1、高一数学暑假作业一、单选题1. 已知集合A=x|log2(4+x-x2)1，集合B=y|y=(12)x,x1，则A(RB)=( )A. 12,2)B. (-1,12C. (-1,012,2)D. (-,-1)(2,+)2. 已知复数z=2-i33-i，则z=()A. 12-12iB. 12+12iC. 710-110iD. 710+110i3. 已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为()A. 若m/，n/，则m/nB. 若l/m，m，则l/C. 若l/，l/，则/D. 若l/，l，则4. 已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果AB=a，A
2、D=b，那么向量MN=()A. 12a-12bB. -12a+12bC. a+12bD. -12a-12b5. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌获胜的概率为()A. 13B. 14C. 15D. 166. 已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为120，则|a-3b|=()A. 11B. 37C. 210D. 437. 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，则异面直
3、线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. 15 B. 25C. 35 D. 458. 1-2sin10cos10sin10-1-sin210的值为()A. 1B. -1C. sin10D. cos109. “喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉声音越大，涌起的泉水越高已知听到的声强m与标准声调m0(m0约为10-12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L=lgmm0，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x
4、(米)满足关系式y=2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为()米A. 5B. 10C. 45D. 4810. 已知函数f(x)=x2-x+3,x1,x+2x,x1,设，若关于x的不等式f(x)|x2+a|在上恒成立，则a的取值范围是()A. -4716,2B. -4716,3916C. -23,2D. -23,3916二、多选题11. 已知函数f(x)=loga(x2-ax+1)(a0且a1)，则下列为真命题的是()A. 当a=2时，f(x)值域为RB. 存在a，使得f(x)为奇
5、函数或偶函数C. 当a2时，f(x)的定义域不可能为RD. 存在a，使得f(x)在区间(-,2)上为减函数12. 下列命题正确的是()A. 已知幂函数f(x)=(m+1)2x-m-1在(0,+)上单调递减，则m=0或m=-2B. 函数f(x)=x2-(2m+4)x+3m有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是m0，则a的取值范围为(12,+)D. 已知函数f(x)满足f(-x)+f(x)=2，g(x)=x+1x，且f(x)与g(x)的图象的交点为(x1,y1)，(x2,y2)(x8,y8)，则x1+x2+x8+y1+y2+y8的值为813. 设函数f(x)=sin(x-6)(0
6、)，已知f(x)在0,有且仅有3个零点，对于下列4个说法正确的是()A. 在(0,)上存在x1，x2，满足f(x1)-f(x2)=2B. f(x)在(0,)有且仅有1个最大值点C. f(x)在(0,2)单调递增D. 的取值范围是136,196)三、单空题14. 复数z=i(1+i)所对应的点在第_象限15. 已知向量a=(1,3)，b=(-4,3)的夹角为，则cos= _ 16. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从
7、一年级本科生中抽取名学生17. 在ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2-b2=3ac，则角B的值是_18. 已知三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3cm，AC=4cm，ABAC，AA1=12cm，则球O的表面积为_cm219. 已知x，y0，且1x+3+1y=12，则x+y的最小值为_ 20. 将函数f(x)=2-4sin2x的图象向左平移56个单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间0,a2和3a,76上均单增，则实数a的范围是_四、解答题21. 在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，2cosC(acosB+bcos
8、A)+c=0()求角C的大小；()若a=2，b=2.求：()边长c；()sin(2B-C)的值22. 2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3)，每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：160,180
9、)，180,200)，200,220)，220,240)，240,260)，260,280)，280,300，画出频率分布直方图如图所示(1)求频率分布直方图中a的值；(2)由频率分布直方图；(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在220,240)和260,280)的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率23. 如图所示
10、，在三棱锥A-BCD中，点M、N分别在棱BC、AC上，且MN/AB()求证：MN/平面ABD；()若MNCD，BDCD，求证：平面CBD平面ABD24. 函数g(x)=ax2+2x+1的图象与函数f(x)的图象关于直线x=0对称，方程f(x)=0的两根x1，x2满足0x1x20的解集；(2)函数g(x)=2-ax(a0,a1)，若存在x1，x20,1)，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围；(3)若函数h(x)=f(x),-1x1=x|4+x-x22=x|x2-x-20=x|-1x1=y|0y1时，同样可得-(32x+2x)ax2+2x，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交
11、集即可得到所求范围对f(x)求导，由导数的几何意义求解另解：可由数形结合的思想，作出f(x)的图象和折线y=|x2+a|，由图象求解【解答】解：当x1时，关于x的不等式f(x)|x2+a|在上恒成立，即为-x2+x-3x2+ax2-x+3，即有-x2+12x-3ax2-32x+3，由y=-x2+12x-3的对称轴为x=141，可得x=14处取得最大值-4716；由y=x2-32x+3的对称轴为x=341时，关于x的不等式f(x)|x2+a|在上恒成立，即为-(x+2x)x2+ax+2x，即有-(32x+2x)ax2+2x，由y=-(32x+2x)-23x22x=-23(当且仅当x=231)取得
12、最大值-23；y=12x+2x212x2x=2(当且仅当x=21)取得最小值2则-23a2由可得，-4716a2另解：作出f(x)的图象和折线y=|x2+a|当x1时，y=x2-x+3的导数为y=2x-1，由2x-1=-12，可得x=14，切点为(14,4516)代入y=-x2-a，解得a=-4716；当x1时，y=x+2x的导数为y=1-2x2，由1-2x2=12，可得x=2(-2舍去)，切点为(2,3)，代入y=x2+a，解得a=2由图象平移可得，-4716a2故选：A11.【答案】AC【解析】解：当a=2时，函数f(x)=log2(x2-2x+1)，令y=log2t，则t=x2-2x+1
13、=(x-1)20，因为t能取遍大于0的一切实数，所以f(x)的值域为R，故选项A正确；假设f(x)为奇函数，所以f(-x)+f(x)=0，所以loga(x2-ax+1)+loga(x2+ax+1)=0，即loga(x2-ax+1)(x2+ax+1)=0，所以(x2-ax+1)(x2+ax+1)=1，所以x2(a2+x2-2)=0不能恒成立，则a不是常数，所以f(x)不是奇函数；假设f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以loga(x2-ax+1)=loga(x2+ax+1)，所以a=0，又因为a0，所以f(x)不是偶函数，故选项B错误；令y=logat,t=x2-ax+1，因为t=x2
14、-ax+1开口向上，且=a2-4，又a2，所以=a2-40，所以f(x)的定义域不可能是R，故选项C正确；令y=logat,t=x2-ax+1，当a1时，则y=logat在定义域上是增函数，t=x2-ax+1在(-,a2)上单调递减，所以a1a224-2a+10无解，即不存在a可使得f(x)在区间(-,2)上为减函数，故选项D错误故选：AC利用换元法，令y=log2t，分析t的取值范围再结合对数函数的性质即可判断选项A，假设函数f(x)是奇函数或是偶函数，然后进行分析推导，推出矛盾即可判断选项B，利用换元法研究t=x2-ax+1的取值情况来判断选项C，利用换元法结合函数的单调性即可判断选项D本
15、题考查了函数的综合应用，涉及了对数函数的图象和性质的应用、二次函数的图象和性质、函数奇偶性的应用以及函数单调性的应用，涉及的知识点较多，综合性强，对学生而言有一定的难度12.【答案】BD【解析】解：对于A，由f(x)是幂函数可知(m+1)2=1，故m=0或m=-2，由f(x)在(0,+)上单调递减可知-m-1-1，故m=0，故A错误；对于B，若f(x)=x2-(2m+4)x+3m有两个零点，一个大于0，一个小于0，则3m0，即m0，若m-1，则3m-30，f(x)=x2-(2m+4)x+3m有两个零点，一个大于0，一个小于0，m0必须满足条件：-12a-11，即0a1，故C错误；对于D，f(-
16、x)+f(x)=2，g(x)=x+1x=1+1x，f(x)和g(x)的图象都关于点(0,1)对称，f(x)和g(x)的图象的8个交点中，两两关于点(0,1)对称，x1+x2+x8=0，y1+y2+y8=42=8，x1+x2+x8+y1+y2+y8=8.故D正确；故选：BD根据幂函数概念和单调性列不等式组得出m的值判断A，根据f(0)0，所以x0时小区间递增，函数在0,仅有3个零点时，则的位置在CD之间(包括C，不包括D)，令f(x)=sin(x-6)=0，则x-6=k得，x=(6+k)1 (kz)，y轴右侧第一个点横坐标为6，周期T=2，所以6+T6+32T6+26+322136196，所以D
17、正确在0,区间上，函数达到最大值和最小值，所以存在x1，x2，满足f(x1)-f(x2)=2，所以A正确，由大致图象得，可能有两个最大值，B不一定正确；因为最小值为136，所以0x2时，-6x-60，且1x+3+1y=12，则x+y=x+3+y-3，=2(x+3)+y(1x+3+1y)-3=2(2+yx+3+x+3y)-3，2(2+2yx+3x+3y)-3=5，当且仅当yx+3=x+3y且1x+3+1y=12，即y=4，x=1时取等号，则x+y的最小值为5故答案为：5利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题20.【答案】29,3【解析】解：将函
18、数f(x)=2-4sin2x=2cos2x的图象向左平移56个单位后得到函数g(x)=cos(2x+53)=-cos(2x+23)的图象，若函数g(x)在区间0,a2和3a,76上均单调递增，则y=cos(2x+23)在区间0,a2和3a,76上均单调递减，在区间0,a2上，2x+2323,a+23，在3a,76上，2x+236a+23,3，a+23(0,，且6a+232,3，求得29a3，故答案为：29,3.由题意利用函数y=Asin(x+)的图象变换规律，余弦函数的单调性，求得实数a的范围本题主要考查函数y=Asin(x+)的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题21.【答案】解：()
19、由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)+sinC=0(2分)2cosCsinC+sinC=0，cosC=-22，0C，(4分)C=34(5分)()()因为a=2,b=2，C=34，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=2+4-222(-22)=10，c=10(7分)()由csinC=bsinBsinB=55，(9分)因为B为锐角，所以cosB=255(10分)sin2B=255255=45，cos2B=cos2B-sin2B=35(12分)sin(2B-C)=sin2BcosC-cos2BsinC=45(-22)-3522=-7210(14分)【解析】(I)
20、利用正弦定理、和差公式化简即可得出(II)()因为a=2,b=2，C=34，利用余弦定理即可得出()由csinC=bsinBsinB=55，可得cosB再利用倍角公式、和差公式即可得出本题考查了正弦定理、余弦定理、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22.【答案】解：(1)由(0.0025+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a+0.0025)20=1，解得a=0.005(2)(i)(0.002+0.0095+0.011)20=0.450.5，三科总分成绩的中位数在220,240)内，设中位数为x，则(0.002+0.0095+0.011)20+0.012
21、5(x-220)=0.5，解得x=224，即中位数为224(ii)三科总分成绩的平均数为：1700.04+1900.19+2100.22+2300.25+2500.15+2700.1+2900.05=225.6(3)三科总分成绩在220,240)，260,280)两组内的学生分别为25人，10人，抽样比为725+10=15，三科总分成绩在220,240)，260,280)两组内抽取的学生数量分别为：2515=5人，1015=2人，设事件A表示“抽取的这2名学生来自不同组”，从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，基本事件总数n=C72=21，事件A包含的基本事件个数m=C51C21=10，
22、抽取的这2名学生来自不同组的概率P(A)=mn=1021【解析】(1)由频率分布直方图能求出a(2)(i)由频率分布直方图能求出中位数(ii)由频率分布直方图能求出三科总分成绩的平均数(3)先求出抽样比为15，再求出三科总分成绩在220,240)，260,280)两组内抽取的学生数量分别为5人，2人，设事件A表示“抽取的这2名学生来自不同组”，基本事件总数n=C72=21，事件A包含的基本事件个数m=C51C21=10，由此能求出抽取的这2名学生来自不同组的概率本题考查频率、中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题23.【答案】证明
23、：(1)在三棱锥A-BCD中，点M、N分别在棱BC、AC上，且MN/ABMN平面ABD，AB平面ABD，MN/平面ABD(2)MNCD，MN/AB，ABCD，BDCD，DBAB=B，CD平面ABD，CD平面BCD，平面ABD平面BCD【解析】(1)由MN/AB，利用直线与平面平行的判断定理，证明MN/平面ABD(2)推导出BADC，DCBD，从而CD平面ABD，由此能证明平面ABD平面BCD本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题24.【答案】解：(1)因为函数g(x)与函数f(x)的图象关于直线x=0对称
24、，所以g(x)的两根为x1，x2与x1，x2关于x=0对称，又0x1x22，所以-2x2x10f(0)0f(-2)0，解得34a1，所以a的取值范围为(34,1)(2)因为函数g(x)与函数f(x)的图象关于直线x=0对称，所以f(x)=a(-x)2+2(-x)+1=ax2-2x+1，所以x1+x2=2a，x1x2=1a，所以x1+x2x1x2=2，因为t=x2x1，则x2=tx1，代入，得x2t+x2x2tx2=2，则t=2x2-1，0x1x21，所以t的取值范围为(1,3)(3)|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4a=2a1-a=21-aa2，令m(a)=1-aa2
25、，则m(a)=2a-2a3，a(34,1)，所以m(a)在(34,1)上单调递减，所以m(a)m(1)=0，由|x1-x2|m2-2bm-2，对于x-1,1上恒成立，所以m2-2bm-20，若m=0时，-20时，y=-2mb+m2-2在-1,1上单调递减，所以b=-1时，即ymax0，m2+2m-20，得0m3-1，若m0时，y=-2mb+m2-2在-1,1上单调递增，所以b=1时，ymax0，即m2-2m-20，得1-3m0，综上所述，m的取值范围为(1-3,3-1)【解析】(1)根据题意设g(x)的两根为x1，x2与x1，x2关于x=0对称，又0x1x22，则-2x2x10f(0)0f(2
26、)0，解得a的取值范围(2)根据题意可得f(x)=ax2-2x+1，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，则x1+x2x1x2=2，由t=x2x1，得x2=tx1，进而可得t=2x2-1，0x1x22，即可得出答案(3)|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=21-aa2，令m(a)=1-aa2，求导，分析单调性，可得m(a)0，分三种情况：若m=0时，若m0时，若m0，可得-1x1，f(-x)=lg1+x1-x=-f(x)，即f(x)为奇函数，且0x0，即为f(f(x)-f(lg2)=f(-lg2)，则-1f(x)-lg2，即-1lg1-x1+xlg12，即为0.11-x1+x12，解
27、得13x0,a1)，若存在x1，x20,1)，使得f(x1)=g(x2)成立，当0x1时，g(x)在0,1)递减，可得g(x)的值域为(2-a,1，由题意可得f(x)和g(x)的值域存在交集，即有2-a2；若0a1，则g(x)在0,1)递增，可得g(x)的值域为1,2-a)，由题意可得f(x)和g(x)的值域不存在交集，综上可得a的范围是(2,+)；(3)由y=hh(x)-2，得hh(x)=2，令t=h(x)，则h(t)=2，作出图象，当k0时，只有一个-1t0，对应3个零点，当0k1时，1k+12，此时t1-1，-1t20，t3=1k1，由k+1-1k=k2+k-1k=1k(k+1+52)(
28、k-5-12)，得在5-121k，三个t分别对应一个零点，共3个，在01或k=0或k-200101时，y=hh(x)-2只有1个零点，当-200101k0或5-12k1时，y=hh(x)-2有3个零点，当0k5-12时，y=hh(x)-2有5个零点【解析】(1)求得f(x)的定义域和值域、单调性，由题意可得0.11-x1+x12，解不等式即可得到所求范围；(2)求得当0x1，0a1时，g(x)的值域，由题意可得f(x)和g(x)的值域存在交集，即可得到所求范围；(3)由y=hh(x)-2，得hh(x)=2，令t=h(x)，则h(t)=2，作出图象，分类讨论，即可求出零点的个数本题主要考查函数的定义域和奇偶性、单调性，以及不等式的解法，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于难题
