基底a，b，c，三个基向量a，b，c中能否有一个为0?提示因为向量0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此三个基向量均不为0.(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底(2)一个基底是指一个向量组，而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间向量的基底是唯一的()(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，
3、c均为非零向量()(3)已知A，B，M，N是空间四点，若，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面()(4)若a，b，c是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xaybzc0，则有xyz0.()提示(1)任意三个不共面向量都可以作为空间的一个基底(2)若a，b，c中有一个零向量，则a，b，c三向量共面不能构成基底(3)，不能构成空间的一个基底，则三向量共面，且有公共起点B，因此A，B，M，N四点共面(4)a，b，c不共面，则必有xyz0.知识点2空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底常用i，j，k表示(2)
4、向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得axiyjzk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间的单位正交基底是唯一的()(2)单位正交基底中每一个基向量是单位向量()(3)对于单位正交基底i，j，k,2j0i2j0k.()提示(1)不唯一(2)由单位正交基底的定义可知正确(3)由向量正交分解知正确 类型1空间的基底【例1】e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底解假设，共面
5、，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使xy成立，e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)，即e12e2e3(y3x)e1(xy)e2(2xy)e3，e1，e2，e3是空间的一个基底，e1，e2，e3不共面此方程组无解即不存在实数x，y使得xy，所以，不共面所以，能作为空间的一个基底基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底假设ab c，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底
6、；若无解，则不共面，能作为基底依托正方体，用从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，构造所需向量，判断它们是否共面跟进训练1已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a，向量b，则与a，b不能构成空间基底的是()ABC D或C由(ab)知与a，b共面所以a，b，不能构成空间的基底，故选C2若a，b，c是空间的一个基底，试判断ab，bc，ca能否作为空间的一个基底？解假设ab，bc，ca共面，则存在实数，使得ab(bc)(ca)，即abab()c.a，b，c是空间的一个基底，a，b，c不共面此方程组无解即不存在实数，使得ab(bc)(ca)，ab，bc，ca不共面故ab，bc，ca能作为空间的
7、一个基底 类型2用空间的基底表示空间向量【例2】(对接教材P12例题)如图，在三棱柱ABCABC中，已知a，b，c，点M，N分别是BC，BC的中点，试用基底a，b，c表示向量，.解连接AN(图略)()()(abc)()()abc.若把本例中“a”改为“a”，其他条件不变，则结果是什么？解因为M为BC的中点，N为BC的中点，所以()ab.()()()bac.基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘跟进训练3.如图，
8、四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示：，.解连接BO(图略)，则()(cba)abc.()abc.()ac(cb)abc.a. 类型3空间向量基本定理的应用【例3】在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CGCD(1)证明：EFB1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值解(1)证明：设i，j，k，则i，j，k构成空间的一个正交基底所以k()ijk，ik，所以(ik)|i|2|k|20，所以EFB1C(2)ijk，kj，|22|i|2|j|2|k|23，|，|22|
9、k|2|j|24，|，cos，.本例中设线段A1B的中点为M，证明：MFB1C解设i，j，k，则ik，ik(ik)，所以MFB1C基向量法解决平行、垂直及夹角问题首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的向量用基向量表示(1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0；(2)若证明线线平行，只需证明两向量共线；(3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)跟进训练4.在所有棱长均为2的三棱柱ABCA1B1C1中，B1BC60，求证：(1)AB1BC；(2)A1C平面AB1C1.证明(1)易知，120，则()22220.所以AB1BC(2)易知四边形AA1C1C为菱形，所以
10、A1CAC1.因为()()()()2242240，所以AB1A1C，又AC1AB1A，所以A1C平面AB1C1.1在正方体ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间向量的一组基底的是()A，B，C，D，C只有选项C中的三个向量是不共面的，可以作为一个基底故选C2(多选题)在空间四点O，A，B，C中，若，是空间的一个基底，则下列命题正确的是()AO，A，B，C四点不共线BO，A，B，C四点共面，但不共线CO，A，B，C四点不共面DO，A，B，C四点中任意三点不共线ACD选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量，共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则，共面，构不成基底；选项C
11、对应的命题是正确的，若四点共面，则，构不成基底；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量，构不成基底，故选ACD3设a，b都是非零向量，2a3b，ab，则不重合的直线AB与CD()A相交B平行C垂直D无法判位置关系B由题意知，2，则ABCD，故选B4正方体ABCDA1B1C1D1中，取，为基底，若G为平面BCC1B1的中心，且xyz，则xyz_.2如图，().由条件知x1，y，z.xyz12.5已知e1，e2，e3为空间的一个基底，若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，且dabc，则，分别为_，1，abc(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3.又de12e23e3，解得回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)若a，b，c是空间的基底，则a，b，c满足什么条件？提示a，b，c不共面(2)叙述空间向量基本定理的内容提示如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc.(3)在用向量法解决平行、垂直、长度、夹角等问题时，如何选择空间的基底？提示选择三个不共面的向量，且它们的长度和相互之间的角度已知- 10 - 版权所有高考资源网
