1、-1-第一章 解三角形-2-1.1 正弦定理和余弦定理-3-1.1.1 正弦定理-4-1.1.1 正弦定理 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 课程目标学习脉络1.了解正弦定理的推导过程,掌握正弦定理及其变形.2.能用正弦定理解三角形,并能判断三角形的形状.-5-1.1.1 正弦定理 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 sin=sin=sin.名师点拨(1)设
2、ABC 的外接圆的半径为 R,则有sin=sin=sin=2R.推导过程如下:如图,O 是ABC 外接圆的圆心,连接 BO 并延长交O 于 D.连接 DC,则A=D,且 DCBC.sin=sin.-6-1.1.1 正弦定理 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 在 RtBCD 中,sin=BD=2R.sin=2R,即 sin=2R.同理可证 sin=sin=2R.(2)由(1)得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;sin A=2,sin B=2,sin C=2;abc=sin Asin
3、 Bsin C.-7-1.1.1 正弦定理 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 思考 1 根据正弦定理的推导,你能得出三角形面积的另一种表示形式吗?提示:SABC=12bcsin A=12acsin B=12absin C.-8-1.1.1 正弦定理 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 思考 2 在ABC 中,AB 与 sin Asin B 的关系怎样?提示:在ABC 中,若 AB,则 ab.由正弦定理得 2Rsin A
4、2Rsin B,即 sinAsin B.若 sin Asin B,则 2Rsin A2Rsin B(R 是ABC 的外接圆半径).由正弦定理得 ab.综上所述,在ABC 中,ABabsin Asin B.-9-1.1.1 正弦定理 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 2.解三角形(1)一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.思考 3 利用正弦定理能解什么条件下的三角形?提示:正弦定理的等式中有四个量,所以已知其
5、中三个,可求第四个.因此,已知两角及一边可解三角形;已知两边及一边的对角也可解三角形.-10-1.1.1 正弦定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 已知两角和一边解三角形已知三角形的两角和一边解三角形,这是解三角形中最简单的题型,一般可按以下步骤求解:(1)由三角形的内角和定理求出第三个角;(2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边.【典型例题 1】在ABC 中,已知 A=60,B=45,c=2,解三角形.思路分析:由三角形的内角和为 180可求 C,根据正弦定理
6、可求 a,b.-11-1.1.1 正弦定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:在ABC 中,C=180-(A+B)=180-(60+45)=75.sin 75=sin(45+30)=sin 45cos 30+cos 45sin 30=22 32+22 12=2(3+1)4.根据正弦定理,得a=sinsin=2sin60sin75=2 32 2(3+1)4=6(3-1)=3 2 6,b=sinsin=2sin45sin75=2 22 2(3+1)4=2(3-1)=2 3-
7、2.-12-1.1.1 正弦定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 已知两边和其中一边的对角解三角形已知两边及其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解或无解.在ABC 中,已知 a,b 和角 A 时,解的情况如下:角 A 为锐角角 A 为钝角或直角图形-13-1.1.1 正弦定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 关系式a=bsin Aab
8、bsin Aababab解的情况一解两解无解一解无解 具体解题时,作出已知角 A,边 AC,以点 C 为圆心,以边长 a 为半径画弧,与射线 AB 的公共点(除去顶点 A)的个数即为三角形解的个数.-14-1.1.1 正弦定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四【典型例题 2】在ABC 中,已知下列条件,解三角形:(1)a=10,b=20,A=80;(2)b=10,c=5 6,C=60;(3)a=3,b=2,B=45.解:(1)由正弦定理,得 sin B=sin=20sin8
9、010=2sin 801,故此三角形无解.(2)由正弦定理,得 sin B=sin=10sin605 6=22.0B180,B=45或 135.当 B=45时,A=180-(B+C)=180-(45+60)=75,a=sinsin=10sin75sin45=10 6+24 22=5(3+1).当 B=135时,A=180-(B+C)=-150,此时无解.故 B=45,A=75,a=5(3+1).-15-1.1.1 正弦定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四(3)由正弦定理,
10、得 sin A=sin=3sin45 2=32.又0A180,A=60或 120.当 A=60时,C=75,c=sinsin=2sin75sin45=6+22;当 A=120时,C=15,c=sinsin=2sin15sin45=6-22.A=60,C=75,c=6+22或 A=120,C=15,c=6-22.-16-1.1.1 正弦定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 方法总结已知三角形两边和其中一边的对角,求另一边的对角的方法:(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
11、(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一.(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.-17-1.1.1 正弦定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 判断三角形的形状1.三角形的分类(1)按角分:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形;(2)按边分:不等腰三角形、腰与底边不相等的等腰三角形、等边三角形.2.判断三角形的形状时,一般
12、是从条件出发,利用正弦定理等进行转化、化简、运算,得出边与边的关系或角与角的关系,然后作出正确判断.-18-1.1.1 正弦定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四【典型例题3】在ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断ABC 的形状.思路分析:首先利用正弦定理将角的关系式 sin2A=sin2B+sin2C 转化为边的关系式,进而判断三角形的形状.解:(法一)设 sin=sin=sin=k,则 a=ksin A,b=ksi
13、n B,c=ksin C.sin2A=sin2B+sin2C.2=2+2.a2=b2+c2,即ABC 是以角 A 为直角的直角三角形.sin A=2sin Bcos C,1=2sin Bcos 2-B=2sin2B.sin B=22.角 B 是锐角,B=4.C=4.ABC 是等腰直角三角形.-19-1.1.1 正弦定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四(法二)同解法一,求得 A=90.A=-(B+C),sin A=2sin Bcos C,sin(B+C)=2sin Bcos
14、 C.sin Bcos C-cos Bsin C=0,即 sin(B-C)=0.B-C=0,即 B=C.ABC 是等腰直角三角形.方法总结判断三角形的形状,可以从三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手,从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小,从而作出准确判断.-20-1.1.1 正弦定理 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四 易错辨析易错点 忽略大边对大角致错【典型例题 4】在ABC 中,已知 a=2 3,b=2,A=60
15、,则B=.错解:由正弦定理,得 sin B=bsin=2sin602 3=12.0Bb,故 AB.而解答中未应用该条件,从而致错.正解:由正弦定理,得 sin B=bsin=2sin602 3=12.ab,AB.又0Bb,AB,而 A=60,B 为锐角,B=45.答案:C-24-1.1.1 正弦定理 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 53.在ABC 中,a,b 分别是ABC 的内角 A,B 所对的边.若 B=45,b=2a,则A=.解析:由正弦定理得=sinsin,所以 sinsin45=
16、2a,所以 sin A=12.b=2a,ab,Ab,A=60或 A=120.C=75或 15.答案:75或 15-26-1.1.1 正弦定理 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 55.在ABC 中,lg(sin A+sin C)=2lg sin B-lg(sin C-sin A),判断ABC 的形状.解:由题意得(sin A+sin C)(sin C-sin A)=sin2B,即-sin2A+sin2C=sin2B.由正弦定理得-a2+c2=b2,即 a2+b2=c2,所以ABC 是直角三角形.
