1、直线的两点式方程A级基础巩固1.已知ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为边AB的中点,N为边AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为()A.2x+y-8=0B.2x-y+8=0C.2x+y-12=0D.2x-y-12=0解析:根据题意,求得点M的坐标为(2,4),点N的坐标为(3,2),由两点式,得直线MN的方程为y-24-2=x-32-3,整理,得2x+y-8=0.答案:A2.经过A(2,5),B(-3,6)两点的直线在x轴上的截距为()A.2B.-3C.-27D.27解析:由两点式得直线方程为y-65-6=x+32+3,整理,得x+5y-27=0.令y=0,
2、得x=27.答案:D3.经过点M(2,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是()A.x+y=4B.x+y=2C.x+y=4或y=xD.x=2或y=2解析:当直线过原点时,由题意,得斜率为1,由点斜式求得直线的方程是y-2=x-2,即y=x.当直线不过原点时,设直线的方程是xa+ya=1,把点M(2,2)的坐标代入方程,得a=4,所以直线的方程是x+y=4.综上所述,所求直线的方程为y=x或x+y=4.答案:C4.若直线xa+yb=1过第一、二、三象限,则()A.a0,b0B.a0,b0C.a0D.a0,b0解析:由题意可作出直线的示意图,如图所示.由图象可知直线在y轴上的截距大于0,在x
3、轴上的截距小于0,所以a0.答案:C5.若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A(6,-2),则直线l的方程为x+2y-2=0或2x+3y-6=0.解析:设直线在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为a-1.经检验知a0,且a1.由截距式可得直线方程为xa+ya-1=1,由直线过点(6,-2),得6a+-2a-1=1,解得a=2或a=3.把a的值代入截距式方程,整理可得x+2y-2=0或2x+3y-6=0.6.已知一条直线经过点A(1,0),B(m,1),求这条直线的方程.解:由直线经过点A(1,0),B(m,1),可知该直线的斜率不可能为0,但有可能不存在.(1)当直线斜率不存在
4、,即m=1时,直线方程为x=1.(2)当直线斜率存在,即m1时,利用两点式,可得直线方程为y-01-0=x-1m-1,即x-(m-1)y-1=0.综上可得,当m=1时,直线方程为x=1;当m1时,直线方程为x-(m-1)y-1=0.B级拓展提高7.在同一平面直角坐标系中,两直线xm-yn=1与xn-ym=1的图象可能是()ABCD解析:由xm-yn=1,得y=nmx-n;由xn-ym=1,得y=mnx-m,可知两直线的斜率同号且互为倒数.故选B.答案:B8.过点(-2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为3x+2y=0或x-y+5=0.解析:当直线过原点时,设直线方程为y=kx,则
5、k=-32,所以y=-32x,即3x+2y=0.当直线不过原点时,设直线方程为xa+y-a=1.因为直线过点(-2,3),所以-2a+3-a=1,解得a=-5,所以直线方程为x-5+y5=1,整理,得x-y+5=0.所以所求直线的方程为3x+2y=0或x-y+5=0.9.已知直线l过点P(1,2),与x轴、y轴分别交于A,B两点,且与两坐标轴围成的三角形ABO的面积为12,则此时直线l的方程为x-y+1=0或4x-y-2=0.解析:设直线l的方程为xa+yb=1,则A,B两点的坐标分别为(a,0),(0,b).因为直线l过点P(1,2),ABO的面积为12,所以1a+2b=1,12|ab|=1
6、2,解得a=-1,b=1或a=12,b=-2,所以直线l的方程为x-1+y1=1,或x12+y-2=1,即x-y+1=0或4x-y-2=0.10.已知ABC的顶点分别是A(8,5),B(4,-2),C(-6,3),求经过每两边中点的三条直线的方程.解:设边AB,BC,CA的中点分别为D,E,F.由中点坐标公式,得D6,32,E-1,12,F(1,4).由两点式,得直线DE的方程为y-3212-32=x-6-1-6.整理,得2x-14y+9=0.由两点式,得直线EF的方程为y-124-12=x-(-1)1-(-1),整理,得7x-4y+9=0.由两点式,得直线DF的方程为y-324-32=x-6
7、1-6,整理,得x+2y-9=0.11.一条光线从点A(3,2)发出,经x轴反射后,通过点B(-1,6),求入射光线和反射光线所在直线的方程.解:如图,作点A关于x轴的对称点A,则点A的坐标为(3,-2),连接AB,则直线AB即为反射光线所在直线.由两点式可得直线AB的方程为y-6-2-6=x+13+1,整理,得2x+y-4=0.同理,点B关于x轴的对称点为B(-1,-6),由两点式可得直线AB的方程为y-2-6-2=x-3-1-3,整理,得2x-y-4=0.所以入射光线所在直线的方程为2x-y-4=0,反射光线所在直线的方程为2x+y-4=0.C级挑战创新12.多选题下列命题中正确的是()A
8、.经过点P0(x0,y0),且不与x轴垂直的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示C.经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示D.不经过原点的直线都可以用方程xa+yb=1表示解析:因为直线与x轴垂直时不能用点斜式方程与斜截式方程表示,所以选项B不正确;因为直线与坐标轴垂直时也不能用截距式方程表示,所以选项D不正确.选项A和C是正确的,故选AC.答案:AC13.多空题过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为2x-y=0或x-y+1=0.解析:当直线过原点时,得直线方程为2x-y=0;当直线不过原点时,直线在两坐标轴上的截距互为相反数.可设直线的方程为xa-ya=1,将x=1,y=2代入方程可得a=-1,得直线方程为x-y+1=0.所以直线方程为2x-y=0或x-y+1=0.
