1、11.2 提公因式法 第十一章 因式分解 学习目标 1.能确定多项式的公因式.（重、难点）2.能熟练运用提公因式法把多项式因式分解.(重点）导入新课问题引入 问题1：多项式ma+mb+mc有哪几项？问题2：每一项的因式都分别有哪些？问题3：这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因 式是什么？ma,mb,mc依次为m,a和m,b和m,c有，为m问题4：请说出多项式ab2-2a2b中各项的公共的因式.a,b,ab相同因式p这个多项式有什么特点？pa+pb+pc一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的公因式，简称多项式的公因式.讲授新课确定公因式 一例1 找 3x 2 6 xy 的公因
2、式.系数：最大公约数 3字母：相同的字母 x所以公因式是3x.指数：相同字母的最低次幂 1典例精析 正确找出多项式各项公因式的关键是：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 约数.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 字母最低次幂.要点归纳 写出下列多项式的公因式.（1）x-x2；（2）abc+2a；（3）abc-b2+2ab；（4）a2+ax2；练一练 xaba提公因式法分解因式 二问题：ma+mb+mc=m()ab2-2a2b=ab()(提示，逆用乘法分配律）概念学习 逆用乘法对加法的分配律，可以把公因式写在括号外边，
3、作为积的一个因式，这种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.a+b+cb-2a 思考：以下是三名同学对多项式2x2+4x分解因式的结果：（1）2x2+4x=2(x2+2x)；（2）2x2+4x=x(2x+4)；（3）2x2+4x=2x(x+2).第几位同学的结果是正确的？用提公因式法分解因式应注意哪些问题呢？做乘法运算来检验易得第3位同学的结果是正确的.典例精析(1)8a3b2+12ab3c；例2 把下列各式分解因式 分析：提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.(2)2a(b+c)-3(b+c).公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是
4、一个多项式的形式.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.解：（1）8a3b2+12ab3c=4ab2 2a2+4ab2 3bc=4ab2(2a2+3bc)；如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公式？另一个因式将是2a2b+3b2c,它还有公因式是b.（2）2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).如何检查因式分解是否正确？做整式乘法运算.把12x2y+18xy2分解因式.解：原式=3xy(4x+6y).错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式2注意：公因式要提尽.正解：原式=6xy(2x+3y).小明的解法有误吗？当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.错误
5、 注意：某项提出莫漏1.解：原式=x(3x-6y).把3x2-6xy+x分解因式.正确解：原式=3xx-6yx+1x=x(3x-6y+1)小亮的解法有误吗？提出负号时括号里的项没变号 错误 把-x2+xy-xz分解因式.解：原式=-x(x+y-z).注意：首项有负常提负.正确解：原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z)小华的解法有误吗？例3：把下列多项式分解因式：(1)-3x2+6xy-3xz；(2)3a3b+9a2b2-6a2b.解：(1)-3x2+6xy-3xz=(-3x)x+(-3x)(-2y)+(-3x)z=-3x(x-2y+z).方法归纳：用提公因式法分解因式应注意：(1)如
6、果多项式的第一项系数是负数,一般要先提出负因数，保证括号内首项为正.(2)公因式的系数是负号时，提公因式后各项要变号.(2)3a3b+9a2b2-6a2b=3a2ba+3a2b3b-3a2b2=3a2b(a+3b-2)例4：把分解因式：2a(b+c)-5(b+c).解：2a(b+c)-5(b+c)=(b+c)2a+(b+c)5=(b+c)(2a-5).方法归纳：公因式可以是数字，字母，单项式，还可以是多项式.例5 计算：(1)39371391；(2)2920.167220.161320.1620.1614.(2)原式20.16(29721314)2016.1320260；解：(1)原式3133
7、7139113(33791)方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便例6 已知ab7，ab4，求a2bab2的值原式ab(ab)4728.解：ab7，ab4，方法总结：含ab，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用ab和ab表示的式子，然后将ab，ab的值整体带入即可.提公因式法步骤（分两步）：第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.运用提公因式法分解因式常常运用到整体思想，整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.要点归纳 1.多项式15
8、m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（）A5mn B5m2n2C5m2n D 5mn22.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（）Ax+1 B2xCx+2 Dx+33.下列多项式的分解因式，正确的是（）A12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）B3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）C-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）Da2b+5ab-b=b（a2+5a）B当堂练习CD4.把下列各式分解因式：(1)8 m2n+2mn=_；(2)12xyz-9x2y2=_；(3)p(a2+b2)-q(a2+b2)=_；(4)-x3y3-x2y2-
9、xy=_；2mn(4m+1)3xy(4z-3xy)(a2+b2)(p-q)-xy(x2y2+xy+1)(5)(x-y)2+y(y-x)=_.(y-x)(2y-x)5.若9a2(xy)23a(yx)3M(3axy)，则M等于_.3a(xy)26.简便计算：(1)1.992+1.990.01;(2)20132+2013-20142;(3)(-2)101+(-2)100.(2)原式=2013(2013+1)-20142=20132014-20142=2014(2013-2014)=-2014解：(1)原式=1.99(1.99+0.01)=3.98；(3)原式=(-2)100(-2+1)=2100(-
10、1)=-2100.解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 4=12.(2)原式=(2x+1)(2x+1)-(2x-1)=(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1).7.(1)已知:2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.(2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x=.12将x=代入上式，得12原式=4.系数：各项系数的_.课堂小结提公因式法 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的_，简称多项式的公因式.确定 公因式 字母：各项_的字母 相同字母的指数取次数_.定义：逆用乘法对加法的_律，可以把_写在括号外边，作为积的一个_，这种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.最大公约数 相同 最低的 分配 公因式 公因式 因式 观看视频学习
