1、吉林省梅河口市第五中学2020届高三数学第六次模拟考试试题 文（含解析）一选择题1. 已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用交集概念与运算直接求解即可.【详解】集合，故选C【点睛】本题考查交集的概念及运算，属于基础题.2. 2019年9月14日，女排世界杯在日本拉开帷幕，某网络直播平台开通观众留言通道，为中国女排加油.现该平台欲利用随机数表法从编号为01，02，25的号码中选取5个幸运号码，选取方法是从下方随机数表第1行第24列的数字开始，从左往右依次选取2个数字，则第5个被选中的号码为（ ）81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 8
2、1 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 8506 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49A. 13B. 23C. 24D. 09【答案】B【解析】【分析】根据随机数表中的取数原则可得选项.【详解】根据题意及随机数表可得5个被选中的号码依次为16,06 ,09,13 ,23.所以第5个被选中的号码为23.故选：B.【点睛】本题考查随机数表抽样,考查考生的数据处理能力，考查的核心素养是数据分析，属于基础题.3. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下
3、广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的侧视图的周长为（ ）A. 3丈B. 6丈C. 8丈D. 丈【答案】C【解析】【分析】根据正视图和俯视图，画出侧视图，侧视图是底长3丈，高2丈的等腰三角形，再求出其周长可得答案.【详解】根据正视图和俯视图，画出侧视图，侧视图是底长3丈，高2丈的等腰三角形，如图所示：则，故周长为（丈）.故选：C【点睛】本题考查了三视图，根据正视图和俯视图，画出侧视图是解决问题的关键，属于基础题.4. 已知
4、第四象限内抛物线上的一点到轴的距离是该点到抛物线焦点距离的，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用抛物线上点到焦点距离与到准线的距离相等，设，列式计算即可得解.【详解】解：设，则根据题意及抛物线的定义可得:，解得，代入抛物线方程得：，又点在第四象限，所以，故.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查的数学核心素养是数学运算,属于基础题.5. 已知等差数列的前项和为，与的等差中项为2，则的值为（ ）A. 6B. -2C. -2或6D. 2或6【答案】C【解析】【分析】根据题中已知条件及等差数列的性质求得首项a1和公差d，再利用等差数列前n项和公式，求得的值
5、.【详解】设公差为，则由得，解得或，时，时，故选：C【点睛】本题主要考查等差数列通项公式基本量的计算以及等差数列前n项和公式，属于基础题.6. 易经是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先算任取一卦的所有等可能结果，再算事件恰有2根阳线和1根阴线的基本事件，从而利用古典概型的概率求解计算.【详解】先算任取一卦的所有等可能结果共8卦，其中恰有2根阳线和1根阴线的基本事件有3卦，概率为.
6、故选：C.【点睛】本题以数学文化为问题背景，考查古典概型，考查阅读理解能力.7. 已知函数，若，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由均值不等式可知，又是增函数，即可得出大小关系.【详解】由，函数在上单调递增，可得.又，故点睛】本题主要考查了函数单调性，均值不等式，属于中档题.8. 如图，已知圆中，弦的长为，圆上的点满足，那么在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，为正三角形，根据向量的投影的定义可得选项.【详解】解法一：连接BC，由得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，为
7、正三角形，所以，弦AB的长为，所以在方向上的投影为，故选：D. 解法二：由，得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，建立如图所示的直角坐标系，则，所以，所以，所以，所以在方向上的投影为，故选：D. 【点睛】本题考查向量的投影的定义和运算，关键在于由向量间的关系得出三角形的特殊性，属于中档题.9. 阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点与两定点，的距离之比为(，且)，则点的轨迹就是圆，事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立.已知点，点为圆：上的点，若存在轴上的定点和常数，对满足已知条件的点均有，则（ ）A. 1B. C. D. 【答
8、案】B【解析】【分析】作出图形，由已知可得，代入坐标可得选项.【详解】如下图所示，由于圆上的任意一点均有，所以A,B两点也满足该关系式. ，解得，故选：B.【点睛】本题考查曲线的新定义，关键在于理解和运用新定义，属于中档题.10. 已知是定义在上的偶函数，函数满足，又已知，则（ ）A. 0B. 1C. D. 2【答案】D【解析】【分析】由已知得出函数的周期，再利用周期性，奇偶性求函数值【详解】由函数满足，可得，则，故函数的周期为4，则.故选：D.【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性，属于基础题11. 已知长方体内接于半球，且底面落在半球的底面上，底面的四个顶点落在半球的球面上.若半球的半径为3
9、，则该长方体体积的最大值为（ ）A. B. C. 48D. 72【答案】A【解析】【分析】设该长方体的高为h，底面边长为a，计算出底面外接圆的半径，利用勾股定理得出，利用柱体体积公式得出柱体体积V关于h的函数关系式，然后利用导数可求出V 的最大值.【详解】设长方体的高为h，底面棱长为a，则长方体的底面外接圆直径为，所以.由勾股定理得 即得，其中0h3，所以长方体的体积为，其中0h3，设，其中0h3，则， 令，得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.所以函数在处取得极大值，亦即最大值，则.因此该长方体的体积的最大值为.故选：A.【点睛】本题考查几何体的“外接”问题，关键在于找出棱长与球半径之
10、间的关系，属于较难题.12. 已知函数的导函数是偶函数，若方程在区间(其中为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由导函数为偶函数，得出，由，得出，将问题转化为当直线与函数在区间上的图像有两个交点时，求实数的取值范围，然后作出函数在区间上的图象，利用数形结合思想求出实数的取值范围【详解】，导函数的对称轴为直线，由于该函数为偶函数，则，令，即，得.问题转化为当直线与函数在区间上的图像有两个交点时，求实数的取值范围，令，得，列表如下：极大值所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，又，显然，如下图所示：结合图象可知，当时，即当时
11、，直线与函数在区间上有两个交点，因此，实数的取值范围是故选B【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，本题的关键在于利用参变量分离的方法，将问题转化为直线与函数的图象的交点个数，在画函数的图象中，需要用到导数研究函数的单调性、极值以及端点值，通过这些来确定函数图象，考查数形结合思想，属于中等题二填空题.13. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第_象限.【答案】三【解析】【分析】
12、由欧拉公式可得，则表示的复数在复平面中对应的点为.判断点所在的象限，即得答案.【详解】由欧拉公式可得，则表示的复数在复平面中对应的点为.点在第三象限，即表示的复数在复平面中位于第三象限.故答案为：三.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.14. 设数列满足， _【答案】【解析】【分析】对条件进行化简然后运用累加法和裂项求和法推导出通项详解】累加可得，故答案为【点睛】本题考查了数列通项的求法，在形如的条件时将其构造出新的数列，然后运用累积法进行求解，需要学生掌握解题方法15. 甲乙丙丁戊五名同学写了五张卡片，并进行交换，最终每个人都没有拿到自己的卡片，且没有出现相互交换的情况(例如甲拿到乙
13、的，乙拿到甲的)，同时知道如下信息：甲拿到的不是乙的，也不是丁的；乙拿的不是丙的，也不是丁的；丙拿的不是乙的，也不是戊的；丁拿的不是丙的，也不是戊的；戊拿的不是丁的，也不是甲的.因此丙拿到的卡片是_的.【答案】丁【解析】【分析】根据题意梳理表格，由表格可知丁的卡片只能是丙拿到，即可得到结论.【详解】由题意可以梳理出下表：甲的卡片乙的卡片丙的卡片丁的卡片戊的卡片甲乙丙丁戊由表格可知丁的卡片只能是丙拿到，因此丙只选择丁的卡片.故答案为：丁【点睛】本题以互相交换卡片为背景，考查逻辑推理的相关知识，考查推理论证能力，属于基础题.16. 已知，分别是双曲线(，)的左右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的两条
14、渐近线分别交于，两点，若，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】设，求出过且斜率为直线的方程，联立直线方程与双曲线的渐近线方程，求出A，B两点的坐标，再根据得到的关系，最后利用求双曲线的离心率.【详解】设，则过且斜率为的直线方程为，由，得，由，得，不妨设，因为，所以，化简得，即，故双曲线的离心率.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，意在考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算与逻辑推理.三解答题17. 已知，分别是的内角，的对边，点在边上，且.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，由正弦定理角化边
15、，再由余弦定理求得角；（2）先由的面积为，求出边，解三角形，求得，得到，即求得，再由和角，由余弦定理求得.【详解】（1）由，由正弦定理，得，得，又，又，得. （2）作示意图如图所示：由的面积，得，则，则，则，则.即.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，三角形的面积公式，属于常考题型.18. 某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量，（，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利
16、润为元.（1）求商店日利润关于需求量的函数表达式；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；估计日利润在区间内的概率.【答案】(1) (2) 698.8元 0.54【解析】【分析】（1）根据不同的需求量，整理出函数解析式；（2）利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概率.【详解】（1）商店的日利润关于需求量的函数表达式为：化简得：（2）由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间
17、的频率是；这50天商店销售该海鲜日利润的平均数为：（元）由于时，显然在区间上单调递增，得；，得；日利润在区间内的概率即求海鲜需求量在区间的频率：【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计平均数的问题，关键在于能够熟练掌握统计中用样本估计总体的方法，平均数的估计方法为每组区间的中点值与每组区间对应的频率的乘积的总和.19. 如图，在三棱柱中，已知平面，.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明平面，再证平面，即得结果；（2）利用等体积法求点面距,即根据计算点到平面的距离.【详解】（1）如图，连接，因为平面，平面，平面，所以，.又，所以四边形
18、为正方形，所以.因为，所以.又平面，平面，所以，平面，因为平面，所以.又平面，平面，所以平面.因为平面，所以；（2）在中，所以.又平面，所以三棱锥的体积，又，所以，设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，由等体积法可知，则，解得 .所以点到平面的距离为.【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理、利用等体积法求点面距，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.20. 已知点Q是圆上的动点，点，若线段QN的垂直平分线MQ于点P.(I)求动点P的轨迹E的方程(II)若A是轨迹E的左顶点，过点D（-3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值.【答案】() ()见证明【解析】【分
19、析】（）线段的垂直平分线交于点P，所以，则为定值，所以P的轨迹是以为焦点的椭圆，结合题中数据求出椭圆方程即可；（）设出直线方程，联立椭圆方程得到韦达定理，写出化简可得定值.【详解】解：（）由题可知，线段垂直平分线交于点P，所以，则，所以P的轨迹是以为焦点的椭圆，设该椭圆方程为，则，所以，可得动点P的轨迹E的方程为.（）由（）可得，过点D的直线斜率存在且不为0，故可设l的方程为，由得，而由于直线过点，所以，所以（即为定值）【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定值问题，属于中档题.21. 已知函数.（1）求曲线在点处切线方程；（2）当时，求证：存在，使得对任意的，恒有.
20、【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；（2）对不等式进行变形，构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性，根据构造函数的单调性，结合已知进行证明即可.【详解】（1）由，得，故所求切线方程为，即；（2）证明：由，得，考虑到，可得，设，则，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减.由在区间内是减函数及，得当时，又，则存在即，使得.又在区间内是增函数，当时，.由可知，存在，使恒成立，即存在，使得对任意的，恒有.【点睛】本题考查了利用导数求曲线的切线方程，考查了利用导数证明不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.22. 在以原点O为极点；x轴的非负半轴为极轴
21、的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）过原点O且倾斜角为 的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点（A，B异于原点），求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）等式两边同时乘以，由即可得到直角方程；（2）写出直线l的极坐标方程，与曲线C1，C2联立，可得与，利用正切函数图像的性质即可得到取值范围.【详解】（1）由曲线的极坐标方程为，两边同乘以，得，故曲线的直角坐标方程为（2）射线的极坐标方程为，把射线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程得，把射线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程得，的取值范围是【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，考查极坐标方程的应用，以及利用同角三角函数关系式和正切函数图像的性质求范围问题，属于基础题.23. 已知.（1）解不等式；（2）若不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）去掉绝对值得出的解析式，分类讨论得出不等式的解集；（2）令，求得的最小值，得到的取值范围.【详解】（1）当时，；当时，；当时，.即当时，得；当时，得，综合得；当时，得，综合得.综上，解集为.（2）令，则当时，当时，当时，综上得，则【点睛】本题主要考查了分类讨论解不等式以及不等式恒成立求参数范围，属于中档题.
