1、 系列专题培优讲义数学系列专题培优讲义2024 一模压轴汇编24 届高三新结构一模压轴汇编一、单选题1.(2024广东深圳高三深圳中学开学考试)已知函数 f x满足 f x+y=f x+f y-2，f 1=4且当 x 0 时，f x 2，若存在 x 1,2，使得 f ax2-4x+f 2x=1，则 a 的取值范围是()A.0,12B.12,58C.58,23D.12,23【答案】D【解析】任取 x1,x2，且 x1 0，而当 x 0 时，f x 2，于是 f(x2-x1)2，又 f x+y=f x+f y-2，因此 f(x2)=fx1+(x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1)-2 f(x1
2、)，则函数 f(x)是增函数，而 f(ax2-4x)+f(2x)=f(ax2-4x)+2x+2=f(ax2-2x)+2=1，于是 f(ax2-2x)=-1，令 x=y=0，得 f(0)=2，令 x=1,y=-1，得 f(-1)=0，令 x=-1,y=-1，得 f(-2)=-2，令 x=-2,y=-1，得 f(-3)=-4，令 x=y=-32，得 f-32=-1，即有 f(ax2-2x)=f-32，因此 ax2-2x=-32，原问题即 2a=4x-3x2在 1,2有解，令 t=1x 12,1，则 2a=-3t2+4t=-3 t-232+43 在 t 12,1时有解，从而 2a 1,43，a 12
3、,23，所以 a 的取值范围是12,23.故选：D2.(2024广东深圳高三深圳中学开学考试)在椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)中，F1，F2 分别是左，右焦点，P 为椭圆上一点(非顶点)，I 为 PF1F2 内切圆圆心，若 SIF1F2SPF1F2=13，则椭圆的离心率 e 为()A.13B.12C.33D.32【答案】B【解析】椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)中，F1，F2分别是左，右焦点，P 为椭圆上一点(非顶点)，I 为 PF1F2内切圆圆心，设 PF1F2的内切圆半径为 r，则 SPF1F2=12 r PF1+PF2+F1F2=a+cr，SIF1F2=12 F1F
4、2r=cr，由 SIF1F2SPF1F2=ca+c=13，得 a+c=3c，即 a=2c，椭圆的离心率为 e=ca=12.故选：B.3.(2024广东中山高三中山纪念中学开学考试)已知 f x=lnx-ax3，g x=xex-lnx-x-34，若不等式 f xg x 0 的解集中只含有两个正整数，则 a 的取值范围为()A.ln327,ln28B.ln327,ln28C.ln232,ln327D.ln232,ln327【答案】C【解析】g x=xex-lnx-x-34 定义域为 0,+，g x=ex+xex-1x-1=x+1xex-1x，令 h x=xex-1，再 x 0 上 h x=ex x
5、+1 0，h x再 x 0 上单调递增，x 从+趋向于 0 时，xex趋向于 0，则 h x=xex-1 趋向于-1，设 h x0=x0ex0-1=0，即 x0ex0=1，x0=-lnx0，则在 x 0,x0上 h x-1,0，在 x x0,+上 h x 0,+，在 x 0,x0上 g x 0，g x在 0,x0上单调递减，在 x0,+上单调递增，g xmin=g x0=x0ex0-lnx0-x0-34=1+x0-x0-34=14 0，则 f xg x 0 等价于 f x 0，f x=lnx-ax3，定义域为 0,+，则 f x 0，即 lnx-ax3 0，等价于 a lnxx3，令 j x=
6、lnxx3，则 j x=x2-3x2lnxx32=x2 1-3lnxx32，1-3lnx e13，1-3lnx 0，解得 0 x 0，当 x e13,+时，j x 0，则 j x=lnxx3 在 0,e13上单调递增，在 e13,+上单调递减，即 j x的最大值在 x=e13 处取得，令 j x=lnxx3=0，解得 x=1，即函数与 x 轴交于点 1,0，函数 j x=lnxx3 当 x 由+0 时，lnx-，x3 0，则 j x=lnxx3-，当 x 由+0 时，lnx+，x3+，但 x3的增长要远远大于 lnx，则 j x=lnxx3 0，作 j x=lnxx3 图象如下：要使 a ln
7、xx3 解集中只含有两个正整数，只能是 2,3，j 4 a j 3，解得 ln464=ln232 a 0，则 ABC 是锐角三角形B.若 0，则 ABC 是钝角三角形C.若 0，则 ABC 是锐角三角形D.若 0，则 cosBcosC 0，B,C 为锐角，但是不能判断 A 的大小，故 A,B 错误；当 0 时，则 cosBcosC 0，B,C 中必有一个钝角，故此时 ABC 是钝角三角形，C 错误，D 正确，故选：D.6.(2024湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习)已知对任意实数 x 都有 f(x)=2ex+f(x)，f(0)=-1，若不等式 f(x)a(x-1)，(其中 a 0 x-12，f
8、(x)0 x-12 f(x)在区间-,-12上单调递减，在区间-12,+上单调递增令 h(x)=a(x-1)，由于 h(x)过定点(1,0)，则函数 f(x)和 h(x)图像如下图所示要使得 f(x)h(x)的解集中恰有两个整数，则有f(-2)h(-2)f(-1)h(-1)-5e2-3a-32e-2a解得：53e2 a 0，f1e=e1e+2ln 1e-1=e1e-3，由于 lne1e-ln3=1e-ln3 0，即有 e1e 3，所以 f1e=e1e-3 0故 f1ef 1 0，即 f x的零点所在区间为1e,1故选：C9.(2024湖北襄阳高三襄阳五中校考开学考试)已知在锐角 ABC 中，角
9、 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，C=3，c2=3sinAsinB，则 c 的取值范围为()A.0,3B.2,6C.1,3D.3,3【答案】B【解析】因为 c2=3sinAsinB=3sin B+CsinB=3sin 3+BsinB=332 cosBsinB+12 sin2B=334 sin2B-14 cos2B+14=312 sin 2B-6+14，在锐角 ABC 中，因为 0 B 2，0 C 2，即 0 23-B 2，所以 6 B 2，所以 3 2B ，即 6 2B-6 0，所以 c 2,6，故选：B.10.(2024湖北襄阳高三襄阳五中校考开学考试)已知双曲线 C:x2a2-y2b
10、2=1 a0,b0的左、右顶点分别为 A1,A2,F 为 C 的右焦点，C 的离心率为 2，若 P 为 C 右支上一点，PF FA2，记 A1PA2=0 2，则 tan=()A.12B.1C.3D.2【答案】A【解析】设 C 的焦距为 2c，点 P x0,y0，由 C 的离心率为 2 可知 c=2a,b=3a，因为 PF FA2，所以 x0=c，将 P c,y0代入 C 的方程得 c2a2-y20b2=1，即 y0=3b，所以 tanPA2F=3bc-a=3,tanPA1F=3bc-a=1，故 tan=tan PA2F-PA1F=3-11+31=12 故选:A11.(2024山东高三山东省实验
11、中学校联考开学考试)已知函数 f(x)=mx2-xlnx 存在极小值点 x0，且 f(x0)-e3，则实数 m 的取值范围为()A.0,1e2B.0,2e2C.0,1e3D.0,2e3【答案】D【解析】函数 f(x)=mx2-xlnx 的定义域为(0,+)，求导得 f(x)=2mx-1-lnx，当 m 0 时，函数 f(x)在(0,+)上单调递减，f(1)=2m-1 0，则存在 x1(0,1)，使得 f(x1)=0，当 x (0,x1)时，f(x)0，f(x)递增，当 x (x1,+)时，f(x)0 时，令 g(x)=f(x)=2mx-1-lnx，求导得 g(x)=2m-1x，显然 g(x)在
12、(0,+)上单调递增，当 x 0,12m时，g(x)0，函数 f(x)递增，于是 f(x)min=f12m=ln2m，当 2m 1，即 m 12 时，f(x)0，函数 f(x)在(0,+)上单调递增，函数 f(x)无极值，当 0 m 12 时，f12m 0，存在 x2 0,12m，使得 f(x2)=0，当 x (0,x2)时，f(x)0，函数 f(x)递增，当 x x2,12m时，f(x)0，函数 f(x)递减，函数 f(x)在 x=x2取得极大值，又 f1m2=2m-1+2lnm，令 h(x)=2x-1+2lnx,0 x 12，求导得 h(x)=-2x2+2x h 12=3-2ln2 0，则
13、 f1m2 0，存在 x312m,+，使得 f(x3)=0，当 x 12m,x3时，f(x)0，函数 f(x)递增，函数 f(x)在 x=x3取得极小值，因此 x3=x0，由 f(x0)=0，得 mx0=1+lnx02，f(x0)=mx20-x0lnx0=x0-x0lnx02-e3，即有 x0-x0lnx0+2e-3 1，求导得(x)=-lnx 0，函数(x)在(1,+)上单调递减，而(e3)=0，即有(x0)e3，显然 m=1+lnx02x0，令 u(x)=1+lnx2x,x e3，求导得 u(x)=-lnx2x2 0，即函数 u(x)在(e3,+)上单调递减因此 u(x)u(e3)=2e3
14、，即 m 2e3，又 2e3 12，则 0 m 2e3，所以实数 m 的取值范围为 0,2e3.故选：D12.(2024山东高三山东省实验中学校联考开学考试)已知向量 a,b,c 满足 a=b=2，a-b=2，2a-c=3，则 c-b的最大值为()A.3B.2 3C.3 3D.4 3【答案】C【解析】因为 a=b=a-b=2，所以可以构造如图正 OAB：使得：OA=a，OB=b，延长 OA 到 D，使得 OD=2a，以 D 为圆心，3 为半径作圆，因为 2a-c=3，所以 OC的终点 C 在这个圆上.所以 c-b=OC-OB=BC所以 BC BD+DC，而 BD=AD2+AB2-2 AB AD
15、cos120=2 3，CD=3.所以 c-b 3 3.故选：C13.(2024福建泉州高三福建省安溪第一中学校联考开学考试)已知正数 a,b,c 满足 ea=b=lnc,e 为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是()A.a+c 2bC.ac b2【答案】B【解析】由题设 a 0，则 b 1，且 a=lnb,c=eb，则 a+c=lnb+eb，令 f(x)=lnx+ex-2x 且 x 1，故 f(x)=1x+ex-2，令 g(x)=1x+ex-2，则 g(x)=ex-1x2 在(1,+)上递增，故 g(x)g(1)=e-1 0，所以 g(x)=f(x)在(1,+)上递增，故 f(x)f(1)
16、=e-1 0，所以 f(x)在(1,+)上递增，故 f(x)f(1)=e-2 0，即 lnx+ex 2x 在(1,+)上恒成立，故 a+c 2b，A 错，B 对；对于 ac,b2的大小关系，令 h(x)=exlnx-x2且 x 1，而 h(1)=-1 0，显然 h(x)在(1,+)上函数符号有正有负，故 exlnx,x2的大小在 x (1,+)上不确定，即 ac,b2的大小在 b (1,+)上不确定，所以 C、D 错.故选：B14.(2024福建高三校联考开学考试)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别 F1，F2，椭圆的长轴长为 2 2，短轴长为 2，P 为直线 x=2
17、b 上的任意一点，则 F1PF2的最大值为()A.2B.4C.3D.6【答案】D【解析】由题意有 a=2，b=1，c=1，设直线 x=2 与 x 轴的交点为 Q，设 PQ=t，有 tanPF1Q=PQF1Q=t3，tanPF2Q=PQF2Q=t，可得 tanF1PF2=tan PF2Q-PF1Q=t-t31+t23=2tt2+3=2t+3t2t2 3t=33，当且仅当 t=3 时取等号，可得 F1PF2的最大值为 6.故选：D15.(2024浙江高三浙江金华第一中学校考开学考试)已知直线 BC 垂直单位圆 O 所在的平面，且直线BC 交单位圆于点 A，AB=BC=1，P 为单位圆上除 A 外的
18、任意一点，l 为过点 P 的单位圆 O 的切线，则()A.有且仅有一点 P 使二面角 B-l-C 取得最小值B.有且仅有两点 P 使二面角 B-l-C 取得最小值C.有且仅有一点 P 使二面角 B-l-C 取得最大值D.有且仅有两点 P 使二面角 B-l-C 取得最大值【答案】D【解析】过 A 作 AM l 于 M，连接 MB、MC，如图所示，因为直线 BC 垂直单位圆 O 所在的平面，直线 l 在平面内，且直线 BC 交单位圆于点 A，所以 AC l，AM,AC 平面 AMC，AM AC=A，所以 l 平面 AMC，MC,MB 平面 AMC，所以 l MC，l MB，所以 BMC 是二面角
19、B-l-C 的平面角，设 BMC=，AMC=，AMB=，AM=t，则 =-，由已知得 t 0,2，AB=BC=1，tan=2t，tan=1t，tan=tan-=tan-tan1+tantan=2t-1t1+2t 1t=tt2+2，令 f t=tt2+2，则 f t=1 t2+2-t 2tt2+22=2+t2-tt2+22，当 t 0,2时，f t 0，f t单调递增，当 t 2,2时，f t f 0=0所以 t 0,2，当 t=2 时，f t取最大值，没有最小值，即当 t=2 时 tan 取最大值，从而 取最大值，由对称性知当 t=2 时，对应 P 点有且仅有两个点，所以有且仅有两点 P 使二
20、面角 B-l-C 取得最大值故选：D16.(2024浙江高三浙江金华第一中学校考开学考试)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为x-32+y2=1，且圆 C 与 x 轴交于 M,N 两点，设直线 l 的方程为 y=kx k0，直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点，直线 AM 与直线 BN 相交于点 P，直线 AM、直线 BN、直线 OP 的斜率分别为 k1,k2,k3，则()A.k1+k2=2k3B.2k1+k2=k3C.k1+2k2=k3D.k1+k2=k3【答案】A【解析】如图，由题意得 lAM:y=k1 x-2，与圆 C:x-32+y2=1 联立，消 y 整理得 x-21+k
21、21x-2k21+4=0，xM=2，xA=2k21+41+k21，A 2k21+41+k21,2k11+k21，同理可得 B 4k22+21+k22,-2k21+k22 kOA=kOB，2k11+k212k21+41+k21=-2k21+k224k22+21+k22，即 1+k1k2k1+2k2=0 k1k2-1，k2=-12 k1，设 P x0,y0，y0=k1 x0-2,y0=k2 x0-4,x0=2k1-4k2k1-k2,y0=-2k1k2k1-k2,P 2k1-4k2k1-k2,-2k1k2k1-k2，即 P 83,2k13，k3=2k1383=14 k1，k1+k2=12 k1=2k
22、3，故选：A17.(2024江苏镇江高三扬中市第二高级中学开学考试)已知斜率为 k k0的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点 F 且与抛物线 C 相交于 A,B 两点，过 A,B 分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为 A1，B1，若 ABB1与 ABA1的面积之比为 2，则 k 的值为()A.2B.12C.22D.2 2【答案】D【解析】如图所示：由抛物线 C：y2=4x，得 F 1,0，设直线 AB：y=k x-1，A x1,y1，B x2,y2，由 y2=4x,y=k x-1得 k2x2-2k2+4x+k2=0，所以 x1x2=1，x1+x2=2k2+4k2，由已知和抛物线定义知：SAB
23、B1SABA1=12 BB1A1B112 AA1A1B1=BB1AA1=BFAF=2，则有 x2+1=2 x1+1，即 x2=2x1+1，所以x2=2x1+1,x1x2=1,x1+x2=2k2+4k2,解得 x1=12，x2=2，k=2 2.故选：D18.(2024江苏镇江高三扬中市第二高级中学开学考试)已知函数 f x的定义域为 R，且 f x+x2 为奇函数，f x-2x 为偶函数令函数 g x=f x,x0,-f x,x0.若存在唯一的整数 x0，使得不等式g x02+a g x0 0 成立，则实数 a 的取值范围为()A.-8,-3 1,3B.-3,-1 3,8C.-3,0 3,8D.
24、-8,-3 0,3【答案】B【解析】f x+x2为奇函数，f x-2x 为偶函数,f-x+-x2=-f x-x2，f-x+2x=f x-2x，两式相减整理得 f x=2x-x2，g x=2x-x2,x0,x2-2x,x0.g x的图象如图所示：存在唯一的整数 x0，使得不等式 g x02+a g x0 0 成立，即存在唯一的整数 x0，使得不等式 g x0g x0+a 0 成立，当 a=0 时，g x02 0，显然不成立；当 a 0 时，需满足 g x0 0,-a只有一个整数解，g 1=1，g-1=3，则 1-a 3，即-3 a 0 时，需满足 g x0-a,0只有一个整数解，g 2=0，g
25、3=-3，g 4=-8，则-8-a-3，即 3 a 8.综上，实数 a 的取值范围为-3,-1 3,8.故选：B.二、多选题1.(2024广东深圳高三深圳中学开学考试)在空间直角坐标系 Oxyz 中，A 0,0,0，B 1,1,0，C 0,2,0，D-3,2,1，E x2,2,1在球 F 的球面上，则()A.DE 平面 ABCB.球 F 的表面积等于 100C.点 D 到平面 ACE 的距离等于 3 105D.平面 ACD 与平面 ACE 的夹角的正弦值等于 45【答案】AC【解析】平面 ABC 的一个法向量 n=(0,0,1)，DE=(x2+3,0,0)，则 n DE=0，又因为 DE 平面
26、 ABC，所以 DE 平面 ABC，A 正确；因为 A 0,0,0，B 1,1,0，C 0,2,0，则 AB BC，球心 F 在平面 xOy 上的投影点即 ABC 外接圆圆心 F(0,1,0)，设 F(0,1,z)，因为 FC=FD，则(1-2)2+z2=(0+3)2+(1-2)2+(z-1)2，得 z=5，即 F(0,1,5)，球半径 R=FC=26，球 F 表面积 S=4 26=104，B 错误；由 FE=R，(x2-0)2+(2-1)2+(1-5)2=26，得 x2=3，E(3,2,1)，AC=(0,2,0)，AE=(3,2,1)，设平面 ACE 的一个法向量 m=(a,b,c)，AEm
27、=0ACm=0，所以 3a+2b+c=02b=0，取 m=(1,0,-3)，AD=(-3,2,1)，点 D 到平面 ACE 的距离等于ADmm=-3-312+(-3)2=3 105，C 正确；同理可得平面 ACD 的一个法向量 s=(1,0,3)，平面 ACD 与平面 ACE 的夹角的余弦值等于sms m=1-91010=45，正弦值等于 35，D 错误.故选：AC.2.(2024广东深圳高三深圳中学开学考试)函数 f x=e-x，g(x)=|lnx|，h(x)=-kx+2，则下列说法正确的有()A.函数 F(x)=f(x)-h(x)至多有一个零点B.设方程 f(x)=g(x)的所有根的乘积为
28、 p，则 p (0,1)C.当 k=0 时，设方程 g(x)=h(x)的所有根的乘积为 q，则 q=1D.当 k=1 时，设方程 f(x)=h(x)的最大根为 xM，方程 g(x)=h(x)的最小根为 xm，则 xM+xm=2【答案】ABCD【解析】对于选项 A,令 F x=0，则 f x=h x，而 h x=-kx+2 恒过定点 0,2，当 k=0 时，h x=2，画出 f x=e-x与 h x=2 的图象，如图所示：则 F x=0 无零点，当 k 0 时，h x=-kx+2 恒过定点 0,2，则 f x=e-x与 h x=-kx+2 图象，如图所示：则 F x=0 有一个零点，故 F x=
29、0 至多有一个零点，A 正确;对于选项 B，画出 f x=e-x与 g x=lnx的图象，如图所示：其中 e-x1=-lnx1，e-x2=lnx2，由图象可知，e-x1 0,1，e-x2 0,1且 e-x2 e-x1，即 lnx2+lnx1=lnx2x1=e-x2-e-x1-1,0，故 x2x1 e-1,1 0,1，则 p 0,1，故 B 正确;对于选项 C,当 k=0 时，h x=2，即 lnx=2，求出 x1=e2,x2=e-2，故 q=x1x2=e2e-2=1，故 C 正确；对于选项 D,当 k=1 时，h x=-x+2，画出 f x=e-x与 h x=-x+2 的图象，如图所示：则 e
30、-xM=-xM+2，画出 g x=lnx与 h x=-x+2 的图象，如图所示：g x=h x的最小根为 xm，则-lnxm=-xm+2，由于 y=-lnx 与 y=e-x互为反函数，则关于 y=x 对称，而 y=-x+2 也关于 y=x 对称，故 e-xM=-xM+2 与-lnxm=-xm+2 相加得，-lnxm+e-xM=-xM+2-xm+2=2，即 xM+xm=2，故 D 正确.故选：ABCD3.(2024广东中山高三中山纪念中学开学考试)如图所示，四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，M,N分别为线段 AB,AD 上异于点 A 的动点，且满足 AM=AN，点 H 为 MN 的中点，
31、将点 A 沿 MN 折至点 A 处，使 AH 平面 BCD，则下列判断正确的是()A.若点 M 为 AB 的中点，则五棱锥 A-MBCDN 的体积为 14 23B.当点 M 与点 B 重合时，三棱锥 A-BCD 的体积为 16 23C.当点 M 与点 B 重合时，三棱锥 A-BCD 的内切球的半径为 4-2 3D.五棱锥 A-MBCDN 体积的最大值为 128 327【答案】ABD【解析】设 AM=x，因为 AM=AN，点 H 为 MN 的中点，所以 AH MN，且 AH=22 x，底面 MBCDN 的面积为 16-12 x2(0 x 4)，所以五棱锥 A-MBCDN 的体积为26 x 16-
32、12 x2(0 x 4).当点 M 为 AB 的中点时，五棱锥 A-MBCDN 的体积为26 2 16-12 22=14 23，A 正确.当点 M 与点 B 重合时，三棱锥 A-BCD 的体积为26 4 16-12 42=16 23，B 正确.连接 HC，因为 AH HC,AC=AB=AD=BC=4，所以三棱锥 A-BCD 的表面积为 16+2 34 42=8 2+3，设三棱锥 A-BCD 内切球的半径为 r，则 13 r 8 2+3=16 23，解得 r=4 2-2 6，C 错误.五棱锥 A-MBCDN 的体积 V(x)=26 x 16-12 x2(0 0，得 0 x 4 63；令 V x
33、0，得 4 63 x 4.所以 V(x)max=V 4 63=128 327，D 正确.故选：ABD4.(2024广东中山高三中山纪念中学开学考试)已知定义域为 0,+的函数 f x满足 f x+xf x=ex,f 1=1数列 an的首项为 1，且 f an+1=f an-1an+1，则()A.f ln2=log2eB.f x 1C.a2023 a2024D.0 an 1【答案】ABD【解析】xf x=f x+xf x=ex，xf x=ex+c取 x=1 可得 f 1=e+c，由 f x+xf x=ex，令 x=1，得 f 1+f 1=e f 1=1，c=-1，f x=ex-1x，f ln2=
34、1ln2=log2e，故 A 正确；设 x=ex-x-1，则 x=ex-1，当 x 0 时，x 0 时，x 0，所以 x在-,0上单调递减，在 0,+上单调递增，(x)min=0=0，x=ex-x-1 0，即 ex x+1，当且仅当 x=0 时，等号成立故 f x 1，故 B 正确由 f an+1=f an-1an+1，得 f an+1=ean+1-1an+1=f an-1an+1，即 ean+1=f an，所以 ean+1=ean-1an，anean+1=ean-1 an+1-1=an，即 an ean+1-1 0，因为函数 f x定义域为 0,+，所以 an 0，有 ean+1-1 0，即
35、 an+1 0，下证数列 an单调递减，即证 ean+1 ean，即证 ean-1an ean，即证 ean-1 anean，即证 1-anean-1 0 时，g x 0，g an g 0=0，所以 an+1 an，即数列 an单调递减，所以 0 a2024，故 C 错误，D 正确故选：ABD.5.(2024湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习)若 f x是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x=1 对称，且对任意 x1,x2 0,12，都有 f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，则下列说法正确的是()A.f 1一定为正数B.2 是 f x的一个周期C.若 f 1=1，则 f 20234=1
36、D.若 f x在 0,12上单调递增，则 f(1)12024【答案】BCD【解析】因为 f x=0 符合条件，故 A 错误；因为偶函数 f x的图像关于直线 x=1 对称，所以 f x+2=f-x=f x，故 B 正确；因为对任意 x1，x2 0,12，都有 f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，所以对任意 x 0,1，取 x1=x2=x2 得f(x)=f x22 0；若 f 1=1，即 f(1)=f122=f144=1，故 f14=1，由 2 是 f x的周期得 f 20234=f 506-14=f-14=f14=1，故 C 正确；假设 f(1)=12024，由 f(1)=f122=f14
37、4=12024 及 f x 0，x 0,1，得 f12=12024，f14=14 2024，故 f14 f12，这与 f x在 0,12上单调递增矛盾，故 D 正确.故选：BCD6.(2024湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习)已知 A,C 两点位于直线 l 两侧，B，D 是直线 l 上两点，且 ABD 的面积是 CBD 的面积的 2 倍，若 AC=12-1x-sinxAB+1+f xAD，下列说法正确的是()A.f x为奇函数B.f x在2，单调递减C.f x在0,2有且仅有两个零点D.f x是周期函数【答案】ABC【解析】设 AC 与直线 l 交于 E，由题可得 AE=2EC，又 AC=12
38、-1x-sinxAB+1+f xAD，AE=23 AC=2312-1x-sinxAB+23 1+f xAD，2312-1x-sinx+23 1+f x=1，f x=1x+sinx，函数的定义域为-,0 0,+，又 f-x=-1x-sinx=-f x，函数 f x为奇函数，故 A 正确；因为函数 y=1x,y=sinx 在2，上为减函数，所以 f x在2，上单调递减，故 B 正确；由 f x=1x+sinx=0，可得 sinx=-1x，所以函数 f x在0,2的零点数即为 y=sinx 与 y=-1x 的交点数，结合函数 y=sinx,y=-1x 的图象可得 f x在0,2有且仅有两个零点，故
39、C 正确；因为 f x=1x+sinx，函数 sinx 为周期函数，而函数 1x 不是周期函数，故 f x不是周期函数，故D 错误.故选：ABC.7.(2024湖南邵阳高三邵阳市第二中学校考开学考试)已知函数 f x，g x的定义域均为 R，它们的导函数分别为 f x，g x，且 f x+g 2-x=5，g x-f x-4=3，若 g x+2是偶函数，则下列正确的是()A.g 2=0B.f x的最小正周期为 4C.f x+1是奇函数D.g 2=5，则2024k=1f k=2024【答案】ABD【解析】A 选项，g x+2为偶函数，故 g-x+2=g x+2，两边求导得，-g-x+2=g x+2
40、，令 x=0 得-g 2=g 2，解得 g 2=0，A 正确；B 选项，因为 f x+g 2-x=5，g-x+2=g x+2，所以 f x+g x+2=5，因为 g x-f x-4=3，所以 g x+2-f x-2=3，则相减得，f x+f x-2=2，又 f x-2+f x-4=2，则相减得 f x-f x-4=0，即 f x=f x-4，又 f x f x-2，故 f x的最小正周期为 4，B 正确；C 选项，假如 f x+1为奇函数，则 f-x+1+f x+1=0，当 x=1 时，可得 f 0+f 2=0，但 f x+f x-2=2，当 x=2 可得 f 2+f 0=2，显然不满足要求，
41、故 f x+1不是奇函数，C 错误；D 选项，因为 f x+g 2-x=5，所以 f 0+g 2=5，又 g 2=5，故 f 0=0，由 B 选项得 f x+f x-2=2，故 f 2+f 0=2，解得 f 2=2，且 f 3+f 1=2，由 B 选项知 f x的一个周期为 4，故 f 4=f 0=0，所以 f 1+f 2+f 3+f 4=4，则2024k=1f k=506 f 1+f 2+f 3+f 4=506 4=2024，D 正确.故选：ABD8.(2024湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习)如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD为 菱 形，BAD=60 ,AB=
42、AA 1=2,P 为 CC 1 的 中 点，点 Q 满 足 DQ=DC+DD1 0,1,0,1，则下列结论正确的是()A.若 +=13，则四面体 A1BPQ 的体积为定值B.若 A1BQ 的外心为 O，则 A1B A1O为定值 2C.若 A1Q=5，则点 Q 的轨迹长度为24D.若 =1 且 =12，则存在点 E A1B，使得 AE+EQ 的最小值为9+2 10【答案】ACD【解析】A 选项，在 CD,DD1上分别取 F,W，使得 DF=13 DC，DW=13 DD1，因为 DQ=DC+DD1，所以 DQ=3DF+3DW，因为 +=13，所以 3+3=1，即 DQ=3DF+1-3DW，故 DQ
43、-DW=3DF-3DW，即 WQ=3WF，所以 W,Q,F 三点共线，因为 WF CD1，A1B CD1，所以 WF AB1，故 WF 平面 PA1B，故点 Q 为平面 PA1B 的距离为定值，又 SPA1B 为定值，故四面体 A1BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，取 A1B 的中点 T，因为 A1BQ 的外心为 O，所以 OT A1B，又题意得 A1B=A1A2+AB2=2 2，则 A1B A1O=A1B A1T=2 2 2=4，B 错误；C 选项，取 AB 的中点 R，因为底面 ABCD 为菱形，BAD=60，故 DR DC，以 D 为坐标原点，以 DR，DC,DD1分别为 x,y
44、,z 轴，建立空间直角坐标系，故 A13,-1,2，设 Q 0,2,2，则 A1Q=3+2+12+2-22=5，化简得 2+12+2-22=2，点 Q 满足 DQ=DC+DD1 0,1,0,1，即点 Q 在正方形 CDD1C1内，包括边界，故 Q 点的轨迹为以 S-1,2为圆心，2 为半径的圆，落在正方形 CDD1C1内的部分，如图所示：因为 SH=2，SD1=1，故 D1H=2-1=1，故 SD1H 为等腰直角三角形，S=4，故点 Q 的轨迹长度为 4 2=24，C 正确；D 选项，若 =1 且 =12，DQ=DC+12 DD1，即 DQ=0,2,0+12 0,0,2=0,2,1，即 Q 0
45、,2,1，又 A13,-1,2，B3,1,0，设 E x1,y1,z1，设 EB=aA1B=0,2a,-2a,a 0,1，即3-x1,1-y1,-z1=0,2a,-2a，解得 x1=3,y1=1-2a,z1=2a，即 E3,1-2a,2a，AE+EQ=2-2a2+4a2+3+2a+12+1-2a2=8a2-8a+4+8a2+5=2 2a-122+14+a2+58，如图所示，设 KJ=12,GV=104,JG=12，且 KJ JG，JG GV，在线段 JG 上取一点 L，设 GL=a，则 LJ=12-a，故 KL+VL=a-122+14+a2+58，显然，直接连接 KV，此时 KL+VL 取得最
46、小值，最小值即为 KV，由勾股定理得 KV=12+1042+14=98+104，故 AE+EQ=2 2a-122+14+a2+58的最小值为 2 298+104=9+2 10，D 正确.故选：ACD9.(2024湖北武汉高三武钢三中校考开学考试)已知函数 f x，g x的定义域为 R，g x为 g x的导函数，且 f x+g x-8=0，f x-2-g 6-x-8=0，若 g x为偶函数，则下列一定成立的有()A.g 4=0B.f 1+f 3=16C.f 2023=8D.20n-1f n=160【答案】ABD【解析】由 g x是偶函数，则 g-x=g x，两边求导得-g-x=g x，所以 g
47、x是奇函数，故 g 0=0对于 A，由 f x+g x-8=0 f x-2+g x-2-8=0 f x-2=8-g x-2，代入 f x-2-g 6-x-8=0，得 8-g x-2-g 6-x-8=0，又 g x是奇函数，则 g x-2=-g 6-x=g x-6 g x+6-2=g x+6-6 g x+4=g x，所以 g x是周期函数，且周期为 4，g 0=g 4=0，故 A 正确；对选项 B，令 x=1 得，f 1+g 1-8=0，令 x=5 得，f 3-g 1-8=0，故 f 1+f 3=16，故 B 正确；对于 C：令 x=2023 得 f 2023+g 2023-8=0 f 2023
48、+g 4505+3-8=0，即 f 2023+g 3-8=0，若 f 2023=8，则 g 3=0，g 3=g-1+4=g-1=0但 g-1不一定为 0，故 C 错误；对于 D：令 x=4，得 f 4+g 4-8=f 4+g 0-8=0，故 f 4=8，g 2=g 2-4=g-2=-g 2，所以 g 2=0，令 x=2，得 f 2+g 2-8=0，则 f 2=8则 f 1+f 3=16，由 g x是以 4 为周期得 f x+g x-8=0，所以 20n=1f n=5 f 1+f 2+f 3+f 4=5 8+16+8=160，故 D 正确故选：ABD10.(2024湖北襄阳高三襄阳五中校考开学考
49、试)已知函数 f x，g x的定义域为 R，g x是 g x的导函数，且 f x+g x-8=0，f x-g 4-x-8=0，若 g x为偶函数，则()A.f 1+f 3=16B.f 4=8C.f-1=f-3D.2023k=1g k=0【答案】ABD【解析】因为 f x+g x-8=0，令 x=1，则 f 1+g 1-8=0，f x-g 4-x-8=0，令 x=3，则 f 3-g 1-8=0，联立可得 f 1+f 3=16，故 A 正确；由题可知 g x=-g 4-x，又因为 g x是偶函数，所以 g x是奇函数，由 g x=-g-x=-g 4-x可得 g x=g x+4，所以 g x的周期为
50、 4，又 g 0=-g 0，故 g 0=g 4=0，f x=8-g x，故 f 4=8-g 4=8，故 B 正确；因为 g-1=-g 1，由 g x=g x+4得 g-3=g 1，故 g-3=-g-1，又 f-3=8-g-3，f-1=8-g-1，若 f-3=f-1，则 g-3=g-1，可得-g-1=g-1，即 g-1=0，而 g-1不一定等于 0，故 C 错误；因为 g 1=-g 3，得 g 1+g 3=0，在 g x=-g 4-x中，令 x=2，可得 g 2=0，又 g 4=0，故 g 1+g 2+g 3+g 4=0，又 g x的周期为 4，所以2023k=1g k=505 0+g 1+g
51、2+g 3=0，故 D 正确.故选：ABD.11.(2024山东高三山东省实验中学校联考开学考试)在四棱锥 S-ABCD 中，ABCD 是矩形，AD SD,SDC=120,SD=CD=2BC=2,P 为棱 SB 上一点，则下列结论正确的是()A.点 C 到平面 SAD 的距离为3B.若 SP=PB，则过点 A,D,P 的平面 截此四棱锥所得截面的面积为 32C.四棱锥 S-ABCD 外接球的表面积为 17D.直线 AP 与平面 SCD 所成角的正切值的最大值为33【答案】ACD【解析】如图，对于 A，因为 AD SD,AD DC，又 SD DC=D,SD,DC 面 SDC，所以 AD 面 SD
52、C，所以点 A 到平面 SDC 的距离为 AD=BC=1，又因为 SDC=120,SD=CD=2，所以点 C 到平面 SAD 的距离为32 2=3，故 A 正确；对于 B，因为 SP=PB，所以点 P 为棱 SB 的中点，取 SC 中点为 Q，连接 PQ,DQ，可得平面 APQD 即平面 截此四棱锥所得截面，且由于 Q 是 SC 的中点，点 P 为棱 SB 的中点，所以在 SBC 中，PQ 是 SBC 的中位线，则 PQ=12 BC=12，PQ BC，又因为四边形 ABCD 是矩形，则 BC AD，所以 PQ/AD，因为 AD 面 SDC，AD 面 SDC，QC 面 SDC，所以四边形 APQ
53、D 是以 AD 为下底、PQ 为上底，DQ 为高的直角梯形，因为 SD=CD=2，在等腰三角形 SCD 中，QD BC，且 QD 平分 ADC，则 QD=CD cos 12 SDC=2 12=1，则平面 截此四棱锥所得截面的面积为 12 1+12 1=34，故 B 错误；对于 C，又因为 SDC=120,SD=CD=2，所以 SC=2cos30+2cos30=2 3，所以 2r=SCsinSDC=2 332=4，即 r=2，其中 r 为 SCD 外接圆半径，因为 AD 面 SDC，所以四棱锥 S-ABCD 外接球的半径为 R=r2+CD22=22+122=172，所以四棱锥 S-ABCD 外接
54、球的表面积为 17，故 C 正确；对于 D，因为 AD 面 SDC，所以直线 AP 与平面 SCD 所成角为 APD，所以当点 P 与点 B 重合时，APD 最大，积 tanAPDmax=33，故 D 正确.故选：ACD.12.(2024福建泉州高三福建省安溪第一中学校联考开学考试)学校食堂每天中午都会提供 A，B 两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种)，经过统计分析发现：学生第一天选择 A 套餐的概率为23，选择 B 套餐的概率为 13.而前一天选择了 A 套餐的学生第二天选择 A 套餐的概率为 14，选择 B套餐的概率为 34；前一天选择 B 套餐的学生第二天选择 A 套餐的概率为
55、12，选择 B 套餐的概率也是 12，如此反复.记某同学第 n 天选择 A 套餐的概率为 An，选择 B 套餐的概率为 Bn.一个月(30 天)后，记甲、乙、丙三位同学选择 B 套餐的人数为 X，则下列说法中正确的是()A.An+Bn=1B.数列 An-25是等比数列C.E X=1.5D.P X=1=36125【答案】AB【解析】由于每人每次只能选择 A，B 两种套餐中的一种，所以 An+Bn=1，所以 A 正确，依题意，An+1=An 14+1-An 12，则 An+1-25=-14 An-25n1,nN，又 n=1 时，A1-25=23-25=415，所以数列 An-25是以 415 为首
56、项，以-14 为公比的等比数列，所以 An-25=415 -14n-1,An=25-1615 -14n,Bn=1-An=35+1615 -14n，当 n 30 时，Bn=35+1615 -14n，所以 X B 3,35+1615 -14n,P X=1 36125,E X 95，所以 AB 正确，CD 错误，故选：AB.13.(2024福建高三校联考开学考试)如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是线段 DD1上的动点(不包括端点)，过 A，B1，E 三点的平面将正方体截为两个部分，则下列说法正确的是()A.正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的 3 倍B.存
57、在一点 E，使得点 A1和点 C 到平面 AEB1的距离相等C.正方体被平面 AEB1所截得的截面的面积随着 D1E 的增大而增大D.当正方体被平面 AEB1所截得的上部分的几何体的体积为 13 时，E 是 DD1的中点【答案】AC【解析】对于 A，正方体外接球的半径为32，内切球的半径为 12，可得正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的322122=3 倍，故 A 正确；对于 B，由点 A1和点 B 到平面 AEB1的距离相等，若点 A1和点 C 到平面 AEB1的距离相等，必有 BC 平面 AEB1，又由 BC AD，可得 AD 平面 AEB1，与 AD 平面 AEB1=A 矛盾，
58、故 B 错误；对于 C，如图，在 C1D1上取一点 F，使得 EF C1D，连接 B1F，设 D1E=a 0a1，由 EF C1D AB1，可得平面 AB1FE 为过 A，B1，E 三点的截面，在梯形 AB1FE 中，AB1=2，EF=2a，AE=12+1-a2=a2-2a+2，B1F=12+1-a2=a2-2a+2，梯形 AB1FE 的高为a2-2a+2-2-2a22=12 a2-a+32，梯形 AB1FE 的面积为 12 2+2a12 a2-a+32=12 a+1a2-2a+3=12a+12 a2-2a+3，令 f a=a+12 a2-2a+30a 0.可得函数 f a单调递增，可得正方体
59、被平面 AEB1所截得的截面面积随着 D1E 的增大而增大，故 C 正确；对于 D 选项，VE-AA1B1=13 12 1 1 1=16，VE-A1B1FD1=13 a 11-12 1 1-a=16 a2+a，被平面 AEB1所截得的上部分的几何体的体积为 16 a2+a+16=13，整理为 a2+a-1=0，解得 a=5-12，故 D 错误.故选：AC14.(2024福建高三校联考开学考试)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C:x23-y2=1 的右顶点为 A，直线 l 与以 O 为圆心，OA为半径的圆相切，切点为 P则()A.双曲线 C 的离心离为 2 33B.当直线 OP 与双曲
60、线 C 的一条渐近线重合时，直线 l 过双曲线 C 的一个焦点C.当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线平行吋，若直线 l 与双曲线 C 的交点为 Q，则 OQ=5D.若直线 l 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 D，E 两点，与双曲线 C 分别交于 M，N 两点，则DM=EN【答案】ABD【解析】对于 A 选项由 a=3，b=1，c=2，可得双曲线 C 的离心率为 e=23=2 33，故 A 选项正确；对于 B 选项，双曲线 C 的渐近线方程为 y=33 x由对称性，不妨设直线 l 与渐近线 y=-33 x 重合，点 P 位于第四象限，记直线 l 与 x 轴的交点为 T，由直线 y=-33
61、 x 的倾斜角为 56，有 POT=6，又由 OP=3，可得 OT=2又由 OF=2，故直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，故 B 选项正确；对于 C 选项，当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线平行时，由对称性，不妨设直线 l 的方程为 y=33 x+m(其中 m 0)，有m1+13=3，可得 m=-2，直线 l 的方程为 y=33 x-2，联立方程x3-y2=1,y=33 x-2,解方程组可得点 Q 的坐标为5 34,-34可得 OQ=7516+916=212，故 C 选项错误；对于 D 选项，设点 P 的坐标为 s,t，可得直线 l 的方程为 sx+ty=3其中 s2+t2=3联立方程
62、y=33 x,sx+ty=3,解得 x=3 33s+t，联立方程 y=-33 x,sx+ty=3.解得 x=3 33s-t，可得线段 DE 的中点的横坐标为 123 33s+t+3 33s-t=9s3s2-t2，联立方程x23-y2=1,sx+ty=3,，消去 y 后整理为 3s2-t2x2-18sx+3t2+27=0，可得线段 MN 的中点的横坐标为 12 18s3s2-t2=9s3s2-t，可得线段 DE 和 MN 的中点相同，故有 DM=EN，故 D 选项正确故选：ABD15.(2024浙江高三浙江金华第一中学校考开学考试)在平面直角坐标系中，将函数 f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转
63、(0 90)后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 f(x)为“旋转函数”.那么()A.存在 90 旋转函数B.80 旋转函数一定是 70 旋转函数C.若 g(x)=ax+1x 为 45 旋转函数，则 a=1D.若 h(x)=bxex 为 45 旋转函数，则-e2 b 0【答案】ACD【解析】对 A，如 y=x 满足条件，故 A 正确；对 B，如倾斜角为 20 的直线是 80 旋转函数，不是 70 旋转函数，故 B 错误；对 C，若 g(x)=ax+1x 为 45 旋转函数，则根据函数的性质可得，g(x)=ax+1x 逆时针旋转 45后，不存在与 x 轴垂直的直线，使得直线与函数有 1 个以上
64、的交点.故不存在倾斜角为 45 的直线与g(x)=ax+1x 的函数图象有两个交点.即 y=x+b bR与 g(x)=ax+1x 至多 1 个交点.联立y=ax+1xy=x+b可得 a-1x2-bx+1=0.当 a=1 时，-bx+1=0 最多 1 个解，满足题意；当 a 1 时，a-1x2-bx+1=0 的判别式 =b2-4 a-1，对任意的 a，都存在 b 使得判别式大于 0，不满足题意，故 a=1.故 C 正确；对 D，同 C，h(x)=bxex 与 y=x+a aR的交点个数小于等于 1，即对任意的 a，a=bxex-x 至多1 个解，故 g x=bxex-x 为单调函数，即 g x=
65、b 1-xex-1 为非正或非负函数.又 g 1=-1，故 b 1-xex-1 0，即 ex-b x-1恒成立.即 y=ex图象在 y=-b x-1上方，故-b 0，即 b 0.当 y=ex与 y=-b x-1相切时，可设切点 x0,ex0，对 y=ex求导有 y=ex，故ex0 x0-1=ex0，解得 x0=2，此时 b=-ex0=-e2，故-e2 b 0.故 D 正确.故选：ACD16.(2024浙江高三浙江金华第一中学校考开学考试)已知函数 f x，g x的定义域均为 R，且 f x+g 2-x=5，g x-f x-4=7若 x=2 是 g x的对称轴，且 g 2=4，则下列结论正确的是
66、()A.f x是奇函数B.3,6是 g x的对称中心C.2 是 f x的周期D.22k=1gk=130【答案】BD【解析】对于 A，因为 x=2 是 g x的对称轴，所以 g(2-x)=g(x+2)，又因为 f x+g 2-x=5，所以 f-x+g 2+x=5，故 f x=f-x，即 f x为偶函数，故 A 错误；对于 B，因为 g(x)-f(x-4)=7，所以 g(x+4)-f(x)=7，又因为 f(x)+g(2-x)=5，联立得 g(2-x)+g(x+4)=12，所以 y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，故 B 正确；对于 C，因为 f x+g 2-x=5，g 2=4，则 f 0+
67、4=5，即 f 0=1；因为 g x-f x-4=7，则 4-f-2=7，即 f-2=-3，则 f 2=-f-2=3；显然 f 2 f 0，所以 2 不是 f x的周期，故 C 错误；对于 D，因为 x=2 是 g x的对称轴，所以 g(6-x)=g(x-2)，又因为 g(2-x)+g(x+4)=12，即 g x+g 6-x=12，则 g x+g x-2=12，所以 g x+2+g x=12，所以 g x+2=g x-2，即 g x=g x+4，所以 g x周期为 4，因为 g x周期为 4，对称中心为 3,6，所以 g 3=6，当 x=4 时，代入 g x-f x-4=7，即 g 4-f 0
68、=7，所以 g 4=8，所以 g 4=g 0=8，又 x=2 是 g x的对称轴，所以 g 1=g 3=6，所以22k=1gk=5 6+4+6+8+6+4=130，故 D 正确，故选：BD.17.(2024江苏镇江高三扬中市第二高级中学开学考试)已知在伯努利试验中，事件 A 发生的概率为p 0p 1)，ABC 是以点 B(0,1)为直角顶点的等腰直角三角形，直角边 BA,BC 与椭圆分别交于另外两点 A,C若这样的 ABC 有且仅有一个，则该椭圆的离心率的取值范围是【答案】0,63【解析】不妨设直线 BA:y=kx+1(k 0)，则直线 BC:y=-1k x+1，联立方程得y=kx+1x2a2
69、+y2=1，得 1+a2k2x2+2a2kx=0，xA=-2a2k1+a2k2，用-1k 代替 k 得 xc=2a2ka2+k2，BA=1+k2 xA=2a2k 1+k21+a2k2,BC=1+1k2 xC=2a2 1+k2a2+k2由 BA=BC，得 k-1k2+1-a2k+1=0，该方程关于 k 已有一解 k=1，由于符合条件的 ABC 有且仅有一个，关于 k 的方程 k2+1-a2k+1=0 无实数解或有两个相等的实数解 k=1当方程无实数解时，a1=1-a22-40，解得 1 a 11-a2=-2，解得 a=3，1 0 在12,+上恒成立，则实数 m 的取值范围是.【答案】-,2 e+
70、ln2【解析】因为关于 x 的不等式 2ex-2xlnx-m 0 在12,+上恒成立，即 m2 ex-xlnx 在 x 12,+上恒成立.令 f x=ex-xlnx，则 f x=ex-lnx-1，令 g x=ex-lnx-1，则 g x=ex-1x，易得 g x在12,+上单调递增，又 g12=e-2 0，所以存在 x012,1，使得 g x0=0，即 ex0-1x0=0，则 x0=-lnx0，所以当 x 12,x0时，g x0 0，g x在 x0,+上单调递增，故 g(x)min=g x0=ex0-lnx0-1=1x0+x0-1 2-1=1 0，所以 f x 0 在12,+上恒成立，所以 f
71、 x在区间12,+上单调递增，所以 m2 f12=e-12 ln 12=e+12 ln2，所以 m 2 e+ln2，即实数 m 的取值范围是-,2 e+ln2.故答案为：-,2 e+ln23.(2024广东中山高三中山纪念中学开学考试)已知 0 a b 1，设 W x=x-a3 x-b，fk x=W x-W kx-k，其中 k 是整数 若对一切 k Z，y=fk x都是区间 k,+上的严格增函数则 ba 的取值范围是【答案】1,3【解析】W x=3 x-a2 x-b+x-a3=x-a2 3x-3b+x-a=x-a2 4x-a-3b，令 g x=W x=x-a2 4x-a-3b，则 g x=2
72、x-a4x-a-3b+4 x-a2=6 x-a2x-a-b，因为 0 a b a，令 g x 0 得 x a+b2或 x a，令 g x 0 得，a x a+b2，故 W x在-,a和a+b2,+上单调递增，在 a,a+b2上单调递减，因为 W a=0，W a+3b4=0，其中 a+b2 0，解得 x a+3b4，故 W x在-,a+3b4上单调递减，在a+3b4,+上单调递增，且 W x在-,a和a+b2,+内下凹，在 a,a+b2内上凸，fk x的几何意义是点 k,W k和点 x,W x连线的斜率，当 W k在 k,+内下凹时，可满足 y=fk x都是区间 k,+上严格递增，因此当 k 1
73、 时，fk x严格递增，而当 k 0 时，唯一可能使 fk x不严格递增的区间可能在 a,a+3b4，曲线 CA 须在直线 BA 下方，曲线 AD 须在直线 BA 上方，故需使点 0,W 0,-1,W-1,都在 x=a+b2处的切线上或切线上方即可，从图象可知，只需 0,W 0在 x=a+b2处的切线上或切线上方即可，Wa+b2=a+b2-a3 a+b2-b=-a-b24，W a+b2=a-b22 a-b=a-b34，故曲线在 x=a+b2处的切线方程为 y+a-b24=a-b34x-a+b2，令 x=0，化简得 y=-116 a-b3 3a+b，W 0=a3b，因此-116 a-b3 3a+
74、b a3b，即ba-13 ba+3 16 ba，令 t=ba 1，则 t-13 t+3 16t，即 t-13 16 1-3t+3，其中 3-13=16 1-33+3=8，画出 y=t-13及 y=16 1-3t+3的图象，如下：由图可知，t 1,3，即 ba 1,3故答案为：1,34.(2024广东中山高三中山纪念中学开学考试)已知双曲线 C：x2a2-y2b2=1(a 0，b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F2 的直线与 C 的右支交于 A，B 两点，且 AF1 AB，F1AB 的内切圆半径 r=12 F2B，则 C 的离心率为【答案】173/1317【解析】由题意作出图形，设
75、AF2=m，则 AF1=m+2a，BF2=n，则 BF1=n+2a，由三角形 F1AB 的内切圆半径为 r=12 F2B=n2，又因为 AF1 AB，所以 F1AF2=2，所以 r=AF1 ABAF1+AB+BF1=m+2am+n2 m+n+2a=n2，化简得 m2+2am=n2在 RtF1AF2中，AF12+AF22=F1F22，即 m+2a2+m2=4c2=4 a2+b2，化简得 m2+2ma=2b2，由可得 n=2b，在 RtF1AB 中，AF12+AB2=BF12，即 m+2a2+m+n2=n+2a2，化简得 m2+2ma+mn=2na，由可得 m=2a-2b，所以 4a-2b2+2a
76、-2b2=4 a2+b2，化简得 a 4a-3 2b=0，解得 ba=2 23，所以离心率 e=ca=c2a2=1+b2a2=173.5.(2024湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点为 F，过点 F 作倾斜角为 4 的直线交椭圆 C 于 A、B 两点，弦 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 P，若 PFAB=14，则椭圆 C 的离心率 e=【答案】12/0.5【解析】因为倾斜角为 4 的直线过点 F，设直线 l 的方程为:y=x-c,A x1,y1,B x2,y2,线段 AB 的中点 Q x0,y0,联立y=x-cx2a2+y2b2=1，
77、化为 a2+b2x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0，x1+x2=2a2ca2+b2,x1x2=a2c2-a2b2a2+b2，AB=1+12 x1+x22-4x1x2=4ab2a2+b2，x0=x1+x22=a2ca2+b2.y0=x0-c=-b2ca2+b2 AB 的垂直平分线为:y+b2ca2+b2=-x-a2ca2+b2,令 y=0,解得 xP=c3a2+b2,Pc3a2+b2,0.|PF|=c-xP=2b2ca2+b2,|PF|AB|=c2a=14,则 ca=12,椭圆 C 的离心率为 12,故答案为:12.6.(2024湖南邵阳高三邵阳市第二中学校考开学考试)如图，已知双曲线 C
78、:x2a2-y2b2=1(a,b 0)的左、右焦点分别为 F1,F2，过 F1 的直线与 C 分别在第一、二象限交于 A,B 两点，ABF2 内切圆半径为r，若 BF1=r=a，则 C 的离心率为.【答案】855【解析】设 AB=x，内切圆圆心为 I，内切圆在 BF2,AF2,AB 上的切点分别为 U,V,W，则 BU=BW,AV=AW,F2U=F2V，由 BF1=a 及双曲线的定义可知，BF2=3a,AF2=x-a,F2U=F2V=12BF2+AF2-AB=a=r，故四边形 IUF2V 是正方形，得 AF2 BF2，于是 BF22+AF22=|AB|2，故 x2=9a2+(x-a)2，所以
79、x=5a，于 cosF1BF2=cos-ABF2=-35，在 F1BF2中，由余弦定理可得 F1F22=BF12+BF22-2 BF1 BF2 cosF1BF2=685 a2，从而 4c2=685 a2，所以 e=ca=855.故答案为：8557.(2024湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a0,b0，F 为右焦点，过点 F 作 FA x 轴交双曲线于第一象限内的点 A，点 B 与点 A 关于原点对称，连接 AB，BF，当 ABF 取得最大值时，双曲线的离心率为【答案】6+22【解析】如图，根据题意 F c,0，A c,b2a，B-c,-b2a，k1=k
80、BF=b22ac，k2=kBA=b2ac=2k1，设直线 BA,BF 的倾斜角为，tanABF=tan-=tan-tan1-tantan=2k1-k11+2k21=12k1+1k124，当且仅当 k1=b22ac=22 时等号成立，即 b2=2ac，c2-a2=2ac，e2-2e-1=0，又 e 1 e=6+22，故答案为：6+228.(2024湖北襄阳高三襄阳五中校考开学考试)在首项为 1 的数列 an中 an+1-an=-12n，若存在n N*，使得不等式 m-anm+an+3 0 成立，则 m 的取值范围为【答案】m m 12或 m 0，解得 m an或 m-an+3，当 n 为偶数时，
81、an=23 1-12n，递增，可得 an的最小值为 a2=12，则 an12,23，-an+3=-23 1+12n+3 0 成立，只需 m anmin=12 或 m 12或 m 12或 m-a，则切线斜率满足 ln x0+a-0 x0-1=1x0+a，整理得 x0+aln x0+a-x0+1=0，由题意该方程在-a,+有两个根，所以函数 g x=x+aln x+a-x+1 在-a,+有两个零点，g x=ln x+a+1-1=ln x+a，令 g x=0 得 x=1-a，当-a x 1-a 时，g x 1-a 时，g x 0，g x单调递增，所以首先有 g xmin=g 1-a=-1-a+1=a
82、-a)时，g x a+1,g x-a)时，t+，所以 g x=x+aln x+a-x+1=-lntt-1t-a+1 a+1，所以只需保证 a+1 0，解得 a-1，综上所述，实数 a 的取值范围为-1,0.故答案为：-1,0.11.(2024福建高三校联考开学考试)方程 cos2x=3cosx-2 的最小的 29 个非负实数解之和为【答案】8113【解析】方程 cos2x=3cosx-2 可化为 2cos2x-3cosx+1=0，因式分解为 cosx-1cosx-12=0，解得 cosx=1 或 cosx=12，当 cosx=1 时，x=2k1，k1 Z，当 cosx=12 时，x=3+2k2
83、，k2 Z，或 x=53+2k3，k3 Z，通过列举，可得方程的最小的 29 个非负实数解中，有 10 个是以 0 为首项，2 为公差的等差数列其和为 10 0+1092 2=90；有 10 个是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，其和为 10 3+1092 2=2803；有 9 个是以 53 为首项，2 为公差的等差数列，其和为 9 53+892 2=87可得方程的最小的 29 个非负实数解之和为 90+2803+87=8113故答案为：811312.(2024浙江高三浙江金华第一中学校考开学考试)设严格递增的整数数列 a1，a2，a20 满足 a1=1，a20=40.设 f 为 a1+a
84、2，a2+a3，a19+a20 这 19 个数中被 3 整除的项的个数，则 f 的最大值为，使得 f 取到最大值的数列 an的个数为.【答案】1825270【解析】第一个空，设某个数除以 a 余数为 b，则称该数模 a 余 b(a，b 均为整数，且 b 1，由题意，得 A t,2 t,B t,-2 t，即 AB=4 t所以直线 AD 的方程为 y=2 tt-1 x-1，联立 y=2 tt-1 x-1y2=4x，化简得 tx2-t2+1x+t=0，x1+x2=t2+1t，因为 A t,2 t，可得点 D 的横坐标为 t2+1t-t=1t，代入抛物线方程可得，y=2t，所以 DE=4t，SABF=
85、12 4 t t-1=2 t t-1，SDEF=12 4t 1-1t=2 t-1tt SABFSDEF=2 t t-12 t-1tt=t2=4，又 t 1，所以 t=2.故答案为：214.(2024江苏镇江高三扬中市第二高级中学开学考试)已知非零数列 an,bn=a1 a2 a3 an，点an,bn在函数 y=x2x-2 的图象上，则数列anbn-12n的前 2024 项和为.【答案】2-1202522023【解析】由已知条件 bn=a1 a2 a3 an，可得 bn-1=a1 a2 a3 an-1,n 2，所以 bnbn-1=an，n 2，因为点 an,bn在函数 y=x2x-2 的图象上，
86、所以 bn=an2an-2，将代入可得，bn=bnbn-12 bnbn-1-2,化简得，bn-bn-1=12，n 2，当 n=1 时，由 a1=b1，则 b1=b12b1-2，得 b1=32，所以数列 bn是以 32 为首项，12 为公差的等差数列，所以 bn=32+12(n-1)=1+n2，an=bnbn-1=1+n21+n-12=2+n1+n，因为anbn-12n=2+nn(n+1)2n-1=1n2n-2-1n+12n-1，所以112-1-1220+1220-1321+1202422022-1202522023=2-1202522023，故答案为:2-1202522023.15.(2024
87、江苏镇江高三扬中市第二高级中学开学考试)已知点 P x0,ex0是函数 y=ex 图像上任意一点，点 Q 是曲线 x-e4-22+y2=1 上一点，则 P、Q 两点之间距离的最小值是.【答案】e2 e4+1-1【解析】曲线 x-e4-22+y2=1 表示圆心为 D e4+2,0，半径 r=1 的圆，则 PD=x0-e4-22+e2x0，令 f x=x-e4-22+e2x，则 f x=2 x-e4-2+2e2x，令 g x=f x=2 x-e4-2+2e2x，则 g x=2+4e2x 0，所以 g x单调递增，又 g 2=0，所以当 x 2 时 g x 0，即 f x 2 时 g x 0，即 f
88、 x 0，即 f x在 2,+上单调递增，所以 f x在 x=2 处取得极小值即最小值，即 f xmin=f 2=e8+e4，所以 PD=x0-e4-22+e2x0 e8+e4=e2 e4+1，所以 PQmin=PDmin-r=e2 e4+1-1.故答案为：e2 e4+1-1解析几何压轴篇1.(武汉二调 18).已知双曲线 E：x2a2-y2b2=1 的左右焦点为 F1，F2，其右准线为 l，点F2 到直线 l 的距离为 32，过点 F2 的动直线交双曲线 E 于 A，B 两点，当直线 AB 与 x轴垂直时，AB=6(1)求双曲线 E 的标准方程；(2)设直线 AF1与直线 l 的交点为 P，
89、证明：直线 PB 过定点【解析】【小问 1 详解】由题意c-a2c=b2c=322b2a=6a2+b2=c2 a=1b=3，所以双曲线 E 的标准方程为 x2-y23=1.【小问 2 详解】由题意 l:x=12，设直线 AB 的方程为 x=my+2，A x1,y1,B x2,y2,F1-2,0，x=my+23x2-y2=33m2-1y2+12my+9=0，所以 =144m2-36 3m2-1=36 m2+1 0,y1y2=93m2-1,y1+y2=-12m3m2-1，直线 AF1的方程为：y=y1x1+2 x+2,P12,5y12 x1+2，所以 PB方程为 y=y2-5y12 x2+2x2-
90、12x-x2+y2，由对称性可知 PB 过的定点一定在 x 轴上，令 y=0 x=-y2 x2-12y2-5y12 x1+2+x2=-2y1 x1+2x2-122x1y2+4y2-5y1+my2+2=-2y2 my1+4my2+322 my1+2y2+4y2-5y1+my2+2=-2y2 m2y1y2+32 my1+4my2+6+2m2y1y22+8my22-5my1y22my1y2+8y2-5y1+2=-8my1y2-12y22my1y2+8y2-5y1+2，又y1y2=93m2-1y1+y2=-12m3m2-1 my1y2=-34 y1+y2，所以 x=6 y1+y2-12y2-32 y1
91、+y2+8y2-5y1+2=6y1-6y2132 y2-132 y1+2=1413，所以直线 PB 过定点1413,0.2.(深圳一模 19).已知动点 P 与定点 A m,0的距离和 P 到定直线 x=n2m 的距离的比为常数 mn 其中 m 0,n 0，且 m n，记点 P 的轨迹为曲线 C(1)求 C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点 B-m,0，若曲线 C 上两动点 M,N 均在 x 轴上方，AM BN，且 AN 与BM 相交于点 Q当 m=2 2,n=4 时，求证：1AM+1BN的值及 ABQ 的周长均为定值；当 m n 时，记 ABQ 的面积为 S，其内切圆半径为 r，试探究是
92、否存在常数，使得 S=r 恒成立？若存在，求(用 m,n 表示)；若不存在，请说明理由【解析】(1)设点 P x,y，由题意可知(x-m)2+y2x-n2m=mn，即(x-m)2+y2=mn x-n2，经化简，得 C 的方程为 x2n2+y2n2-m2=1，当 m n 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的双曲线(2)设点 M x1,y1,N x2,y2,M x3,y3，其中 y1 0,y2 0 且 x3=-x2,y3=-y2，()由(1)可知 C 的方程为 x216+y28=1,A 2 2,0,B-2 2,0，因为 AM BN，所以y1x1-2 2=y2x2+2 2=-y2-x2-2 2=y3x
93、3-2 2，因此，M,A,M 三点共线，且 BN=x2+2 22+y22=-x2-2 22+-y22=AM，(法一)设直线 MM 的方程为 x=ty+2 2，联立 C 的方程，得 t2+2y2+4 2ty-8=0，则 y1+y3=-4 2tt2+2,y1y3=-8t2+2，由(1)可知 AM=2 24x1-162 2=4-22 x1,BN=AM=4-22 x3，所 以1AM+1BN=AM+BNAM BN=4-22 x1+4-22 x34-22 x14-22 x3=2-22 ty1+2-22 ty32-22 ty12-22 ty3=4-22 t y1+y34-2t y1+y3+12 t2y1y3
94、=4-22 t-4 2tt2+24-2t-4 2tt2+2+12 t2-8t2+2=1，所以1AM+1BN为定值 1；(法二)设 MAx=，则有AM2 2-AMcos=2 24，解得 AM=42+2cos，同理由AM 2 2+AM cos=2 24，解得 AM=42-2cos，所以1AM+1BN=1AM+1AM=2+2cos4+2-2cos4=1，所以1AM+1BN为定值 1；由椭圆定义 BQ+QM+MA=8，得 QM=8-BQ-AM，AM BN,AMBN=QMBQ=8-BQ-AMBQ，解得 BQ=8-AM BNAM+BN，同理可得 AQ=8-BN AMAM+BN，所以AQ+BQ=8-BN A
95、MAM+BN+8-AM BNAM+BN=8 AM+BN-2 AM BNAM+BN=8-21AM+1BN=8-2=6因为 AB=4 2，所以 ABQ 的周长为定值 6+4 2()当 m n 时，曲线 C 的方程为 x2n2-y2m2-n2=1，轨迹为双曲线，根据()的证明，同理可得 M,A,M 三点共线，且 BN=AM，(法一)设直线 MM 的方程为 x=sy+m，联立 C 的方程，得m2-n2s2-n2y2+2sm m2-n2y+m2-n22=0，y1+y3=-2sm m2-n2m2-n2s2-n2,y1y3=m2-n22m2-n2s2-n2，(*)因为 AM=mnx1-n2m=mn x1-n
96、,BN=AM=mn x3-n，所以1AM+1BN=1AM+1AM=AM+AM AM AM=mn x1-n+mn x3-nmn x1-nmn x3-n=smn y1+m2-n2n+smn y3+m2-n2nsmn y1+m2-n2nsmn y3+m2-n2n=smny1+y3+2 m2-n2nm2s2n2 y1y3+m2-n2msn2y1+y3+m2-n22n2，将(*)代入上式，化简得1AM+1BN=2nm2-n2，(法 二)设 MAx=，依 条 件 有AMm-n2m+AMcos=mn，解 得 AM=m2-n2n-mcos，同理由AM m-n2m-AM cos=mn，解得 AM=m2-n2n+
97、mcos，所以1AM+1BN=1AM+1AM=n-mcosm2-n2+n+mcosm2-n2=2nm2-n2 由双曲线的定义 BQ+QM-MA=2n，得 QM=2n+AM-BQ，根据 AMBN=QMBQ，解得 BQ=2n+AM BNAM+BN，同理根据 AMBN=AQQN，解得 AQ=2n+BN AMAM+BN，所以 AQ+BQ=2n+BN AMAM+BN+2n+AM BNAM+BN=2n+2 AM BNAM+BN=2n+21AM+1BN=2n+m2-n2n=m2+n2n，由内切圆性质可知，S=12AB+AQ+BQ r，当 S=r 时，=12AB+AQ+BQ=m+m2+n22n=(m+n)22
98、n(常数)因此，存在常数 使得 S=r 恒成立，且 =(m+n)22n【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值3.(杭二开学考 18).已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点为 F.设 M x0,y0(其中 x0 0，y0 0)为拋物线 C2:x2=4 y+1上一点.过 M 作抛物线 C1 的两条切线 MA，MB，A，B为切点.射线 MF 交抛物线 C2于另一点 D.(1)若 x0=2，求直线 AB 的方程；(2)求四边形 MADB 面积的最小值.解析【小问 1 详解】设 A
99、x1,y1，B x2,y2，由题得 M 2,0，抛物线 C1:x2=4y，即 y=14 x2，则 y=12 x，所以抛物线在点 A x1,y1处切线的斜率为 12 x1，则切线 MA 的方程为 y-y1=x12x-x1，整理得 x1x=2 y+y1，同理，MB 的方程为 x2x=2 y+y2，又 M 在 MA,MB 上，有 x1=y1x2=y2，所以直线 AB 方程为 y=x.【小问 2 详解】设 MF:y=kx+1，D x3,y3，M x0,y0，联立 y=kx+1x2=4 y+1，消去 y 整理得 x2-4kx-8=0，x0+x3=4kx0 x3=-8，MD=1+k2 x0-x3=1+k2
100、 16k2+32=4 1+k2 k2+2，设点 A,B 到直线 MF 的距离为 d1,d2，则 d1+d2=kx1-y1+11+k2+kx2-y2+11+k2=k x1-x2-y1-y21+k2=k x1-x2-x21-x2241+k2=x1-x24 1+k2 4k-x1+x2，联立 x2=4yx0 x=2 y0+y，得 x2-2x0 x+4y0=0，x1+x2=2x0，x1x2=4y0(其中4x20-16y0=44 y0+1-16y0=2)，S MADB=12 MD d1+d2=2 1+k2 2+k2 2 2k-x01+k2=4 2+k2 2k-x0，又x20=4 y0+1y00k=y0-1
101、x0，k=x20-84x0代入上式得，SMADB=42+116 x0-8x02 x20-82x0-x0=12x0-8x02+32 x0+8x0=12 x0+8x02 12 2 82=16，当且仅当 x0=2 2，即 M 2 2,1时，SMADB 取最小值，所以四边形 MADB 面积的最小值为 16.4.(浙江新阵地 18).已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的长轴长为 4，离心率为 12，左顶点为 C，过右焦点 F 作直线与椭圆分别交于 A,B 两点(异于左右顶点)，连接 AC,CB.(1)证明：AC 与 AF 不可能垂直；(2)求|AB|2+|BC|2+|CA|2的最小值；【解析
102、】【小问 1 详解】由题意知，2a=4e=ca=12 c=1a=2，又因为 b2=a2-c2=3，所以椭圆方程为 x24+y23=1，则 F 1,0,C-2,0，证明：设 A x1,y1，-2 x1 0 显然成立，所以 y1+y2=4mm2+3,y1y2=-2m2+3，同理可得 y3+y4=-4nn2+3,y3y4=-2n2+3，所 以 EF=1+m2y1+y22-4y1y2=1+m216m2m2+32+8m2+3=2 6 m2+1m2+3，GH=1+n2y3+y42-4y3y4=1+n216n2n2+32+8n2+3=2 6 n2+1n2+3，联立直线 QF1和 QF2：x=my-2x=ny
103、+2，解得x=2m+2nm-ny=4m-n，所以 Q 2m+2nm-n,4m-n，因为 Q 在双曲线上，所以(2m+2n)24(m-n)2-164(m-n)2=1，解得 mn=1，所以 EF+4 GH=2 6m2+1m2+3+4 n2+1n2+3=2 6m2+1m2+3+41m2+11m2+3=2 6m2+1m2+3+4 m2+11+3m2=2 614m2+1m2+3+4 m2+11+3m2m2+3m2+1+1+3m2m2+1，=625+1+3m2m2+3+4 m2+31+3m2625+21+3m2m2+3 4 m2+31+3m2=9 62.当且仅当 1+3m2m2+3=4 m2+31+3m2
104、，即 m2=5 时，取得最小值 9 62.6.(江苏南通二月诊断 18).已知椭圆 C1:x28+y24=1 与椭圆 C2 有相同的离心率，椭圆C2焦点在 y 轴上且经过点(1,2).(1)求椭圆 C2的标准方程：(2)设 A 为椭圆 C1 的上顶点，经过原点的直线 l 交椭圆于 C2 干 P，Q，直线 AP、AQ与椭圆 C1 的另一个交点分别为点 M 和 N，若 AMN 与 APQ 的面积分别为 S1 和S2，求 S1S2取值范围.【解析】【小问 1 详解】由题意知椭圆 C1:x28+y24=1 的离心率为 e=22，故椭圆 C2的离心率也为22，设椭圆 C2的方程为 y2a2+x2b2=1
105、(a b 0)，则 ca=22,1-b2a2=12,a2=2b2，即 y22b2+x2b2=1，将(1,2)代入得 22b2+1b2=1,b2=2，则椭圆 C2的方程为 y24+x22=1；【小问 2 详解】由于 A 为椭圆 C1的上顶点，故 A(0,2)，不妨设 P 在第一象限以及 x 轴正半轴上，P x0,y0，则 Q-x0,-y0，则 y204+x202=1，故 kAP kAQ=2-y0-x0 2+y0 x0=4-y20-x20=4-y20-4-y202=-2，由题意知直线 AP 存在斜率，设其方程为 y=kx+2,k -2,0)，则 AQ 的直线方程为 y=-2k x+2，联立直线 A
106、P 和椭圆 C1的方程x28+y24=1y=kx+2，整理得 2k2+1x2+8kx=0，解得 x=-8k2k2+1，即 xM=-8k2k2+1；联立直线 AP 和椭圆 C2的方程y24+x22=1y=kx+2，整理得 k2+2x2+4kx=0，解得 x=-4kk2+2，即 xP=-4kk2+2；故|AM|AP|=xMxP=2 k2+22k2+1，同理可求得|AN|AQ|=xNxQ=4 k2+2k2+8，所以 S1S2=|AM|AN|AP|AQ|=8 k2+222k2+1k2+8，设 t=k2+2,t (2,4，则 S1S2=8t22t-3t+6=8t22t2+9t-18=8-18t2+9t+
107、2，而-18t2+9t+2=-18 1t-142+258，由于 1t 14,12，故 y=-18 1t-142+258 在 1t 14,12时单调递减，即-18 1t-142+258 2,258，故8-18t2+9t+26425,4，即 S1S26425,4.7.(长郡一模 18).已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F，其准线 l 与 x 轴交于点 P，过点 P的直线与 C 交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧).(1)若点 A 是线段 PB 的中点，求点 A 的坐标；(2)若直线 AF 与 C 交于点 D，记 BDP 内切的半径为 r，求 r 的取值范围.【解析】【小问 1 详解
108、】由题意知 P-12,0，设点 A x0,y0，因为点 A 是线段 PB 的中点，所以 B 2x0+12,2y0，又点 A,B 都在抛物线 C 上，所以y20=2x04y20=2 2x0+12，解得 x0=14,y0=22，所以点 A 的坐标为14,22或14,-22.【小问 2 详解】由题意可知直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的方程为 y=k x+12,k 0,A x1,y1,B x2,y2，由点 A 在点 B 的左侧，则 0 x1 0，得-1 k 1,k 0，x1+x2=2-k2k2,x1x2=14，所以 0 x1 12 1，因为 y=1x2=x-2,y=12x-1,y=1
109、x 在 1,+上均单调递减，则 y=12x-1+1x2+1x 在 1,+上单调递减，所以 r=112t-1+1t2+1t在 1,+上单调递增，所以 r 12+1=2-1，所以 r 的取值范围为2-1,+.8.(广东百校 18).已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右顶点分别是 A，B，点H3,12在椭圆 C 上，P 是椭圆 C 上异于点 A，B 的动点，且直线 PA，PB 的斜率之积为-14(1)求椭圆 C 的标准方程(2)过点 1,0的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N(异于 A，B)两点，直线 AM 与 BN 交于点 Q，试问点 Q 是否恒在一条直线上？若是，求出该直线方程；
110、若不是，请说明理由【解析】【小问 1 详解】由题意知 P 是椭圆 C 上的动点，设 P(s,n),(s a),s2a2+n2b2=1，即 n2=b2 a2-s2a2，又 A(-a,0),B(a,0)，直线 PA，PB 的斜率之积为-14，故 kPAkPB=ns+a ns-a=n2s2-a2=b2 a2-s2a2 s2-a2=-b2a2=-14,点 H3,12在椭圆 C 上，故 3a2+14b2=1，联立-b2a2=-143a2+14b2=1，解得 a2=4,b2=1，故椭圆 C 的标准方程为 x24+y2=1；【小问 2 详解】由题意可知 A(-2,0),B(2,0)，设 M x1,y1,N
111、x2,y2，由于 M，N 异于 A，B，故直线 AM 的方程为 y=y1x1+2 x+2，直线 BN 的方程为 y=y2x2-2 x-2，联立y=y1x1+2 x+2y=y2x2-2 x-2，整理得 x=-2y1 x2-2+2y2 x1+2y1(x2-2)-y2 x1+2，由题意知直线 l 的斜率不为 0，设为 l:x=my+1，则 x=-2y1 my2-1+2y2 my1+3y1 my2-1-y2 my1+3=4my1y2+6y2-2y1y1+3y2，联立x=my+1x24+y2=1，整理得 m2+4y2+2my-3=0，=16m2+48 0，则 y1+y2=-2mm2+4,y1y2=-3m
112、2+4，则 2my1y2=3 y1+y2，故 x=6y1+6y2+6y2-2y1y1+3y2=4y1+12y2y1+3y2=4，即点 Q 恒在直线 x=4 上.9.(江西九师 18).已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，且 AF1+AF2=4，离心率为 12.(1)求 C 的方程；(2)已知点 B-1,0，M，N 是曲线 C 上两点(点 M，N 不同于点 A)，直线 AM,AN分别交直线 x=-1 于 P，Q 两点，若 BP BQ=-94，证明：直线 MN 过定点.【解析】【分析】(1)由题意列方程组求解 a,b,c 的值，即得答案；
113、(2)设 MN 的方程 x=sy+t 并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示出直线AM,BM 的方程，进而求得 P,Q 坐标，结合 BP BQ=-94 化简求值，可得 t 的值，即可证明结论.【小问 1 详解】设椭圆 C 的半焦距为 c，由题意得2a=4ca=12a2=b2+c2，解得a=2b=3c=1，故 C 的方程为 x24+y23=1.【小问 2 详解】证明：由题意可知直线 MN 的斜率不为 0，否则 P,Q 将位于 x 轴同侧，BP BQ 0，不合题意；设 MN 的方程为 x=sy+t(t 2)，代入 x24+y23=1，得 3s2+4y2+6sty+3t2-12=0，由 =36s
114、2t2-4 3s2+43t2-12 0，得 3s2+4-t2 0，设 M x1,y1，N x2,y2，则 y1+y2=-6st3s2+4，y1y2=3t2-123s2+4，所以 x1+x2=s y1+y2+2t=8t3s2+4，x1x2=sy1+tsy2+t=s2y1y2+st y1+y2+t2=4t2-12s23s2+4，直线 AM 的方程为 y=y1x1-2 x-2，令 x=-1，得 y=-3y1x1-2，故 P-1,-3y1x1-2，同理可求 Q-1,-3y2x2-2，所以 BP=0,-3y1x1-2，BQ=0,-3y2x2-2，由 BP BQ=-94，得-3y1x1-2 -3y2x2-
115、2=-94，即y1y2x1x2-2 x1+x2+4=-14，所以3t2-123s2+44t2-12s23s2+4-28t3s2+4+4=-14，所以 3 t2-4t-22=-1，解得 t=-1，(t=2 舍)，所以直线 MN 的方程为 x=sy-1，故直线 MN 过定点-1,0.导数压轴篇1.(武汉二调 19).已知函数 f x=ex-1x(1)求曲线 y=f x在点 1,f 1处的切线方程；(2)证明：f x是其定义域上的增函数；(3)若 f x ax，其中 a 0 且 a 1，求实数 a 的值【解析】【小问 1 详解】由题意 f 1=e-1，即切点为 1,e-1,f x=xex-ex+1x
116、2,k=f 1=1，所以曲线 y=f x在点 1,f 1处的切线方程为 y=x-1+e-1，即 y=x+e-2；【小问 2 详解】由 f x=x-1ex+1x2，设 g x=x-1ex+1，则 g x=xex，所以当 x 0 时，g x 0 时，g x 0，g x单调递增，又 g 0=0，所以对于任意的 x 0 有 g x 0，即 f x 0，因此 f x在-,0单调递增，在 0,+单调递增，即 h x=ex-x-1，则 h x=ex-1，所以 x 0 时，h x h 0=0，即 ex-1 x，即ex-1x 0 时，h x 0，h x单调递增，所以 h x h 0=0，即 ex-1 x，即 e
117、x-1x 1，所以 f x是其定义域上的增函数.【小问 3 详解】由(2)可知，x 0 时，f x 1，所以 ax 1，令 a=ek,k 0，F x=e1-kx-e-kx-x，由题意 x 0 时，F x 0 时，F x 0，若 k 1，则当 x 1 时，F x=e1-kx-e-kx-x 1-e-kx-x 0，不满足条件，所以 0 k 1，而 F x=1-ke1-kx+ke-kx-1，令 G x=F x，则 G x=1-k2e1-kx-k2e-kx=e-kx1-k2ex-k2，令 G x=0，得 x=2lnk1-k，F x在-,2lnk1-k单调递减，在 2lnk1-k,+单调递增，若 2lnk
118、1-k 0，则当 2lnk1-k x 0 时，F x F 0=0，不满足题意；若 2lnk1-k 0，则当 0 x 2lnk1-k 时，F x F 0=0，F x单调递减，此时 F x F 0=0，不满足题意；若 2lnk1-k=0，则当 x F 0=0，F x单调递增，此时 F x 0 时，F x F 0=0，F x单调递增，此时 F x F 0=0，满足题意，所以 2lnk1-k=0，解得 k=12，综上所述，a=e.2.(深圳一模 18).已知函数 f x=a x-1ex+1-2xlnx-x2 aR(1)当 a=0 时，求函数 f x在区间 e-2,1上的最小值；(2)讨论函数 f x的
119、极值点个数；(3)当函数 f x无极值点时，求证：asin 12a 2【解析】【小问 1 详解】当 a=0 时，f x=-2xlnx-x2，则 f x=-2 1lnx+x 1x-2x=-2 lnx+x+1，令 g x=f x，则 g x=-2 1x+1，因为 x e-2,1，所以 g x 0,f 1=-4 0,f 1=-1，所以函数 f x在 e-2,1上的最小值为-1【小问 2 详解】f x=a 1ex+1+x-1ex+1-2 1lnx+x 1x-2x=axex+1-2 lnx+x+1，由 f x=0，解得 a=2 lnx+x+1xex+1=2 lnx+x+1elnx+x+1，易知函数 y=
120、lnx+x+1 在 0,+上单调递增，且值域为 R，令 lnx+x+1=t，由 f x=0，解得 a=2tet，设 h t=2tet，则 h t=2 1-tet，因为当 t 0，当 t 1 时，h t 2e 时，方程 h t=a 无解，即 f x无零点，f x没有极值点；()当 a=2e 时，f x=2elnx+x-2 lnx+x+1，设 m x=ex-x-1 x0，则 m x=ex-1，令 ex-1 0 x 0，则 m x在 0,+上时单调递增函数，即 ex x+1，得 f x 2 lnx+x+1-2 lnx+x+1=0，此时 f x没有极值点；()当 0 a 2e 时，方程 h t=a 有
121、两个解，即 f x有两个零点，f x有两个极值点；()当 a 0 时，方程 h t=a 有一个解，即 f x有一个零点，f x有一个极值点综上，当 a 0 时，f x有一个极值点；当 0 a 2 2设 n x=sinxxx 0,4，则 n x=cosxx-sinxx2，记 p x=xcosx-sinx x 0,4，则 p x=1 cosx+x -sinx-cosx=-xsinx 0,p x在 0,4上单调递减，当 x 0,4时，p x p 0=0,n x n 4=2 2，即当 x 0,4时，不等式 sinxx 2 2成立由(2)知，当函数 f x无极值点时，a 2e，则 0 12a e4 2
122、2中，取 x=12a，则有 2asin 12a 2 2，即不等式 asin 12a 2 成立3.(浙江新阵地 19).已知函数 f x=cosx+ln 1+x，且曲线 y=f x在点0,f 0处的切线斜率为 1.(1)求 f x的表达式；(2)若 f x ax+1 恒成立，求 a 的值.(3)求证：2nk=n+1f sin 1k-1-1.由条件知 h x 0 恒成立，因为 h 0=0，又 h x的图像在定义域上是连续不间断的，所以 x=0 是 h x一个极大值点，则 h 0=0.又 h x=-sinx+11+x-a，所以 h 0=1-a=0，得 a=1；下证当 a=1 时，h x 0 对任意
123、x -1,+恒成立，令 x=ln 1+x-x，则 x=11+x-1=-x1+x，由 x 0-1 x 0,x 0，知函数 x在-1,0单调递增，在 0,+上单调递减，x 0=0，即 ln 1+x-x 0，而 cosx-1 0，所以当 x 0,+时，h x=cosx-1+ln 1+x-x 0.综上，若 f x ax+1 恒成立，则 a=1.【小问 3 详解】由(2)可知 f x x+1,f sin 1k-1 sin 1k.2nk=n+1fsin 1k-1=f sin1n+1-1+f sin1n+2-1+f sin 12n-1sin1n+1+sin1n+2+sin 12n，先证 sinx x,x 0
124、,2，令 t x=sinx-x,x 0,2,t x=cosx-1 0，则 t x在 0,2上单调递减，t x t 0=0，即 sinx x,x 0,2所以 sin1n+1+sin1n+2+sin 12n 1n+1+1n+2+12n再证1n+1 ln n+1n，先证 lnx x-1,0 x 1，令 u(x)=lnx-x+1(0 x 1)，则 u(x)=1x-1=1-xx，当 0 x 0，函数 u(x)单调递增，且 u(1)=0，则 u(x)u(1)=0，即 lnx x-1,0 x 1，令 x=nn+1 即得1n+1 ln n+1n又 ln n+1n=ln n+1-lnn，得1n+1 ln n+1
125、-ln n,1n+n ln 2n-ln 2n-1所以1n+1+1n+2+12n 0,s 1，s 为常数)密切相关，请解决下列问题(1)当 1 2 时；证明 f x有唯一极值点；记 f x的唯一极值点为 g s，讨论 g s的单调性，并证明你的结论【解析】【小问 1 详解】由 f x=xs-1ex-1,x 0,+,1 s 2 可得f x=s-1xs-2 ex-1-xs-1exex-12=xs-2s-1-xex-s-1ex-12，令 h x=s-1-x ex-s-1，则 h x=-ex+s-x-1 ex=s-x-2 ex；又 1 0，所以 s-x-2 0，即 h x 0 恒成立；即函数 h x在
126、0,+上单调递减，又 h 0=0，所以 h x h 0=0，可得 f x=xs-2s-1-xex-s-1ex-12 0 恒成立，因此函数 f x在 0,+上单调递减，即当 1 2 时，由(1)可知令 h x=s-x-2 ex=0，可得 x=s-2 0,易知当 x 0,s-2时，h x=s-x-2 ex 0，即函数 h x在 0,s-2上单调递增，当 x s-2,+时，h x=s-x-2 ex h 0=0，可知 h x在 0,s-2大于零，不妨取 x=2s-2，则 h 2s-2=1-s e2s-2-s-1=1-se2s-2+1 0，当 x x0,+时，f x 00,+恒成立，所以 m x在 0,
127、+上单调递增，因此 m x m 0=0，即 ex x+1 在 0,+上恒成立，而 s 2，即 s-2 0，所以 ex x+1 在 s-2,+上恒成立，即 可 得 x=ex ex-x-1ex-12 0 在s-2,+上 恒 成 立，因 此 g-1 s在s-2,+单调递增；易知函数 g s与其反函数 g-1 s有相同的单调性，所以函数 g s在 2,+上单调递增；5.(广东百校 19).已知函数 f x=ex-ln x-m(其中 e 为自然对数的底数)(1)当 m=-1 时，求 f x的最小值；(2)若对定义域内的一切实数 x，都有 f x 4，求整数 m 的最小值(参考数据：e54 3.49)【解
128、析】【小问 1 详解】m=-1 时，f x=ex-ln x+1，故 f x=ex-1x+1,x-1，因为 y=ex,y=-1x+1 在-1,+上均为增函数，故 f x在-1,+上为增函数，而 f 0=0，故当 x 0,+时，f x 0，当 x -1,0时，f x m，因为 y=ex,y=-1x-m 在 m,+上均为增函数，故 f x在 m,+上为增函数，而 f m+1=em+1-1m+1-m 1-11=0，当 x m(从 m右侧)时，f x-，故 f x在 m,+上存在一个零点 x0，且 x m,x0时，f x 0；故 f x在 m,x0上为减函数，在 x0,+上为增函数，故 f xmin=f
129、 x0=ex0-ln x0-m 4，而 ex0=1x0-m，故 x0=-ln x0-m，且 m=x0-1ex0，故 f x0=ex0+x0，故 ex0+x0 4，故 x0 1，故 m=x0-1ex0 1-1e 0，故 m 1.若 m=1，则 1=x0-1ex0 即 x0-1ex0-1=0，因为 y=x-1,y=-1ex 在 1,+均为增函数，故 v x=x-1ex-1 在 1,+为增函数，而 v 54=e54-44e54，但 e5 243 256=44，故 e54 4，即 v 54 54，但 e54+54 3.49+1.25 4，即 ex0+x0 4 成立故 m=1 时，f x 4 恒成立，故
130、整数 m 的最小值为 1.5.(江西九师 19).已知函数 f x=x-1ex-alnx(a R).(1)当 a=e 时，求 f x的最小值；(2)若 f x有 2 个零点，求 a 的取值范围.【解析】【小问 1 详解】f x的定义域为 0,+.当 a=e 时，f x=x-1ex-elnx，f x=xex-ex=x2ex-ex.令 g x=x2ex-e(x 0)，则 g x=x2+2xex 0，所以 g x在上 0,+单调递增，又 g 1=0，所以当 x 0,1时，g x 0，f x 0，f x 0，所以 f x在 0,1上单调递减，在 1,+上单调递增，所以 f xmin=f 1=0.【小问
131、 2 详解】由题意知 f x=xex-ax=x2ex-ax(x 0).当 a 0 时，f x 0 在 0,+上恒成立，所以 f x在 0,+上单调递增，所以 f x至多有一个零点，不合题意；当 a 0 时，令 h x=x2ex-a，则 h x=x2+2xex 0 在 0,+上恒成立，所以 h x在 0,+上单调递增，因为 h 0=-a 0，所以存在唯一 x0 0,a，使得 h x0=x20ex0-a=0，所以 a=x20ex0.当 x 0,x0时，h x 0，f x 0，f x 0，所以 f x在 0,x0上单调递减，在 x0,+上单调递增，所以 f xmin=f x0=x0-1ex0-aln
132、x0.(a)当 a=e 时，由(1)知 f xmin=f 1=0，即 a=e 时，x0=1，且 f x0=0，f x只有一个零点 1，不合题意；(b)当 a e 时，因为 a=x20ex0 e，则 x0 1，又 f x在 0,x0上单调递减，所以 f xmin=f x0 1 时，x 0，x在 1,+上单调递增；当 0 x 1 时，x 1 时，x 1=0，即 x-1-lnx 0.又 lna 1，所以 lna-1-ln lna 0，所以 f lna=a lna 0，由 f x的单调性及零点存在定理，知 f x在 x0,+上有且仅有一个零点.又 f x在 0,x0上有且仅有一个零点 1，所以，当 a
133、 e,+时，f x存在两个零点；(c)当 0 a e 时，由 a=x20ex0 e，得 0 x0 1，又 f x在 x0,+上单调递增，所以 f x0 f 1=0.取 x=e-1a，则 0 e-1a 1，所以 0 1-e-1a 1.当 x 0,1时，lnx x-1，所以 ln 1-x-x，所以 x-ln 1-x=ln11-x，所以 ex11-x.又因为 0 e-1a e-1a-111-e-1a+1=-1+1=0，由 f x的单调性及零点存在定理，知 f x在 0,x0上有且有一个零点，又 1 为 f x在 x0,+内的唯一零点，所以当 a 0,e时，f x存在两个零点.综上可知，a 的取值范围
134、是 0,e e,+.新定义压轴篇1.(杭二开学考 19).设整数 n,k 满足 1 k n，集合 A=2m 0mn-1,mZ.从A 中选取 k 个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有 C kn 个，设它们的和为 an,k.例如 a3,2=20 21+20 22+21 22=14.(1)若 n 2，求 an,2；(2)记 fn x=1+an,1x+an,2x2+an,nxn.求 fn+1 xfn x和 fn+1 xfn 2x的整式表达式；(3)用含 n，k 的式子来表示 an+1,k+1an,k.解析【小问 1 详解】a n,2=12n-1k=02k2-n-1k=0 2k2=122n-12-1
135、2-4n-14-1=122n-12-4n-13=4n3-2n+23【小问 2 详解】因为 fn x=1+20 x1+21x1+22x 1+2n-1x，fn+1 x=1+20 x1+21x1+22x 1+2n-1x1+2nx，两式相除，fn+1 xfn x=1+2nx，fn 2x=1+202x1+212x1+222x 1+2n-12x=1+21x1+22x 1+2n-1x1+2nx，两式相除，fn+1 xfn 2x=1+x【小问 3 详解】因为 fn x=nk=0an,kxk，所以 an,0=1，因为 fn+1 x=n+1k=0an+1,kxk，所以 an+1,0=1，由(2)和 可 得，f n
136、+1 x=1+2nx f n x=nk=0 a n,k x k+2nnk=0 a n,k x k+1=nk=0 an,k+2nan,k-1xk，由和，比较 xk+1的系数，可得 an+1,k+1=an,k+1+2nan,k，因为 fn+1 x=1+xfn 2x=nk=0 2xk+xnk=0an,k 2xk=nk=0an,k2kxk+nk=0an,kxk+1=nk=0 2kan,k+2k-1an,k-1xk，由比较 xk+1的系数可得 an+1,k+1=2k+1an,k+1+2kan,k，由消去 an,k+1可得 2k+1-1an+1,k+1=2n+k+1-2kan,k，所以 an+1,k+1a
137、n,k=2n+k+1-2k2k+1-1.2.(江苏四校 19).交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用设 A，B，C，D 是直线 l 上互异且非无穷远的四点，则称 ACBC BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如 AB=-BA)为 A，B，C，D 四点的交比，记为(A,B;C,D)(1)证明：1-(D,B;C,A)=1(B,A;C,D)；(2)若 l1，l2，l3，l4 为平面上过定点 P 且互异的四条直线，L1，L2 为不过点 P 且互异的两条直线，L1 与 l1，l2，l3，l4 的交点分别为 A1，B1，C1，D1，L2 与 l1，l2，l3，l4 的交点分别为 A2，
138、B2，C2，D2，证明：(A1,B1;C1,D1)=(A2,B2;C2,D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若 EFG 与 E F G 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则 EFG 与 EFG 对应边的交点在一条直线上【解析】【小问 1 详解】1-(D,B;C,A)=1-DCBABCDA=BCAD+DCBABCAD=BC(AC+CD)+CDABBCAD=BCAC+BCCD+CDABBCAD=BCAC+ACCDBCAD=ACBDBCAD=1(B,A;C,D)；【小问 2 详解】A1,B1;C1,D1=A1C1B1D1B1C1A1D1=SPA1C1SPB1D1SPB1C1SPA
139、1D1=12 PA1PC1sinA1PC1 12 PB1PD1sinB1PD112 PB1PC1sinB1PC1 12 PA1PD1sinA1PD1=sinA1PC1sinB1PD1sinB1PC1sinA1PD1=sinA2PC2sinB2PD2sinB2PC2sinA2PD2=SPA2C2SPB2D2SPB2C2SPA2D2=A2C2B2D2B2C2A2D2=A2,B2;C2,D2；【小问 3 详解】设 EF 与 EF 交于 X，FG 与 FG 交于 Y，EG 与 EG 交于 Z，连接 XY，FF 与 XY 交于 L，EE 与 XY 交于 M，GG 与 XY 交于 N，欲证 X，Y，Z 三
140、点共线，只需证 Z 在直线 XY 上考虑线束 XP，XE，XM，XE，由第(2)问知(P,F;L,F)=(P,E;M,E)，再考虑线束 YP，YF，YL，YF，由第(2)问知(P,F;L,F)=(P,G;N,G)，从而得到(P,E;M,E)=(P,G;N,G)，于是由第(2)问的逆命题知，EG，MN，EG 交于一点，即为点 Z，从而 MN 过点 Z，故 Z 在直线 XY 上，X，Y，Z 三点共线【3.(江苏南通二月诊断 19).设正整数 n 3，有穷数列 an满足 ai 0(i=1,2,n)，且 a1+a2+an=n，定义积值 S=a1 a2 an.(1)若 n=3 时，数列12 ,1,32与
141、数列16 ,23 ,136的 S 的值分别为S1，S2.试比较 S1与 S2的大小关系；若数列 an的 S 满足 min S1,S2 S max S1,S2，请写出一个满足条件的an;(2)若 n=4 时，数列 a1,a2,a3,a4存在 i,j 1,2,3,4,使得 ai 1 S2；不妨令 an为13,1,53(答案不唯一)，则 S=13 1 53=59，因为 min S1,S2=S2=1354 S，符合题意.【小问 2 详解】S S；证明：不妨设 i=1,j=2，则 a1 1 a2；则 a1=a1+a2-1,a2=1,a3=a3,a4=a4；所以 S-S=a1a2a3a4-a1a2a3a4=a1a2-a1-a2+1a3a4=a1-1a2-1a3a4 0；所以 S 0(i=1,2,n)，且 a1+a2+an=n；所以 S=a1 a2 ana1+a2+annn=1；当且仅当 a1=a2=an=1 时，等号成立.
