1、2021年北京一模二次函数综合问题1在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）当时，求y的值；若，求x1的值（用含a的式子表示）；（3）若对于，都有，求a的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据对称轴公式计算即可；（2）把代入即可得解；令，求出方程的解，再根据已知条件判断即可；（3）分三种情况根据二次函数的性质讨论即可；【详解】（1），对称轴；（2）当时，；令，则，。，又且，；（3）当时，恒成立；当时，恒不成立；当，时，设关于对称轴的对称点为，由抛物线的对称性可知在抛物线上，且，又时，时，时，而，即时，成立，当时，由于，故当时，不
2、存在；综上所述：【点睛】本题主要考查了二次函数的性质应用，准确分析计算是解题的关键2在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若，求抛物线所对应的函数解析式；（3）已知点，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围【答案】（1）；（2）或；（3）或【分析】(1)根据对称轴公式求解即可；(2)根据AB两点坐标，求出对称轴，即可求出a；(3)确定点P在AB上，结合图象，根据抛物线与线段恰有一个公共点，确定P点与B点的位置即可【详解】解：(1)根据对称轴公式可得，；（2）抛物线与y轴的交点为A，点A的坐标为过A
3、所作x轴的平行线与抛物线的交点为B，点B的坐标为或抛物线的对称轴为直线或或抛物线所对应的函数解析式为或（3）过A所作x轴的平行线与抛物线的交点为B，点B的纵坐标为1.点B的横坐标是关于x的方程的解解得点B的坐标为又点P的坐标为，点P在直线上如图4，当时，在右侧，且的y轴上的上方，在抛物线的对称轴右侧抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象可得，点P，点B的横坐标，满足，解得如图5，当时，在左侧，且的y轴上的下方，在抛物线的对称轴右侧抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象可得，点P，点A的横坐标满足，解得综上所述，或【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解题关键是树立数形结合思想，结合图象，熟练运用二
4、次函数相关性质解决问题3在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线（1）求抛物线的顶点坐标；（2）当时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当时，y的最大值是m，最小值是n，且，求t的值【答案】（1）顶点坐标为；（2）；（3）或【分析】（1）根据对称轴可得a与b间的关系b=-2a，把这个关系式代入函数解析式中，配方即可得顶点坐标；（2）首先，由于抛物线的顶点在所给自变量的范围内，若a为负，则在所给自变量范围内，函数的最大值是相互矛盾的，故可排除a为负的情况，所以a为正再由于x轴上-2与1的距离大小3与1的距离，根据抛物线的性质，函数在x=-2处取得最大值，从而可求得a的值（3）分三
5、种情况讨论：即分别考虑顶点的横坐标是在范围内、在这个范围的左边、在这个范围的右边三种情况；对每种情况分别求出最大值和最小值，然后可求得t的值【详解】解：（1）对称轴是直线，顶点坐标为（2）若a0抛物线的顶点为图象的最低点1-（-2）3-1当时，代入解析式，得 （3）当时，此时0t1，函数的最大值在t+1或t处取得，即或m的最大值为此时不符合题意，舍去当，即时，当时，同理可得综上所述，或【点睛】本题是二次函数的综合题，解决后两问的关键是分清顶点的横坐标与所给自变量的范围之间的位置关系，即它是在自变量的范围内、还是在自变量范围左边或自变量范围右边，才能确定函数的最大值与最小值，这其实就是分类讨论，
6、这也是同学们易于忽略的4在平面直角坐标系中，抛物线（1）若抛物线过点，求抛物线的对称轴；（2）若为抛物线上两个不同的点当时，求a的值；若对于，都有，求a的取值范围【答案】（1）抛物线的对称轴；（2）；【分析】（1）抛物线过点，可得，解得：，抛物线为，利用抛物线的对称轴公式求即可，（2）又为抛物线上两个不同的点可得，当时，可得，因式分解得，可得，可求，若对于，都有， 当时，抛物线开口向上，抛物线对称轴，抛物线对称轴为：，在对称轴左侧，在直线x=-2的右侧可满足，而在对称轴右侧，则有，都有，故不可能，当，在对称轴右侧，都有，抛物线对称轴在直线x=-2左侧，可抛物线对称轴为：，解得即可【详解】解：（
7、1）抛物线过点，则，解得：，抛物线为，抛物线的对称轴，（2）为抛物线上两个不同的点，当时，因式分解得，若对于，都有，当时，抛物线开口向上，抛物线对称轴，抛物线对称轴为：，在对称轴左侧，在直线x=-2的右侧可满足，而在对称轴右侧，则有，都有，故不可能，当，在对称轴右侧，都有，当抛物线对称轴在直线x=-2的左侧，即抛物线对称轴为：，整理得，解得，【点睛】本题考查抛物线解析式与对称轴，解一元一次方程，因式分解，抛物线的性质，解一元一次不等式，掌握抛物线解析式与对称轴，解一元一次方程，因式分解，抛物线的性质，解一元一次不等式，利用两函数值相等构造方程，利用抛物线增减性结合对称轴列不等式是解题关键5在平
8、面直角坐标系中，点A是抛物线的顶点（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若射线与x轴所成的锐角为，求m的值；（3）将点向右平移4个单位得到点Q，若抛物线与线段只有一个公共点，直接写出m的取值范围_【答案】（1）；（2）或；（3）且m2【分析】（1）直接将解析式配成顶点式，然后可求点A的坐标；（2）由OA与x轴所成的锐角为，则点A的坐标轴距离相等，所以需要分类讨论，即横坐标与纵坐标相等，或者横坐标与纵坐标互为相反数，同时也可以发现点A在直线上运动，然后问题可求解；（3）先由平移知识可以得到点Q的坐标，且PQx轴，画出草图，可以发现，顶点A所在直线也经过点P，并且当A与P重合时，此时m取
9、最小值，当A沿直线向上运动时，m值越来越大，最大值位置是当抛物线刚好经过点Q，同时要注意排除抛物线与直线PQ的两个交点均落在线段PQ上的特殊情况即可【详解】解：（1）把抛物线配成顶点式为：，顶点；（2）设，消掉m，可得，点A在直线上运动，点A所在象限可能为第一、第二、第三象限，射线OA与x轴所成的锐角为，可以分两类讨论：当A在第一、第三象限时，解得：m=-1，当A在第二象限时，解得：，综上所述：或-1；（3）当点向右平移4个单位得到点Q，则有，且PQx轴，抛物线与线段只有一个公共点，且顶点A在直线上运动，由图1可得，当顶点A与P重合时，符合条件，此时m=0，如图2，当顶点A沿直线向上运动时，抛
10、物线与直线PQ均有两个交点，当抛物线经过点Q时，即当x=4，y=1时，解得：或8，当时，抛物线为，它与线段PQ的交点为P和Q，有两个交点，不符合题意，舍去，当时，抛物线对称轴右侧的部分刚好经过点Q，符合题意；当且m2时，抛物线与线段只有一个公共点；故答案为且m2【点睛】本题主要考查二次函数的综合，主要考查的是数形结合思想，根据题意充分挖掘题目中的数据参数是画图的关键6在平面直角坐标系中，抛物线分别过点和点作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包括A，B两点）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m当时，若图形G为轴对称图
11、形，求m的值；若存在实数t，使得，直接写出a的取值范围【答案】（1） ；（2） ；【分析】（1）将抛物线的一般式改为顶点式即可写出其顶点坐标（2）由可知抛物线解析式为，再由对称的性质即可求出t的值最后由增减性即可求出m的值分四种情况讨论：t-1，-1t0，0t1，t1，根据m=2分别列出方程，由t的范围即可求出a的范围【详解】（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为（2）当时，抛物线为，其对称轴为图象G为轴对称图形，点A，B必关于对称轴对称点A的横坐标为t，点B的横坐标为，即点A为，点B为当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，图象G上任意一点的纵坐标最大值为0，最小值为过点M（
12、t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B，A（t，at2-2at+a-2），B（t+2，a（t+2）2-2a（t+2）+a-2），又a0，抛物线对称轴x=1，（）当t+21，即t-1时，图象G上A的纵坐标的值最大，B的纵坐标的值最小，（at2-2at+a-2）-a（t+2）2-2a（t+2）+a-2=2，解得t=-，-1，a；（）当t1t+2，且t+2-11-t，即-1t0时，图象G上A的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小，（at2-2at+a-2）-（-2）=2，又-1t0，a2；（）当t1t+2，且t+2-11-t，即0t1时，图象G上B的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的
13、值最小，a（t+2）2-2a（t+2）+a-2-（-2）=2，又0t1，a2；（四）当t1时，图象G上B的纵坐标的值最大，A的纵坐标的值最小，a（t+2）2-2a（t+2）+a-2-（at2-2at+a-2）=2，t=，又t1，a，综上所述，若存在实数t，使得m=2，则0a2【点睛】本题考查二次函数知识的综合应用，解题的关键是分类讨论图象G上纵坐标的最大值与最小值列方程7在平面直角坐标系中，已知关于x的二次函数（1）求该二次函数的对称轴；（2）若点在抛物线上，试比较m、n的大小；（3）是抛物线上的任意两点，若对于且，都有，求t的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据抛物线对称
14、轴方程求解即可；（2）根据抛物线图象的增减性求解即可（3）分和两种情况讨论求解即可【详解】解：（1）该抛物线的对称轴为直线（2）抛物线图象开口向上抛物线图象上点到对称轴的距离越远，函数值越大，在抛物线上，点M到对对称轴的距离为2，点N到对称轴的距离为3，（3）当时，此时都有，符合题意；当时，令时，不符合题意，综上所述，t的取值范围是【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是需要掌握二次函数的性质8在平面直角坐标系中，抛物线被x轴截得的线段长度为4.（1）求抛物线的对称轴；（2）求c的值（用含a的式子表示）；（3）若点，为抛物线上不重合两点（其中），且满足，求a的取值范围【答案】（1）
15、对称轴为直线；（2）；（3）a的取值范围为或【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式可直接进行求解；（2）设抛物线与x轴的交点横坐标分别为，且在的右侧，由题意可得，然后根据韦达定理可进行求解；（3）由（2）及点，为抛物线上不重合两点（其中），可得：即为方程的两个不相等的实数根，则根据一元二次方程根的判别式可得或，根据一元二次方程的公式法可得，由韦达定理可得：，进而可分当时，由可知：，当时，由可知：，然后由题意可进行求解【详解】解：（1）由抛物线可得：抛物线的对称轴为直线；（2）设抛物线与x轴的交点横坐标分别为，且在的右侧，由题意可得，根据韦达定理可得，即，解得：；（3）由（2）及点，为抛物线上不重
16、合两点（其中），可得：即为方程的两个不相等的实数根，解得：或，根据一元二次方程的公式法可得，由韦达定理可得：，当时，由可知：，即，化简得：，解得：，；当时，由可知：，由可得，化简得：，解得：，；综上所述：a的取值范围为或【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键9已知二次函数（1）求此二次函数图象的对称轴；（2）设此二次函数的图象与x轴交于不重合两点，（其中），且满足，求a的取值范围【答案】（1）；（2）或【分析】（1）根据对称轴的公式代入计算即可；（2）分a0，a0两种情况讨论，利用二次函数图像上点的坐标特征可得到关于a的一元一次不等式，解之即可得出
17、a的取值范围【详解】（1），（2）由（1）得对称轴为，即又，即 ，若时，当时，若时，当时，所以或【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数图像的性质和分类讨论的思想，熟记二次函数图像特征是解题的关键10在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A（1）求点A和抛物线顶点的坐标（用含a的式子表示）；（2）直线与抛物线围成的区域（不包括边界）记作G横、纵坐标都为整数的点叫做整点当时，结合函数图象，求区域G中整点的个数；当区域G中恰有6个整点时，直接写出a的取值范围【答案】(1) A的坐标为（0，），顶点为（2，a）；（2）2个；1.5a2【分析】（1）把抛物线解析式化成顶点式直接可求；（2）由已知求
18、出解析式，画出函数图象，观察图象可得；确定抛物线与直线与坐标轴的交点，明确区域位置，结合函数图像求取值范围即可【详解】解：（1）yax24ax+3aa（x2）2a，顶点为（2，a）；把x=0代入得，点A的坐标为（0，）；（2）a1，抛物线解析式为：yx24x+3，顶点坐标为（2，-1），与y轴交点为（0,3），当y=0时，0x24x+3，解得，与x轴的两个交点分别是（1,0）和（3,0），直线解析式为：，当x=0时，y=3,当y=0时，x=3，直线与x轴、y轴交点分别是（3，0）和（0,3）；在平面直角坐标系中画出图象如图所示：观察图象可知，区域G中整点的个数为2个，分别是（1,1），（2,0
19、）；由图象可知抛物线经过（1,0），（3,0），（0,3），直线经过（0,3）和（3,0），故区域内整点横坐标只能是1或2，如图所示当a=2时，区域内恰好有6个整点，当a2时，区域内的整点多于6个，当a=1.5时，区域内恰好有5个整点，综上所述：1.5a2 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的综合，解题关键是熟练运用函数知识进行计算，树立数形结合思想，结合函数图象解决问题11在平面直角坐标系中，抛物线经过点（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；（2）若抛物线经过点，且满足，求n的取值范围；（3）若时，结合函数图象，直接写出b的取值范围【答案】(1)（b，-2）,（2） ，（3）【分析】(
20、1)把抛物线配成顶点式即可；(2)把点代入解析式，求出解析式后，再根据，确定n的取值范围即可；(3)把（3，2）（5，2）代入求出b值，画出函数图象，根据图象直接判断即可【详解】解：(1) 化成顶点式为：，抛物线顶点的坐标为（b，-2）；(2)把代入解析式得，解得，（舍去），抛物线解析式为：，因为抛物线开口向下，当时，n有最小值，最小值为-2，当时，n=2，当时，n=-1，所以，n的取值范围为：；(3)把（3,2）代入得，解得，观察图象，当时，满足时，；把（5,2）代入得，解得，观察图象，当时，满足时，；故b的取值范围为【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数性质，运
21、用数形结合思想，直观的解决问题12已知关于的二次函数（1）当抛物线过点（2，-3）时，求抛物线的表达式，并求它与y轴的交点坐标；（2）求这个二次函数的对称轴（用含m的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点和，当时，总有，求m的取值范围【答案】（1），与y轴交点；（2）对称轴；（3）【分析】(1)根据抛物线过点（2，-3），求得，即可得出抛物线的表达式；(2) 对进行变形，得到，即可求出二次函数的对称轴；(3)根据函数开口向上，当时，总有，可知，即A点的函数值大于B点的函数值，根据距离对称轴远函数值大列出不等式求解即可【详解】（1）解：抛物线过点，解得： ，抛物线的表达式为：，当时，与轴的交点坐标
22、为，（2），时，故对称轴为，（3）由函数表达式可知函数开口向上，即【点睛】本题主要考查了二次函数,熟练掌握求解析式，交点坐标，正确读懂题意是解题的关键13在平面直角坐标系中，直线与 轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象过，两点，且与轴的另一交点为点 ，；（1）求点的坐标；（2）对于该二次函数图象上的任意两点， ，当时，总有求二次函数的表达式；设点在抛物线上的对称点为点，记抛物线在，之间的部分为图象（包含， 两点）若一次函数的图象与图象有公共点，结合函数图象，求 的取值范围【答案】（1）（1，0）或（5，0）；（2）；【分析】（1）根据直线与轴交于点，与 轴交于点，可求得点A与点的坐标，再根据二
23、次函数的图象过，两点，且与轴的另一交点为点 ， ，可得点的坐标；（2）根据二次函数图象上的任意两点，当时，总有，根据图像可判断点的坐标为（1，0）；将（0，6），（3，0），（1，0）代入求解即可得到二次函数的表达式；根据，可得顶点的坐标是：（2，-2），对称轴是，根据一次函数的图象与图象有公共点，分别根据当一次函数经过点（4，6）时，当一次函数经过点（1，0）时，当一次函数经过点（2，-2）时，判断求出的值即可【详解】解：（1）直线与轴交于点，与 轴交于点，当时，点的坐标是（0，6），当时，点的坐标是（3，0），二次函数的图象过，两点，且与轴的另一交点为点，则点的坐标为：（1，0）或（5，0
24、）；（2）当点的坐标为：（5，0）时，函数图像如下图所示，点的坐标是（3，0），当时，总有，与题意不符，舍去，当点的坐标为：（1，0）时，函数图像如下图所示，点的坐标是（3，0），抛物线的对称轴是，当时，由函数图像可知，总有，符合题意，设二次函数的表达式为，将（0，6），（3，0），（1，0）代入二次函数的表达式，则有 ，解之得：，即二次函数的表达式为，顶点的坐标是：（2，-2），对称轴是一次函数的图象与图象有公共点，由一次函数的图象可知，必经过点（0，-2）如下图所示，点在抛物线上的对称点为点，点的坐标是：（4，6），当一次函数经过点（4，6）时，当一次函数经过点（1，0）时，当一次函数经过点（2，-2）时，的取值范围是；【点睛】本题是一次函数与二次函数综合，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数的性质与二次函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键
