1、2021年北京二模新定义问题1对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”（1）已知点A，在点Q1，Q2，Q3中，_是点A的“直角点”；（2）已知点，若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标的取值范围；（3）在（2）的条件下，已知点，以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围【答案】（1）Q1，Q3；（2）；（3）【分析】（1）在平面直接坐标系中画出相关点的坐标，根据定义就可以判断出结果（2）根据题意画出点Q的位置轨迹，观察图形，满足
2、题意有两种情况，分别计算即可.（3）根据题意画图，并结合第二问，发现当正方形在以OB和OC为直径的圆的相交部分的时候，是不满足题意的，所以找到个边界点，即可解题【详解】解：（1）Q1，Q3，如下图： （2）OQP=90，点Q在以OP为直径的圆上（O，P两点除外） 如图1，以OB为直径作，作轴，交于点H（点H在点M左侧）点B的坐标为（-3，4），的半径为，点M的坐标为如图2，以OC为直径作，作x轴，交于点（点在点右侧）点的坐标为（4，4），的半径为，点的坐标为（2，2）n的取值范围是（3）正方形1的左下端点为左边界，此时正方形2的右上端点在右边圆上，圆心坐标为 ，则满足关系式：，化简得：，解得：
3、正方形3的左端点在左边圆上，圆心坐标为，此时满足关系式：,化简得：,解得：（舍），正方形4的右下端点在右边圆上，是右边界，综上所说：满足题意的解集是：【点睛】本题是新定义题型的考查，能够根据题意画出相关图形，分类讨论是解题关键2对于平面内的点M，如果点P，点Q与点M所构成的是边长为1的等边三角形，则称点P，点Q为点M的一对“关联点”，进一步地，在中，若顶点M，P，Q按顺时针排列，则称点P，点Q为点M的一对“顺关联点”；若顶点M，P，Q按逆时针排列，则称点P，点Q为点M的一对“逆关联点”已知，（1）在中，点A的一对关联点是_，它们为点A的一对_关联点（填“顺”或“逆”）；（2）以原点O为圆心作半
4、径为1的圆，已知直线若点P在O上，点Q在直线l上，点P，点Q为点A的一对关联点，求b的值；若在O上存在点R，在直线l上存在两点和，其中，且点T，点S为点R的一对顺关联点，求b的取值范围【答案】（1）C，D，逆（或D，C，顺）；（2），或；【分析】（1）根据两点间距离公式，分别求出AO、AB、AC、AD、OD的长，根据“关联点”及“顺关联点”的定义即可得答案；（2）根据“关联点”的定义可得，可得QPA=60，根据O半径及点A坐标可得OA=OP=AP，可得OAP是等边三角形，根据等边三角形点性质可得OAP=POA=60，可得Q1（0，0），根据QPA=POA=60，可得PQ/OA，即可得出点Q的横
5、坐标和纵坐标，即可得Q2、Q3坐标，把Q1、Q2、Q3坐标代入直线l解析式求出b值即可；作于点H，则，根据圆的性质分别求出b的最大值和最小值即可得答案【详解】（1），AO=1，AB=，AC=1，AD=1，OD=，ACD是等边三角形，C、D是点A的“关联点”，点A、C、D按顺时针排列，C、D是点A的“顺关联点”，故答案为：C，D，顺（或D，C，逆）（2）如图点P，点Q为点A的一对“关联点”，为等边三角形，QPA=60，以原点O为圆心作半径为1的圆，点P在O上，OA=1，OA=OP=AP，OAP是等边三角形，OAP=POA=60，Q1（0，0），点Q在直线l上，b1=0，QPA=POA=60，PQ
6、/OA，点Q横坐标为+1=，点Q纵坐标为，当时，解得：；当时，解得：综上所述，或如图点T，点S为点R的一对顺关联点，为正三角形，轴，点T和点S在直线上作于点H，则，当b取最大值时，此时当b取最小值时，此时综上所述，b的取值范围为【点睛】本题考查等边三角形点判定与性质、圆点性质及一次函数图象上点点坐标特征，正确理解“关联点”点概念是解题关键3在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在P的内部或P的边上，则P的最小值称为点P对图形Q的可视度如图1，AOB的度数为点O对线段AB的可视度（1）已知点N（2，0），在点，中，对线段ON的可视度为60的点是_（2）如图
7、2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）直接写出点E对四边形ABCD的可视度为_； 已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45，求a的值【答案】（1）M1，M2；（2）90；或【分析】（1）结合勾股定理，等边三角形的判定和性质以及锐角三角函数求角的度数，从而作出判断；（2）根据等腰直角三角形的判定和性质求解；根据可视度的定义结合勾股定理分情况讨论求解【详解】解：（1）点N（2，0），点，中，M3Nx轴，是等边三角形对线段ON的可视度为60的点是M1，M2故答案为：M1，M2（2）连接EA，ED由题意可得AG=EG=2，DG=GE=2A
8、GE和EDG均为等腰直角三角形AED=90点E对四边形ABCD的可视度为90故答案为：90；解：由题意可知，四边形ABCD是正方形，点F在直线y=4上 如图所示，点F对正方形ABCD的可视度为45，当点F是以点D为圆心，4为半径的圆和直线y=4的交点时， 过点D作DNEF于点N，则有DN=2，DF=4，可得NF= a=当点F是以点A为圆心，4为半径的圆和直线y=4的交点时， 同理可得，a= 综上，a的值为或【点睛】本题考查解直角三角形已经图形与坐标，理解题意，利用数形结合思想解题是关键4对于平面内点P和G，给出如下定义：T是G上任意一点，点P绕点T旋转180后得到点P，则称点P为点P关于G的旋
9、转点下图为点P及其关于G的旋转点P的示意图在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，点P（0，2）（1）在点A（1，0），B（0，4），C（2，2）中，是点P关于O的旋转点的是 ；（2）若在直线上存在点P关于O的旋转点，求的取值范围；（3）若点D在O上，D的半径为1，点P关于D的旋转点为点P，请直接写出点P的横坐标P的取值范围【答案】（1）点B，点C；（2）；（3）【分析】（1）根据题意结合图即可得出旋转点；（2）使直线分别与圆相切时，求出的取值范围；（3）考虑全两种情况即可得出取值范围【详解】（1）点B，点C； （2）由题意可知，点P关于O的旋转点形成的图形为以点G（0，2）为圆心，以2个单位
10、长度为半径的G当直线与G相切时：如图1，求得：，如图2，求得：因为直线上存在点P关于O的旋转点，所以， 图1图2（3） 当D的圆心在（-1，0）（1，0）时， 取最小和最大值， P的横坐标P的取值范围【点睛】此题考查了圆与一次函数图像的知识，解题的关键是能够灵活运用直线与圆相切的特点，进而求解5在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的二倍点（1）当的半径为2时，在，三个点中，是的二倍点的是 ；已知一次函数与y轴的交点是，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的二倍点，求a的取值范围（2）已知点，的半径为2，若线段BC上存在点P为的二倍点，直接写出m的取值范围 【答案】
11、（1），；（2）或【分析】（1）根据圆的二倍点的含义判断即可；由于圆的半径为2，根据二倍点的含义，则这些点与圆心O的距离大于1，当直线与半径为1的圆相切时，可求得一次函数解析式中的k值，从而可求得a的值；当直线y=kx+2k与y轴的交点也是与轴的交点时，可得a的值，根据题意最后可确定a的取值范围；（2）当且 或且时，才满足条件，由此可求得m的取值范围【详解】（1）OT1=1，但此时点在圆上，不合题意，故T1不是二倍点；OT2=，而，是二倍点故答案为：，当时，一次函数过定点，如图1，当一次函数的图象与半径为1的相切时，可得，则如图2当一次函数的图象与y轴的交点也是与轴的交点时，可得由题意可知（2
12、）当且 或且时，线段BC上存在点P为的二倍点，即或，解得：或故答案为：或【点睛】本题是一个新定义问题，涉及直线与圆的位置关系，一次函数的图象，解一元二次不等式组等知识，解题的关键是数形结合6在平面直角坐标系中，是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个，则称p为这k个点的“特征值”，记为如图1，点（1）如图2，圆C的圆心为，半径为5，与x轴交于A，B两点_， _；直线与圆C交于两点D，E，若，求b的取值范围；（2）点到点O的距离为1或，且这8个点构成中心对称图形，若抛物线恰好经过中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出a的所有可能取值【答案】（1）3，5；且
13、，；（2）1或2或【分析】（1）先写出A，B的坐标，然后根据题意即可求解；D，E两点都在直线上，而A，B两点都在直线上，因此A，B，D，E四点纵坐标不同的取值有2个，要使得，则A，B，D，E四点横坐标不同的取值必须有4个，此时这四个点的横坐标均不能相同，由对称性，当时，D，E分别为和，其横坐标分别与A，B的横坐标相同，不符合题意；由图可知，直线与要有公共点，则，答案可解；（2）根据题意画出图形，抛物线，所以，抛物线开口向上，因为抛物线经过三个点,且抛物线呈对称，分析抛物线可能经过的点，进行分类讨论即可解得答案【详解】（1）由图可知，根据题意可得：，故答案为：3,5；解：D，E两点都在直线上，而
14、A，B两点都在直线上，因此A，B，D，E四点纵坐标不同的取值有2个，要使得，则A，B，D，E四点横坐标不同的取值必须有4个，于是此时这四个点的横坐标均不能相同由对称性，当时，D，E分别为和，其横坐标分别与A，B的横坐标相同，不符合题意；由图可知，直线与要有公共点，则；综上所述，b的取值范围是且且（2）TA1，A2，A8=6，这8个点横坐标的不同取值的个数与纵坐标的不同取值的个数之和为6点A1，A2，A8到点O的距离为1或，且这8个点构成中心对称图形，这8个点构成的图形如下图所示：它们的坐标分别为：A1（-1，1），A2（0，1），A3（1，1），A4（-1，0），A5（1，0），A6（-1，-
15、1），A7（0，-1），A8（1，-1）抛物线y=ax2+bx+c（a0），抛物线开口向上抛物线y=ax2+bx+c（a0）恰好经过A1，A2，A8中的三个点，并以其中一个点为顶点，根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过A1，A3，A7或A4，A5，A7抛物线经过A1，A3，A7时，解得：抛物线经过或A4，A5，A7时，解得：或这8个点构成的图形如下图所示：它们的坐标分别为：，抛物线y=ax2+bx+c（a0）恰好经过A1，A2，A8中的三个点，并以其中一个点为顶点，根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过A1，A3，A6或A4，A2，A7抛物线经过A1，A3，A6时，A6为顶点，经过A1，A3
16、，设抛物线解析式为将A3坐标代入得：解得：抛物线经过A2，A4，A7时，A7为顶点，经过A2，A4，设抛物线解析式为将A4坐标代入得：解得：综上，a的值为1或2或【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是进行分类讨论7在ABC中，点P是BAC的角平分线AD上的一点，若以点P为圆心，PA为半径的P与ABC的交点不少于4个，点P称为ABC 关于BAC的“劲度点”，线段 PA的长度称为ABC 关于BAC的“劲度距离”（1）如图，在BAC平分线AD上的四个点、中，连接点A和点 的线段长度是ABC关于BAC的“劲度距离”（2）在平面直角坐标系中，已知点M（0，t），N （4，0）当t=时，求出M
17、ON 关于MON的“劲度距离”的最大值如果内至少有一个值是MON 关于MON的“劲度距离”，请直接写出t的取值范围【答案】（1）；（2）；或【分析】（1）以AP为半径，以点P为圆心作圆，观察图形，结合题意即可解答；（2）作MON的角平分线OE，ON的垂直平分线PF，OE和PF相交于点P，此时P过点N，线段OP的长度是MON 关于MON的“劲度距离”最大值由此求解即可；由题意可知圆心都在直线y=x上，再分当t0和t0时，当d最大为时，圆P经过点N，此时和一样，点M在（0，5）处，即t=5；当d最小为时，圆P经过点M，此时点P的纵坐标为 ，所以点P的坐标（，），再由OP=可得，解得t=2；当t0时
18、，t的取值范围为同理，当t0时，t的取值范围为综上所述t的取值范围为或【点睛】本题时一次函数和圆的综合题，正确理解题意是解决问题的关键8在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，点和点关于直线对称，则称点是点关于轴，直线的完美点（1）如图1，点若点是点关于轴，直线的完美点，则点的坐标为_ ；若点是点关于轴，直线的完美点，则的值为_；（2）如图2，的半径为1若上存在点，使得点是点关于轴，直线的完美点，且点在函数的图象上，求的取值范围；（3）是轴上的动点，的半径为2，若上存在点，使得点是点关于轴，直线的完美点，且点在轴上，直接写出的取值范围【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）根据点坐标的轴
19、对称变换规律即可得；先求出点关于轴，直线的完美点，再根据点的坐标建立方程，求解即可得；（2）先根据完美点的定义、待定系数法求出点所在直线的解析式为，再找出两个临界位置直线与位于轴上方的半圆相切；直线恰好经过点，分别利用相似三角形的判定与性质、一次函数的性质求出的值即可得；（3）如图（见解析），先确定点在上运动，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点的坐标，然后求出与轴相切时的值即可得出答案【详解】解：（1），点关于轴对称的点坐标为，又点关于直线对称坐标为，故答案为：；，点关于轴对称的点坐标为，又点关于直线对称坐标为，点是点关于轴，直线的完美点，解得，故答案为：；（2）如图，设点关于轴的对
20、称点为，由完美点的定义得：点所在直线与点所在直线平行，则设点所在直线的解析式为，设点的坐标为，则，将点代入得：，解得，则点所在直线的解析式为，因此，有两个临界位置：直线与位于轴上方的半圆相切；直线恰好经过点，直线与位于轴上方的半圆相切，如图，设直线与轴交于点，与轴交于点，则，由圆的切线的性质得：，在和中，即，解得，直线恰好经过点，将点代入得：，解得，点在函数的图象上，不含原点，的值不能取，则的取值范围为；（3）如图，设点关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为，连接，交直线于点，则的半径为2，当点在上运动时，点在上运动，要使点在轴上，则与轴相切或相交即可，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则
21、直线的解析式为，联立，解得，又点是线段的中点，当与轴相切时，解得或，综上，满足条件的的取值范围为【点睛】本题考查了点坐标的轴对称变换规律、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）（3），正确找出相应的临界位置是解题关键9对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：若在图形G上存在两个点M，N，且MN2，使得以P，M，N为顶点的三角形为等边三角形，则称P为图形G的“正点”已知A（2，0），B（0，）（1）在点（1，），（0，0），（2， ）中，线段AB的“正点”是 ；（2）直线（）上存在线段AB的“正点”，求k的取值范围；（3）以（）为圆心，为半径作，若线段A
22、B上总是存在的“正点”，直接写出的取值范围【答案】（1），；（2）；（3）或【分析】（1）按照定义分别判断所给点能否与已知点构成等边三角形即可；（2）根据正点的定义，可以判断满足条件的正点连线是正六边形的两条边，结合直线过定点，进一步判断的范围即可；（3）根据正点的定义，画出满足题意的圆，根据图形进行计算，即可【详解】解：过点O作ODAB，（0，0），A（2，0），B（0，），AB=4，OD=，在线段AB上存在存在两个点M，N，且MN2，使得以，M，N为顶点的三角形为等边三角形，即：是线段AB的“正点”同理：是线段AB的“正点”故答案是：，；（2）如图，线段AB的“正点”在线段和上且六边形BC
23、OAD是正六边形， 直线（）过定点，是正六边形的中心坐标也是， 直线（）绕着中心（1，）旋转又直线（）过点O和时，k，过点C和D时，k=0，（3）如下图：在上取线段MN，使MN=2，往圆外作等边三角形MNE，在MN上取中点D，连接TN，ED，TD，则EDMN，TDMN，T，D，E三点共线，DE=，TD=，大圆的半径=+=4，同理：小圆半径=-=2，当大圆或小圆与线段AB有交点时，线段AB上存在的“正点”，若大圆过点B时，则TB=4，AB=4，OB=2，OT=，tanOBT=tanOAB，即：OBT=OAB，ABT=OBT+ABO=OAB+ABO=90，此时AB与大圆相切于点B，t=-6，若大圆
24、过点A时，AT=4，此时，t=2-4，若小圆与线段AB相切于点C时，ATC=ABO=30，TC=2，AT=TCcos30=2=4，此时，t=-2，若小圆经过B点时，圆心与点O重合时，t=0，综上，或【点睛】本题是新定义题型，考查动点轨迹为圆时的综合数据处理，以及等边三角形的性质，锐角三角函数相关知识点，能够根据题意画出图形是解题关键10对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N），特殊地，当图形M与图形N有公共点时，规定d（M，N）0已知点（1）求d
25、（点O，线段AB）；若d（线段CD，直线AB）1，直接写出m的值；（2）O的半径为r，若d（O，线段AB）1，直接写出r的取值范围；（3）若直线上存在点E，使d（E，）1，直接写出b的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据题意作图，由三角形的面积公式及“闭距离”的定义即可求解；根据题意作图，根据含30的直角三角形的性质即可求出D点坐标，故可求解；（2）根据题意作图，由d（O，线段AB）1，分情况讨论即可求解；（3）根据题意作图，找到d（O，线段AB）=1的点，再根据解直角三角形、一次函数的解析式求解方法求出b的值，故可求解【详解】（1）如图，作OHAB，AO=2，BO=，AB
26、=根据三角形的面积公式可得OH=d（点O，线段AB）=；AO=2，BO=，AB=AB=2AO，ABO=30如图，作HDAB，d（线段CD，直线AB）1，DH=1BD=2HD=2DO=BO-BD=D（，0）m=；（2）如图，OHAB，交O于M点，BI=1当d（O，线段AB）1当HM1时，由（1）可得OH=当BI1时，此时IO=BI+OB=故若d（O，线段AB）1时， r的取值范围为；（3） d（E，）1，如图，作CM直线于M点，此时CM=1设直线与x轴交于K点，则CKM=60CK=CMcos60=K（2+，0），代入得解得b=如图，作BG直线于G点，此时BG=1设直线与y轴交于N点，则GNB=9
27、0-60=30BN=2BG=2N（0，），代入得解得b=存在点E，使d（E，）1，b的取值范围是【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意作图，由“闭距离”的定义及解直角三角形、圆的性质特点进行求解11对于平面直角坐标系中的一点和，给出如下的定义：若上存在一个点，连接PA，将射线PA绕点P顺时针旋转90得到射线PM，若射线PM与相交于点B，则称为的直角点（1）当的半径为时，在点、中，的直角点是 已知直线：，若直线上存在的直角点，求的取值范围（2）若，的半径为，直线 上存在的直角点，直接写出的取值范围【答案】（1）D，E；（2）【分析】（1）如图，由定义可得：都在上，且 再分别画出图
28、形，即可得到答案；由定义可知，如图的直角点，分布在以为圆心以为半径的圆上或圆内，结合可得直线的两个极限位置，从而可得答案；（2）先求解与轴的交点坐标，再求解 再分两种情况讨论：情况1：q0时，结合画出图形求解，再利用对称性得到情况2：q0时， ，从而可得答案【详解】解：（1）如图，由定义可得：都在上，且 当重合时，则，此时故是的直角点，如图，同理可得；是的直角点，当时， 不是的直角点，故答案为：D，E；由定义可知，如图的直角点，分布在以为圆心以为半径的圆上或圆内由可得：当直线过时， 当直线过时， 所以；（2） ，当，则 当 则 所以直线与轴交点为，与轴的交点 情况1：q0时，如图（半径为）与直线相切时，情况2：q0时，根据对称性，的取值范围为【点睛】本题考查的是自定义题，同时考查了旋转的性质，圆的基本性质，圆的切线的性质定理，求解一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，掌握数形结合的方法是解题的关键
