1、5.2 向量的数量积知识梳理1.数量积的概念：（1）向量的夹角：如下图，已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则AOB=（0180）叫做向量a与b的夹角，记作a，b.（2）数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积，记作ab，即ab=|a|b|cos.（3）数量积的几何意义：数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos的乘积.2.数量积的性质：设e是单位向量，a，e=.（1）ea=ae=|a|cos.（2）当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=|a|b|，特别地，aa=|a|2，或|a|=.（3）abab=0.（4）c
2、os=.（5）|ab|a|b|.3.运算律：（1）ab=ba；（2）（a）b=（ab）=a（b）；（3）（a+b）c=ac+bc.4.向量数量积的坐标运算：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则（1）ab=x1x2+y1y2；（2）|a|=；（3）cosa，b=；（4）abab=0x1x2+y1y2=0.思考讨论（ab）c与a（bc）是否相等?点击双基1.（2004年全国，3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a+3b|等于A.B.C.D.4解析：|a+3b|=.答案：C2.若向量a与b的夹角为60，|b|=4，（a+2b）（a3b）=72，则向量a的模是A.2B.4C.6
3、D.12解析：（a+2b）（a3b）=|a|2|a|b|cos606|b|2=|a|22|a|96=72，|a|22|a|24=0.（|a|6）（|a|+4）=0.|a|=6.答案：C3.已知a=（，2），b=（3，5），且a与b的夹角为钝角，则的取值范围是A.B.C.D.解析：a与b的夹角为钝角，cosa，b0.ab0.3+100.答案：A4.（2004年上海，6）（理）已知点A（1，2），若向量与a=（2，3）同向，|=2，则点B的坐标为_.解析：设A点坐标为（xA，yA），B点坐标为（xB，yB）.与a同向，可设=a=（2，3）（0）.|=2，=2.则=（xBxA，yByA）=（4，6）
4、，B点坐标为（5，4）.答案：（5，4）（文）已知点A（1，5）和向量a=（2，3），若=3a，则点B的坐标为_.解析：设B点坐标为（xB，yB），则=（xB+1，yB+5）=3a=（6，9），B（5，4）.答案：（5，4）典例剖析【例1】 判断下列各命题正确与否：（1）若a0，ab=ac，则b=c；（2）若ab=ac，则bc当且仅当a=0时成立；（3）（ab）c=a（bc）对任意向量a、b、c都成立；（4）对任一向量a，有a2=|a|2.剖析：（1）（2）可由数量积的定义判断.（3）通过计算判断.（4）把a2转化成aa=|a|2可判断.解：（1）ab=ac，|a|b|cos=|a|c|cos
5、（其中、分别为a与b，a与c的夹角）.|a|0，|b|cos=|c|cos.cos与cos不一定相等，|b|与|c|不一定相等.b与c也不一定相等.（1）不正确.（2）若ab=ac，则|a|b|cos=|a|c|cos（、为a与b，a与c的夹角）.|a|（|b|cos|c|cos）=0.|a|=0或|b|cos=|c|cos.当bc时，|b|cos与|c|cos可能相等.（2）不正确.（3）（ab）c=（|a|b|cos）c，a（bc）=a|b|c|cos（其中、分别为a与b，b与c的夹角）.（ab）c是与c共线的向量，a（bc）是与a共线的向量.（3）不正确.（4）正确.评述：判断上述问题的
6、关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律.【例2】 平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点.（1）当取最小值时，求的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cosAXB的值.剖析：因为点X在直线OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式，再根据的最小值，求得的坐标，而cosAXB是与夹角的余弦，利用数量积的知识易解决.解：（1）设=（x，y），点X在直线OP上，向量与共线.又=（2，1），x2y=0，即x=2y.=（2y，y）.又=，=（1，7），=（12y，7y）.同样=（52y，1y）.于是=（12y）
7、（52y）+（7y）（1y）=5y220y+12=5（y2）28.当y=2时，有最小值8，此时=（4，2）.（2）当=（4，2），即y=2时，有=（3，5），=（1，1）.|=，|=.cosAXB=.评述：（1）中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数.而（2）中即为数量积定义的应用.【例3】 已知向量、满足+ =0，|=|=|=1.求证：P1P2P3是正三角形.剖析：由|=|=|=1知O是P1P2P3的外接圆的圆心，要证P1P2P3是正三角形，只需证P1OP2=P2OP3=P3OP1即可，即需求与，与，与的夹角.由+=0变形可出现数量积，进而求夹角.证明：
8、+=0，+=.|+|=|.|2+|2+2=|2.又|=|=|=1，=.|cosP1OP2=，即P1OP2=120.同理P1OP3=P2OP3=120.P1P2P3为等边三角形.评述：解本题的关键是由+=0转化出现向量的数量积，进而求夹角.深化拓展本题也可用如下方法证明：以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），则=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3）.由+=0，得由|=|=|=1，得x12+y12=x22+y22=x32+y32=1.2+2（x1x2+y1y2）=1.|=.同理|=，|=.P1P2P3为正三角形.闯关训练夯实基础
9、1.若a=（2，3），b=（4，7），则a在b方向上的投影为A.B.C.D.解析：a在b方向上的投影为=.答案：C2.已知|a|=10，|b|=12，且（3a）（b）=36，则a与b的夹角是A.60B.120C.135D.150解析：由（3a）（b）=36得ab=60.cosa，b=.又0a，b180，a，b=120.答案：B3.若向量c垂直于向量a和b，d=a+b（、R，且0），则A.cdB.cdC.c不平行于d，也不垂直于dD.以上三种情况均有可能解析：ca，cb，ca=0，cb=0.cd=c（a+b）=c（a）+c（b）=ca+cb=0.答案：B4.给出下列命题：若a2+b2=0，则a=
10、b=0；已知a、b、c是三个非零向量，若a+b=0，则|ac|=|bc|；在ABC中，a=5，b=8，c=7，则=20；a与b是共线向量ab=|a|b|.其中真命题的序号是_.（请把你认为是真命题的序号都填上）解析：a2+b2=0，|a|=|b|.又|a|0，|b|0，|a|=|b|=0.a=b=0.正确.a+b=0，a=b，|ac|=|a|c|cosa，c|，|bc|=|b|c|cosb，c|=|a|c|cosa，c|=|a|c|cos（a，c）|=|a|c|cosa，c|.正确.cosC=.=|cos（C）=58（）=20.不正确.a与b是共线向量a=b（b0）ab=b2，而|a|b|=|
11、b|b|=|b|2.不正确.答案：5.已知|a|=，|b|=3，a和b的夹角为45，求当向量a+b与a+b的夹角为锐角时，的取值范围.解：a+b与a+b的夹角为锐角，即（a+b）（a+b）0，也就是a2+（2+1）ab+b20，即2+（2+1）3+90，解得或.6.如下图，以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角OAB，使B=90.求点B和向量的坐标.分析：这里关键是求出B点的坐标，设B（x，y），由和|=|，则可列出x、y的方程组.解：设B点坐标为（x，y），则=（x，y），=（x5，y2）.，x（x5）+y（y2）=0，即x2+y25x2y=0.又|=|，x2+y2=（x5）2+（y2）2
12、，即10x+4y=29.解得或B点坐标为（，）或（，）.故=（，）或=（，）培养能力7.（2004年浙江，14）（理）已知平面上三点A、B、C满足|=3，|=4，|=5，则+的值等于_.解析：|2+|2=|2，ABC为直角三角形，其中B=90.+=0+|cos（C）+|cos（A）=25.答案：25（文）已知平面上三点A、B、C满足|=2，|=1，|=，则+的值等于_.解析：|2+|2=|2，ABC为直角三角形且C=90.+=|cos（B）+0+|cos（A）=4.答案：48.已知F1（1，0），F2（1，0），A（，0），动点P满足3+=0.（1）求动点P的轨迹方程.（2）是否存在点P，使P
13、A成为F1PF2的平分线?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设P（x，y），则=（1x，y），=（1x，y）， =（x，y）.=（1x）（x）+（y）2=（x+1）（x）2+y2，=（1x）（x）+（y）2=（x1）（x）+y2.3（x+1）（x）+y2+（x1）（x）+y2=0.x2+y2=即为P点的轨迹方程.（2）设存在，则cosF1PA=cosAPF2.将条件3=代入上式不成立.不存在.探究创新9.已知平面向量a=（，1），b=（，），（1）证明：ab；（2）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+（t23）b，y=ka+tb，且xy，试求函数关系式k=f（t）；（3
14、）据（2）的结论，确定函数k=f（t）的单调区间.（1）证明：ab=+（1）=0.（2）解：xy，xy=0，且ab=0，a2=4，b2=1，整理得4k+t（t23）=0，k= t（t23）.（3）解：记f（t）=（t33t），（t）=t2.令（t）0得t1或t1.因此，当t（，1）时，f（t）是增函数；当t（1，+）时，f（t）也是增函数.再令（t）0，得1t1，故t（1，1）时，f（t）是减函数.思悟小结1.平面向量的数量积及其几何意义是本节的重点，用数量积处理向量垂直问题，向量的长度、角度问题是难点.2.向量的数量积是向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，结果却是一个数量，所以向量
15、的数量积的坐标表示是纯数量的坐标表示.3.向量a与b的夹角：（1）当a与b平移成有公共起点时两向量所成的角才是夹角；（2）0a，b180；（3）cosa，b=.教师下载中心教学点睛1.本课时复习的重点是：平面向量的数量积及其几何意义，掌握向量垂直的条件，了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题.2.向量的数量积是向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，结果却是一个数量.3.要让学生掌握向量的夹角的含义.要会用cos=或cos=求两向量的夹角.拓展题例【例题】 在ABC中，（1）若=a，=b，求证：SABC=；（2）若=（a1，a2），=（b1，b2），求证：ABC的面积S=|a1b2a2b1|.证明：（1）设a、b的夹角为，ABC的面积S=|sin=|a|b|sin.sin2=1cos2=1（）2，S2=（|a|b|）2sin2=（|a|b|）21（）2=（|a|b|）2（ab）2.S=.（2）记=a，=b，则a=（a1，a2），b=（b1，b2）.|a|2=a12+a22，|b|2=b12+b22，|ab|2=（a1b1+a2b2）2.由（1）可知S=，S=|a1b2a2b1|.评述：（1）是用数量积给出的三角形的面积公式；（2）是用向量坐标给出的三角形的面积公式.
