1、高一数学暑假作业一、单选题1. 为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是()A. 总体是240B. 个体是每一个学生C. 样本是40名学生D. 样本容量是402. 已知复数z=(2+i)(a-3i)是纯虚数，则实数a=()A. -32B. 32C. -3D. 33. 若ABC外接圆圆心为O，半径为4，且OA+2AB+2AC=0，则CACB的值为()A. 14B. 27C. 7D. 24. 已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=4，点O为其外接圆的圆心.已知COBA=6，则角A的最大值为()A. 6B. 3C. 4D. 25. 在
2、斜三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90，AB1BC，则B1在底面ABC上的射影H必在()A. 直线AC上B. 直线BC上C. 直线AB上D. ABC内部6. 已知长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6cm3，AB=1cm，BC=2cm，若该长方体的八个顶点都在球O的球面上，则球O的体积是（）A. 7143cm3B. 113cm3C. 773cm3D. 83cm37. 已知直角梯形OABC上下两底分别为分别为2和4，高为22，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为()A. 62 B. 32C. 3 D. 68. 如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是正方形ABCD的中心，则直线A1
3、D与直线B1M所成角大小为()A. 30 B. 45C. 60 D. 909. 岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作岳阳楼记使得岳阳楼著称于世.自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼“之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得DAC=30，DBC=45，AB=14米，则岳阳楼的高度CD约为()(21
4、.414,31.732)A. 18米B. 19米C. 20米D. 21米二、多选题10. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面BCC1B1内(包括边界)一动点，且D1P/平面EFG，则()A. BD/EG B. BD1/平面EFGC. 三棱锥D1-EFG的体积为13D. P点的轨迹长度为211. 在ABC中，角所对的边分别为a，b，c，给出下列四个命题中，其中正确的命题为()A. 若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=1：2：3B. 若cosAsinBC. 若A=30，a=3，b=4，则这个三角形有两解D. 当ABC是钝角三角形则t
5、anAtanC1三、填空题12. i是虚数单位，则|5-i1+i|的值为13. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，AC=3，BB1=2BC=8，D为棱BB1的中点，则三棱锥D-ACC1的外接球的表面积为_ 14. 四面体ABCD的顶点A、B、C、D在同个球面上，AD平面ABC，AD=263，AB=2，AC=3，CAB=60，则该四面体的外接球的表面积为_ 15. 已知向量a=(1,2)，b=(0,-1)，c=(x,-2)，若a/c，则x= _ ；若(a-2b)c，则x= _ 16. 掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的
6、点数”，则一次试验中，事件AB-(B-表示事件B的对立事件)发生的概率为_17. 如图，在ABC中，AN=13NC.若AN=AC，则的值为(1)，P是BN上的一点，若AP=13AB+mAC，则m的值为(2)四、解答题18. 已知平面向量a，b，|a|=2，|b|=1，且a与b的夹角为3(1)求ab；(2)求|a+2b|；(3)若a+2b与2a+b(R)垂直，求的值19. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=3acosB(1)求角B的大小；(2)若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值20. 为了了解高二年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，
7、将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高二学生的达标率是多少？21. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M-EFGH的体积为_22. 某校参加夏令营的同学有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其所属年级情况如表：高一年级高二年级高三三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞
8、赛(每人被选到的可能性相同)()用表中字母写这个试验的样本空间；()设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件M的样本点，并求事件M发生的概率23. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，BAD=60(1)求证：AB/平面PCD；(2)求证：直线BD平面PAC；(3)求直线PB与平面PAD所成角的正切值答案和解析1.【答案】D【解析】解：本题考查的对象是240名高一学生的身高情况，故总体是240名高一学生的身高情况；个体是每个学生的身高情况；样本是40名学生的身高情况，故样本容量是40故选D本题考查的是确定总体解此类
9、题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物”.我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象是某校高一学生的身高，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位2.【答案】A【解析】解：复数z=(2+i)(a-3i)=(2a+3)+(a-6)i是纯虚数，则2a+3=0a-60，解得实数a=-32故选：A根据复数的乘法运算和纯虚数的定义，列方程求出实数
10、a的值本题考查了复数的代数形式运算问题，是基础题3.【答案】A【解析】解：取BC的中点E，由OA+2AB+2AC=0得OA+4AE=0，得AO=4AE，所以点A，E，O三点共线，且E为线段AO的靠近A的四等分点，AO=4，AE=1，OE=3，在直角三角形OEC中可得CE=7，CACB=|CA|CB|cosACE=|CA|CB|CE|CA|=|CB|CE|=2|CE|2=27=14故选：A取BC的中点E，再根据已知推出点A，E，O三点共线，且E为线段AO的靠近A的四等分点，AE=1，OE=3，最后利用向量数量积可得本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题4.【答案】A【解析】解：如图：取
11、AB的中点D，则DOBA，COBA=(CD+DO)BA=CDBA，=12(CA+CB)(CA-CB)=12(16-a2)=6，a=2，又cosA=b2+c2-a22bc=c2+128c=c8+128c2c8128c=32，当且仅当c8=128c即c=23时取等号，cosA32，又A(0,)，A(0,6.故选：A取AB的中点D，则DOBA得COBA=(CD+DO)BA=CDBA=6，求出a值，再利用余弦定理和基本不等式，求出cosA的范围即可本题考查平面向量数量积性质及运算、余弦定理、基本不等式，考查数学运算能力及直观想象能力，属于中档题5.【答案】A【解析】解：在斜三棱柱ABC-A1B1C1中
12、，ACB=90，AB1BC，BCAC，又ACAB1=A，BC平面ACB1，BC平面ABC，平面ACB1平面ABC，B1在底面ABC上的射影H必在两平面的交线AC上故选：A由题意知要判断B1在底面ABC上的射影H，需要看过这个点向底面做射影，观察射影的位置，根据BC与一个平面上的两条直线垂直，得到BC与两条直线组成的面垂直，根据面面垂直的判断和性质，得到结果本题考查棱柱的结构特征，考查直线与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题6.【答案】A【解析】【分析】本题考查球的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养
13、根据长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6cm3，AB=1cm，BC=2cm，可得BB1，再计算出球O的半径R，即可求解体积【解答】解：由题意长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6cm3，AB=1cm，BC=2cm，可得：BB1=3，球的半径R=12AB2+BC2+B1B2=142，则球O的体积V=43R3=故选：A7.【答案】C【解析】解：根据斜二测画法可知，y轴上的OC，在新系中在y轴上，且OC=12OC=2，作CDx轴于D，则CD=1，又CB=CB，CB/CB，SOCBA=12(2+4)1=3故选：C利用斜二测画法找到新系中各点的位置，则新梯形的底和高容易求得，进而求出面积本题考
14、查了斜二测画法，属容易题8.【答案】A【解析】解：如图，将A1D平移到B1C，连接MC，则MB1C是直线A1D与直线B1M所成角设棱长为2，则B1C=22，MC=2，B1M=6cosMB1C=32，MB1C=30，故选：A先将A1D平移到B1C，连接MC，得到的锐角MB1C就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题9.【答案】B【解析】解：设CD=x，如图，测得DAC=30，DBC=45，AB=14米，则：DC=BC，在ACD中，利用三角函数的关系式：tanDAC=xx+14，整理得33=xx+
15、14，解得：x19(米)，故选：B直接利用解直角三角形知识的应用和三角函数的值的应用求出结果本题考查的知识要点：三角函数的值，解直角三角形知识的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题10.【答案】BCD【解析】解：对于A，取BB1的中点M，连接GM，BD，由正方体的性质可知，BD/GM，而GM与EG相交，故BD与EG不平行，故A错误；对于B，连接D1C，由面面平行的判定可得平面FGE/平面D1BC，由平面与平面平行的性质可得BD1/平面EFG，故B正确；对于C，由等体积法可得：VD1-EFG=VE-FGD1=13SFGD1AE=13(1221)1=13，故C正确；对于D，由分析
16、时可知平面FGE/平面D1BC，即点P的轨迹为线段BC，长度为2，故D正确故选：BCD取BB1的中点M，连接GM，BD，可得BD/GM，由GM与EG相交判定A错误；连接D1C，由面面平行的判定及性质判断B；利用等体积法求体积判定C；求出P点的轨迹判断D本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题11.【答案】BCD【解析】解：对于A，若A：B：C=1：2：3，则A=30，B=60，C=90，故a：b：c=sin30：sin60：sin90=1：3：2.故错误；对于B，在ABC中，cosABsinAsinB，故正
17、确；对于C，由A=30，a=3，b=4，可得312=4sinB，可得sinB=23sin30，故满足条件的角B有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解，故正确；对于D，当A为钝角时，tanA0，tanAtanC0，tanC0，tanAtanC1，成立，当B为钝角时，cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC0，可得sinAsinCcosAcosC，可得tanAtanC1，成立，综上，命题正确故选：BCD对于A，运用内角和定理，求出A，B，C，再由正弦定理，即可得到三边之比，即可判断；对于B，在ABC中，cosABsinAsinB，得出答案；对于C，利用正弦定理求得
18、满足条件的角C有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解；对于D，分类讨论，利用两角和的余弦函数公式即可判断得解本题考查正弦定理和余弦定理及运用，考查三角形的形状的判断，考查运算能力，属于中档题和易错题12.【答案】13【解析】【分析】本题主要考查复数的模及复数的基本运算，考查计算能力，属于基础题利用复数四则运算先化简，再求模长【解答】解：由题意，可知：5-i1+i=(5-i)(1-i)(1+i)(1-i)=4-6i1-i2=2-3i，|5-i1+i|=|2-3i|=22+(-3)2=13故答案为1313.【答案】73【解析】解：由题意知，BC=BD=B1D=4，又ACBC，AC=3，A
19、B=5，CD=C1D=42，则AD=AB2+BD2=41，AC1=AC2+CC12=73，AC12=AD2+C1D2，得C1DAD，又ACCC1，AC1的中点为三棱锥D-ACC1外接球的球心，则外接球的半径R=12AC1=732外接球的表面积为S=4R2=4(732)2=73故答案为：73由直三棱柱的性质求出CD、C1D1、AD、AC1，结合勾股定理可得C1DAD，CC1AC，可得AC1的中点为三棱锥D-ACC1外接球的球心，再求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案本题考查多面体的外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题14.【答案】12【解析】解：如图所
20、示，设ABC的外接圆的余弦为O1，过O1作直线l平面ABC，又DA平面ABC，DA/l，连接AO1并延长，交球O于H，连接DH，与l的交点为球心O，则OH=OD=R，OO1=12AD=63，在ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2ABACcos60=4+9-22212=7，BC=7，又由正弦定理可得BCsin60=2O1H，可得O1H=213R2=OH2=OO12+O1H2=69+219=3，则该四面体的外接球的表面积为S=4R2=12故答案为：12由题意画出图形，求解三角形可得BC，由正弦定理求得底面三角形外接圆的半径，再由勾股定理求得多面体外接球的半径，代入球的表面积公式得答案
21、本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题15.【答案】-1 8【解析】解：若a/c，a=(1,2)，c=(x,-2)，即1(-2)=2x，x=-1，a-2b=(1,4)，若(a-2b)c，即1x+(-2)4=0，x=8故答案为：-1，8根据两向量平行的坐标表示，以及两向量垂直的坐标表示，分别求解本题考查了两向量平行的坐标表示，以及两向量垂直的坐标表示，需要学生熟练掌握公式，属于基础题16.【答案】23【解析】解：掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，基本事件总数n=6，事件A
22、B-(B-表示事件B的对立事件)包含的基本事件有：2，4，5，6，共4个，则一次试验中，事件AB-(B-表示事件B的对立事件)发生的概率为：P(AB-)=46=23故答案为：23基本事件总数n=6，利用列举法求出事件AB-(B-表示事件B的对立事件)包含的基本事件的个数，由此能求出一次试验中，事件AB-(B-表示事件B的对立事件)发生的概率本题考查概率的求法，考査古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题17.【答案】1416【解析】解：如图：在ABC中，AN=13NC所以：AN=14AC，故=14由于点B、P、N三点共线所以BP=tPN，则：AP-AB=t(AN-AP)，整理得：
23、(1+t)AB=AB+t4AC，故：AB=11+tAB+t4(1+t)AC所以11+t=13，解得t=2故m=24(1+2)=16故答案为：14；16直接利用向量的线性运算的应用和向量共线的充要条件的应用求出结果本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型18.【答案】解：(1)ab=|a|b|cosa,b=2112=1(2)|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4b2+4ab=4+4+4=12，|a+2b|=12=23(3)若a+2b与2a+b(R)垂直，则(a+2b)(2a+b)=0，即2a2+2b2+4ab+ab=0，8+2+4+=0
24、即12+3=0，=-4【解析】本题考查了向量数量积、模的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题(1)直接根据平面向量数量积计算公式求解；(2)先求出|a+2b|2=(a+2b)2，再开方即可得|a+2b|；(3)根据向量垂直的充要条件得(a+2b)(2a+b)=0，展开即得到关于的方程，解方程即可的答案19.【答案】解：(1)bsinA=3acosB，由正弦定理可得sinBsinA=3sinAcosB，即得tanB=3，由于：0B，B=3(2)sinC=2sinA，由正弦定理得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，9=a2+4a2-2a2acos3，解得a=3，c
25、=2a=23【解析】(1)直接利用已知条件和正弦定理求出B的值(2)根据(1)的结论和余弦定理求出结果本题考查的知识要点：正弦定理的应用，余弦定理的应用及相关的运算问题20.【答案】解：(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为42+4+17+15+9+3=0.08因为第二小组的频率=第二小组的频数样本容量，所以样本容量=第二小组的频数第二小组的频率=120.08=150(2)由直方图可估计该校全体高二年级学生的达标率约为17+15+9+32+4+17+15+9+3100%=88%【解析】本题考查频率分布直方图，考查推理能力和计算能力，属于基础题
26、(1)由频率分布直方图求出第二小组的频率，根据样本容量=第二小组的频数第二小组的频率即可求得；(2)由直方图可估计该校全体高二年级学生的达标率21.【答案】112【解析】解：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，EG=1，四棱锥M-EFGH是正四棱锥，正四棱锥的底正方形EFGH的边长为22，高为12，四棱锥M-EFGH的体积为：V=13(22)212=112故答案为：112推导出EG=1，四棱锥M-EFGH是正四棱锥，从而正四棱锥的底正方形EFGH的边长为22，高为12，由此能求出四棱锥M-EFGH的体积本题考查四
27、棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题22.【答案】解：(I)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为A,B，A,C，A,X，A,Y，A,Z，B,C，B,X，B,Y，B,Z，C,X，C,Y，C,Z，X,Y，X,Z，Y,Z，共15种(II)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为A,Y，A,Z，B,X，B,Z，C,X，C,Y，共6种因此，事件M发生的概率P(M)=615=25【解析】(I)结合已知数据，直接利用列举法即可求解；(II)结合等可能事件的概率公式即可直接求解本题主要考查了利用列举法求解事件的
28、概率，属于基础试题23.【答案】解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AB/CD，因为AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB/平面PCD(2)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，又因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD，又因为PAAC=A，所以BD平面PAC(3)过B作BEAD，连结PE，因为PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE又因为BEAD，PAAD=A，所以BE平面PAD所以BPE是直线PB与平面PAD所成角，在RTBEP中，BE=3,PE=PA2+AE2=5，所以tanBPE=BEPE=35=155所以BPE是直线BP与平面PAD所成角的正切值155【解析】(1)通过AB/CD即可证明AB/平面PCD；(2)通过ACBD和PABD即可证明直线BD平面PAC；(3)过B作BEAD，连结PE，则BPE是直线PB与平面PAD所成角，进而可求所成角的正切值本题考查线面平行和线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查直观想象和逻辑推理的核心素养，属于中档题
