1、章末综合提升 巩固层知识整合随机事件的频率与概率【例 1】空气质量已成为城市居住环境的一项重要指标，空气质量的好坏由空气质量指数确定，空气质量指数越高，代表空气污染越严重：空气质量指数035357575115115150150250250 空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染 提升层题型探究对某市空气质量指数进行一个月(30 天)的监测，所得的条形统计图如图所示：(1)估计该市一个月内空气受到污染的概率(若空气质量指数大于或等于 75，则空气受到污染)；(2)在空气质量类别为“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中用分层抽样的方法抽取一个容量为 6 的样本，若在这 6 个数据中任
2、取 2 个数据，求这 2 个数据所对应的空气质量的类别不都是轻度污染的概率解(1)空气受到污染的概率 P1230 430 230183035.(2)易知用分层抽样的方法从“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中抽取的个数分别为 2,3,1.设它们的数据依次为 a1，a2，b1，b2，b3，c1，则抽取 2 个数据的所有基本事件为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c1)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c1)，(b2，b3)，(b2，c1)，(b3，c1)，共 15 种 设“这两天的空
3、气质量类别不都是轻度污染”为事件 A，则 A 中的基本事件数为 12，所以 P(A)121545，即这两天的空气质量类别不都是轻度污染的概率为45.1概率从数量上反映了随机事件发生的可能性大小它对大量重复试验来说存在着一种统计规律性，但对单次试验来说，随机事件的发生是随机的2解决实际问题时，要注意频率与概率的区别与联系：概率是一个常数，频率是一个变数，它随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于概率3判断一个事件是否是随机事件，关键是看它是否可能发生跟进训练1某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示：投篮次数 n8101520304050 进球次数 m681217253
4、240 进球频率mn(1)计算表中进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？解(1)填入表中的数据依次为 0.75,0.80,0.80,0.85,0.83,0.80,0.80.(2)由于上述频率接近 0.80，因此，进球的概率约为 0.80.古典概型【例 2】利用平面直角坐标系求解先后抛掷两枚骰子，观察向上的点数，则：(1)所得点数之和是 3 的概率是多少？(2)所得点数之和是 3 的倍数的概率是多少？解 掷一枚骰子的结果有 6 种由于第一枚骰子的每一个结果都可与第二枚骰子的任意一个结果配对，组成先后抛掷两枚骰子的一个结果，因此先后抛掷两枚骰子的结果共有 36 种(1)事件“所
5、得点数之和为 3”记为 A，共有两种结果：“第一枚点数为 1，第二枚点数为 2”和“第一枚点数为 2，第二枚点数为 1”，故所求概率为 P(A)236 118.(2)所得点数之和是 3 的倍数的结果有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共 12 种 记“向上的点数之和是 3 的倍数”为事件 B，则事件 B 的结果有12 种，故所求的概率为 P(B)123613.1古典概型的特点是：有限性和等可能性2对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数 n 与事件 A 包含的基本事件的个数 m
6、，再利用公式 P(A)mn求出概率有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重、不漏跟进训练2某射手在一次射击中射中 10 环、9 环、8 环、7 环、7 环以下的概率分别为 0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中：(1)射中 10 环或 9 环的概率；(2)至少射中 7 环的概率；(3)射中环数不足 8 环的概率解 设“射中 10 环”“射中 9 环”“射中 8 环”“射中 7环”“射中 7 环以下”的事件分别为 A、B、C、D、E，(1)P(AB)P(A)P(B)0.240.280.52，即射中 10 环或 9环的概率为 0.5
7、2.(2)“射中环数小于 7 环”为“至少射中 7 环”的对立事件，所以所求事件的概率为 1P(E)10.130.87.(3)P(DE)P(D)P(E)0.160.130.29，即射中环数不足 8环的概率为 0.29.几何概型探究问题1几何概型有什么特点？提示 几何概型的特点有：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；每个基本事件出现的可能性相等 2古典概型和几何概型的异同是什么？提示 几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的【例 3】向面积为 9 的ABC 内投一点 P，求PBC 的面积小于 3 的概率解 如图，作 AD
8、BC，垂足为 D，设 ED13AD，则 AE23AD.过 E 作 MNBC，则 MN23BC.SAMN12MNAE1223BC23AD4912BCAD49SABC.设事件 A：“PBC 的面积小于 3”，而点 P 落在ABC 内任一点的概率相同，当点 P 落在 MN 上时，SPBC13SABC3.当点 P 落在线段 MN 上部时，SPBC13SABC3.当 P 落在线段 MN 下部时，SPBC13SABC3.事件 A 的概率只与四边形 BCNM 的面积有关，属几何概型SABC9，SAMN49SABC4，P(A)SABCSAMNSABC949 59.几何概型的概率公式适用于有无限多个试验结果的情
9、况，且每种结果的出现是等可能的.试验的结果发生在一个确定的区域内，由于在确定范围内的等可能性，所以其概率等于该事件构成的子区域占总区域的比例.依这种比例求解，类似古典概型的思路，即事件 A 的概率由“构成事件 A 的基本事件所占的图形面积长度、体积”与“试验的全部结果所占的总面积长度、体积”之比来表示.跟进训练3在以 3为半径的圆内任取一点 P 为中点作圆的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率解 设“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件 A.在以半径为 3的圆内任取一点 P 的结果有无限个，属于几何概型如图所示，BCD 是圆内接等边三角形，再作BCD 的内切圆则满足“弦长超过圆内接等边三
10、角形边长”的点 P 在等边BCD 的内切圆内 可以计算得：等边BCD 的边长为 3，等边BCD 的内切圆的半径为 32，所以事件 A 构成的区域面积是等边BCD 的内切圆的面积 32234，全部结果构成的区域面积是(3)23，所以 P(A)34314，即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是14.数形结合思想【例 4】设点 M(x，y)在|x|1，|y|1 时按均匀分布出现(1)求 xy0 的概率；(2)求 xy1 的概率；(3)求 x2y21 的概率思路探究 利用平面直角坐标系划归为平面点集求解解 利用平面直角坐标系划归为平面点集求解如图所示，满足|x|1，|y|1 的点组成一个边长为 2
11、的正方形，其面积为 4.(1)方程 xy0 的图形是直线 AC，满足 xy0的点在直线 AC 的右上方，即在ACD 内(含边界)，SACD12S 正方形 ABCD2，所以 P(xy0)2412.(2)设 E(0,1)，F(1,0)，则 xy1 的图形是直线 EF，满足 xy1 的点在直线 EF 的左下方，而 S 五边形 ABCFES 正方形 ABCDSEDF41272，所以 P(xy1)S五边形ABCFES正方形ABCD 72478.(3)满足 x2y21 的点是以原点为圆心的单位圆 O，因为 SO，所以 P(x2y21)S正方形ABCDSOS正方形ABCD44 14.在解决较为抽象的问题时，
12、借助几何图形，可以直观、清晰地表达出问题的条件或结果，使得抽象问题形象化，从而大大简化问题的求解过程在几何概型中把概率问题转化为图形的量度问题就是很好的数形结合的典范本题把满足不等式的点集在坐标平面上找出来，就是把“数”的问题转化为“形”的问题，从而体现了数形结合思想跟进训练4设 M1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，任取 x，yM，xy.求 xy 是3 的倍数的概率解 利用平面直角坐标系列举，如图所示：由此可知，基本事件总数 n12345678945.而 xy 是 3 的倍数的情况有 m15(种)，故所求事件的概率为mn13.专 题 强 化 训 练 点击右图进入 Thank you for watching!
